2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三上冊(cè)12月期末模擬數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共10小題）1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．3．圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．45．已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（

）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知是函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．的外接圓的半徑等于，，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．10．正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在平面上，且平面.線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．12．設(shè)向量，且，則，和所成角為13．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為.14．直線與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為.15．設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題（本大題共6小題）16．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，，(1)求；(2)若，求的面積.17．如圖，四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，側(cè)面底面，E是棱BC上一點(diǎn)，平面.(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使四棱柱唯一確定，（i）求二面角的余弦值；（ii）設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為P，求的值.條件①：；條件②：；條件③.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．某社區(qū)計(jì)劃組織一次公益講座向居民普及垃圾分類知識(shí)，為掌握居民對(duì)垃圾分類知識(shí)的了解情況并評(píng)估講座的效果，主辦方從全體居民中隨機(jī)抽取10位參加試講講座活動(dòng)，讓他們?cè)谠囍v講座前后分別回答一份垃圾分類知識(shí)問卷．試講講座前后，這10位居民答卷的正確率如下表：編號(hào)正確率1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)試講講座前65%60%0%100%65%75%90%85%80%60%試講講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%根據(jù)居民答卷的正確率可以將他們垃圾分類的知識(shí)水平分為以下三個(gè)層級(jí)：答卷正確率p垃圾分類知識(shí)水平一般良好優(yōu)秀假設(shè)每位居民回答問卷的結(jié)果之間互相獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)正式講座前．從該社區(qū)的全體居民中隨機(jī)抽取1人，試估計(jì)該居民垃圾分類知識(shí)水平恰為“一般”的概率；(2)正式講座前，從該社區(qū)的全體居民中隨機(jī)抽取3人，這3人垃圾分類知識(shí)水平分別是“一般”、“良好”、“良好”．設(shè)隨機(jī)變量X為“這3人講座后垃圾分類知識(shí)水平達(dá)到‘優(yōu)秀’、的人數(shù)”，試估計(jì)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)在未參加講座的全部居民中再隨機(jī)抽取若干人參加下一輪的公益講座并讓他們?cè)谥v座前后分別填寫問卷．從講座后的答卷中隨機(jī)抽取一份，如果完成該答卷的居民的知識(shí)水平為“良好”，他在講座前屬于哪一知識(shí)水平的概率最大？（結(jié)論不要求證明）19．設(shè)橢圓，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.過點(diǎn)的直線l與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線l與軸不重合.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于，若，求直線的斜率.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)，曲線的切線不經(jīng)過點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，若曲線與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．

答案1．【正確答案】D【詳解】由，得，所以,因?yàn)?，所?所以.故選：D.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故C正確.故選：C3．【正確答案】D【詳解】由題意得，即，則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】對(duì)于A，若，則由線面垂直的性質(zhì)得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則由線面垂直的性質(zhì)得，故B正確，對(duì)于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選B6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，且，所以，得到①又，則，得到②，由①②得到，，即，又，所以的最小值為，故選：B.7．【正確答案】D【詳解】設(shè)直線與相切于點(diǎn)，由，則，所以切線方程為，又切線過，所以，解得，所以，作出及切線的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，成立.故選：D8．【正確答案】D【詳解】如圖所示，設(shè)Ax1,y1，B點(diǎn)在的圖象上，且軸，則，由圖知點(diǎn)在的左側(cè)，即，所以.故選：D9．【正確答案】C【詳解】依題意，的外接圓的半徑等于，，以為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，B4,0，圓心到，也即軸的距離為，故圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè)，與不重合.所以，由于，所以.故選：C10．【正確答案】C【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，則，因?yàn)槠矫?，所以，即，解得，所以，所以，又，所以?dāng)時(shí)，即是的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或，即與點(diǎn)或重合時(shí)，取得最大值，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍為.故選：C11．【正確答案】【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故-16012．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)整理得，所以，所以．因?yàn)椋院退山菫椋剩?13．【正確答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長(zhǎng)為，而它們的側(cè)面積相等，所以，即，故，故圓錐的體積為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】直線過定點(diǎn)，直線與雙曲線圖象如圖所示，

又雙曲線的兩條漸近線為，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以由圖可知，，故15．【正確答案】①③④【分析】利用兩類數(shù)列的散點(diǎn)圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項(xiàng)公式的特征及反證法可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因?yàn)閱握{(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.對(duì)于④，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢(shì)，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢(shì)，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.故①③④.【思路導(dǎo)引】對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點(diǎn)圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時(shí)，等比數(shù)列的公比可能為負(fù)，此時(shí)要注意合理轉(zhuǎn)化.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.（2）法一：因?yàn)?，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以，解得或（舍去），所?法2：因?yàn)椋?，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）連接交于，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)；（2）（i）選擇條件①：因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，故平面，又平面，則，即四邊形為矩形，因?yàn)?，則，與選擇條件①：等價(jià)，故條件不能進(jìn)一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；選擇條件②：連結(jié)，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因?yàn)?，，所以，在中，因?yàn)椋?，所以，又平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，且，，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面面的一個(gè)法向量，則，即.不妨設(shè)，則，可得，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼鞘氢g角，設(shè)為，故，所以二面角的余弦值為.選擇條件③：因?yàn)榈酌媸钦叫危?，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)閭?cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，（下面同選擇條件②）.（ii）設(shè)，又，，則，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以，解得，所?18．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)他在講座前屬于“一般”知識(shí)水平的概率最大.【詳解】（1）正式講座前，10位選取的居民中，垃圾分類知識(shí)水平為“一般”的人數(shù)為5人，所以垃圾分類知識(shí)水平位“一般”的頻率為：，所以估計(jì)居民垃圾分類知識(shí)水平恰為“一般”的頻率為.（2）由表中提供的數(shù)據(jù)可得：正式講座前，垃圾分類知識(shí)水平為“一般”的人在講座后，達(dá)到“優(yōu)秀”的概率估計(jì)為：；正式講座前，垃圾分類知識(shí)水平為“良好”的人在講座后，達(dá)到“優(yōu)秀”的概率估計(jì)為.由題意，的值可以為：0,1,2,3且：，.所以的分布列為：0123所以.（3）從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“一般”記為事件，則，講座后，知識(shí)水平為“良好”的概率估計(jì)為；從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則，講座后，知識(shí)水平為“良好”的概率估計(jì)為；從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“優(yōu)秀”記為事件，則，講座后，知識(shí)水平為“良好”的概率估計(jì)為；從參加講座后的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件，則.因?yàn)椋?所以他在講座前屬于“一般”知識(shí)水平的概率最大.19．【正確答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，所以，解得；又，所以，得，所以.（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，直線l與軸不重合，所以直線l的斜率不為0.設(shè)直線，Ax，，即，即或，；，；，；，直線，直線，令，，，令，，，則，即也即則，，斜率為；綜上，直線的斜率為.

20．【正確答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，.設(shè)曲線的切點(diǎn)為，則切線方程為，假設(shè)切線過原點(diǎn)，則有，整理得.令，則.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意，，所以方程無解.綜上可知，曲線在點(diǎn)的切線不過原點(diǎn).（3）曲線與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，即，在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則，令，解得，又因?yàn)?，所以，?dāng)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)，，所以單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，只需使即可.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.21．【正確答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個(gè)合題即可；（3）時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論時(shí)，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類討論驗(yàn)證不行即可．【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）證明：若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒有個(gè)，矛盾；當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，，所以．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1～20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，所以，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，因?yàn)椋▋H一種方式），所