2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-微培優(yōu)8 概率統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)交匯的綜合問題【課件】

微培優(yōu)8概率統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)交匯的綜合問題2025以能力立意是數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題是今后高考的一大特點(diǎn)和方向,與概率交匯的試題正是在這種背景下“閃亮登場(chǎng)”,頻頻出現(xiàn)在各類試題中.除了上一節(jié)講解的概率統(tǒng)計(jì)的常見綜合問題外,概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列,概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的交匯應(yīng)用也比較常見.角度一概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的交匯應(yīng)用例1(2023·新高考Ⅰ,21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率;(2)求第i次投籃的人是甲的概率;(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則

記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).解

(1)設(shè)事件A:“第2次投籃的人是乙”,

則P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.(3)由(2)知,設(shè)隨機(jī)變量Xi可取0,1,i=1,2,…,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,則Xi服從兩點(diǎn)分布.角度二概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的交匯應(yīng)用1.概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的綜合例2(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.解

(1)當(dāng)p(c)=0.5%時(shí),由患病者頻率分布直方圖可得第一個(gè)小矩形面積為0.002×5=0.01,由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)當(dāng)c∈[95,100)時(shí),p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;當(dāng)c∈[100,105]時(shí),p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.故當(dāng)c=100時(shí),f(c)取最小值,最小值為f(100)=0.02.2.概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)的綜合例3(2024·河南三門峽模擬)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí),某大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽分為初賽與決賽,初賽通過后才能參加決賽.(1)初賽從6道題中任選2題作答,若2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中的4道,記小王在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下,仍未進(jìn)入決賽的概率;(2)該大學(xué)為鼓勵(lì)學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī),對(duì)進(jìn)入決賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:進(jìn)入決賽的學(xué)生可連續(xù)抽獎(jiǎng)3次,中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元,中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元,中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元,若3次均未中獎(jiǎng),則獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為p(0<p<),且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記一名進(jìn)入決賽的學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為f(p),求f(p)的極大值.解

(1)由題意知,X服從超幾何分布,且N=6,M=4,n=2.針對(duì)訓(xùn)練1.(2024·山東泰安模擬)在足球比賽中,有時(shí)需要通過點(diǎn)球來(lái)決定勝負(fù).(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大,假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門,門將(也稱為守門員)也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球,而且門將即使方向判斷正確,也有的可能性撲不到球.不考慮其他因素,在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中,求門將在前三次點(diǎn)球過程中撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望;(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練,甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中,球從甲腳下開始,等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人,如此不停地傳下去,假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知p1=1,p2=0.②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較p2024與q2024的大小.(2)①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,則當(dāng)n≥2時(shí),第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率為pn-1,第n-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-pn-1,2.魯班鎖是我國(guó)古代益智玩具的一種,它與九連環(huán)、華容道、七巧板一起被稱為中國(guó)古代四大智力玩具.魯班鎖看似簡(jiǎn)單,卻凝結(jié)著不平凡的智慧,是榫卯結(jié)構(gòu)的集中展現(xiàn),一般由六根木條組成,三維拼插,內(nèi)部榫卯咬合,外觀嚴(yán)絲合縫,十字立體,易拆難裝,十分巧妙.某玩具公司新開發(fā)了A,B兩款魯班鎖玩具,記A,B兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤(rùn)分別為X,Y(單位:萬(wàn)元),根據(jù)銷售部市場(chǎng)調(diào)研分析,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.(成本利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本×100%)A款魯班鎖玩具:成本利潤(rùn)率4%8%10%概率P0.30.60.1B款魯班鎖玩具:成本利潤(rùn)率3%5.5%7.5%概率P0.20.30.5(1)若A,B兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20萬(wàn)元,試求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤(rùn)的方差;(2)若A,B兩款魯班鎖玩具的投資成本共為20萬(wàn)元,試求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤(rùn)的方差之和的最小值.解

(1)A款魯班鎖玩具的利潤(rùn)分別為20×4%=0.8,20×8%=1.6,20×10%=2,B款魯班鎖玩具的利潤(rùn)分別為20×3%=0.6,20×5.5%=1.1,20×7.5%=1.5,則X的分布列為X0.81.62P0.30.60.1Y的分布列為

Y0.61.11.5P0.20.30.5所以E(X)=0.8×0.3+1.6×0.6+2×0.1=1.4,E(Y)=0.6×0.2+1.1×0.3+1.5×0.5=1.2,則D(X)=(0.8-1.4)2×0.3+(1.6-1.4)2×0.6+(2-1.4)2×0.1=0.168,D(Y)=(0.6-1.2)2×0.2+(1.1-1.2)2×0.3+(1.5-1.2)2×0.5=0.12.(2)記A款魯班鎖玩具的投資成本為m(0≤m≤20)萬(wàn)元,則B款魯班鎖玩具的投資成本為(20-m)萬(wàn)元,設(shè)投資這兩款魯班鎖玩具所獲利潤(rùn)的方差之和為f(m),3.(2024·河北衡水模擬)已知甲口袋有m(m≥1,m∈N*)個(gè)紅球和2個(gè)白球,乙口袋有n(n≥1,n∈N*)個(gè)紅球和2個(gè)白球,小明從甲口袋有放回地連續(xù)摸球