2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高一上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單項(xiàng)選擇題共10小題，每小題3分，共30分。1．（3分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，則?UA＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，2） D．（1，2）2．（3分）已知a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)c＞bc C．2a＞2b D．13．（3分）sin2π3A．12 B．?12 C．34．（3分）在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝logax，g（x）＝a﹣x，h（x）＝xa的部分圖象可能是（）A． B． C． D．5．（3分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A．f(x)=x B．f（x）＝﹣x|x|C．f(x)=1x2+1 D．f（6．（3分）下列各組角中，終邊相同的角是（）A．k2π與kπ+π2（kB．kπ±π3與k3πC．（2k+1）π與（4k±1）π（k∈Z） D．kπ+π6與kπ±π67．（3分）已知a＝20.1，b＝log23，c=log32，則實(shí)數(shù)a，A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c8．（3分）已知函數(shù)f(x)=12x+1?a2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（3分）科赫（Koch）曲線是幾何中最簡單的分形，科赫曲線的產(chǎn)生方式如下：如圖，將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級科赫曲線“”，將1級科赫曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級科赫曲線，同理可得3級科赫曲線…在分形中，一個(gè)圖形通常由N個(gè)與它的上一級圖形相似，且相似比為r的部分組成．若rD=1NA．log23 B．log32 C．1 D．2log3210．（3分）2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（πDay）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾?卡西的方法，π的近似值的表達(dá)式是（）A．3n（sin30°n+tan30°B．6n（sin30°n+tan30°C．3n（sin60°n+tan60°D．6n（sin60°n+tan二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．（4分）已知sinα=?223，且cosα＜0，則tanα12．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?45，35)，角β的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則sinα＝13．（8分）若扇形所在圓半徑為2cm，圓心角為1弧度，則該扇形面積，周長為．14．（4分）已知函數(shù)f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．15．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2x+b，g（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）＝x2﹣4x．記函數(shù)T（x）=f(x)，f(x)≥g(x)，①當(dāng)b＝0時(shí)，T（x）在區(qū)間[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)b＝﹣8時(shí)，T（x）是偶函數(shù)；③當(dāng)b＜0時(shí)，T（x）有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)b≥8時(shí)，對任意x∈R，都有T（x）＞0．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共5小題，共50分。16．已知集合A={x|x（Ⅰ）求A∪B，A∩?RB；（Ⅱ）記關(guān)于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集為M，若B∪M＝R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來溫度是T1℃，空氣溫度是T0℃，則經(jīng)過時(shí)間t分鐘后物體溫度T℃可以由公式T=T0+(T118．已知定義域?yàn)镽的單調(diào)減函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3?（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．19．已知函數(shù)f（x）＝ln（1﹣x）+kln（1+x），請從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下面的問題：條件①：f（x）+f（﹣x）＝0條件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）＝（1﹣x）（1+x）k，判斷函數(shù)F（x）在區(qū)間上（0，1）的單調(diào)性，并給出證明；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）+xk+2|k|，指出函數(shù)g（x）在區(qū)間（﹣1，0）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．20．已知數(shù)列a1，a2，…，a10滿足：對任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，則ai≠aj，且ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，設(shè)集合A＝{ai+ai+1+ai+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值記為m（A），集合A中元素最大值記為n（A）．（Ⅰ）對于數(shù)列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，寫出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求證：m（A）不可能為18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．

答案與試題解析題號12345678910答案BCCCBCDCDA一、單項(xiàng)選擇題共10小題，每小題3分，共30分。1．（3分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，則?UA＝（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．（0，2） D．（1，2）【分析】直接利用補(bǔ)集的運(yùn)算求解．解：∵全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，∴?UA＝{1，2}．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（3分）已知a，b，c∈R，且a＞b，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)c＞bc C．2a＞2b D．1【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，以及特例法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判定，即可求解．解：對于A中，例如a＝1，b＝﹣2，此時(shí)滿足a＞b，但a2＜b2，所以A錯(cuò)誤；對于B中，當(dāng)c＝0時(shí)，ac＝bc，所以B錯(cuò)誤；對于C中，由指數(shù)函數(shù)y＝2x為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)閍＞b，可得2a＞2b，所以C正確；對于D中，例如a＝1，b＝﹣2，此時(shí)滿足a＞b，但1a＞1故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）sin2π3A．12 B．?12 C．3【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值．解：sin2π3=sin（π?π故選：C．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（3分）在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝logax，g（x）＝a﹣x，h（x）＝xa的部分圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】分a＞1，0＜a＜1兩種情況對各個(gè)函數(shù)的圖象分析，判斷出結(jié)果．解：當(dāng)a＞1時(shí)，A中，g（x）＝a﹣x應(yīng)該單調(diào)遞減，而h（x）＝xa在（0，1）應(yīng)該在y＝x的下方，所以A不正確；C中，g（x）＝a﹣x應(yīng)該單調(diào)遞減，而h（x）＝xa在（0，1）應(yīng)該在y＝x的下方，f（x）＝logax的圖象應(yīng)該單調(diào)遞增，所以C不正確；B中，h（x）＝xa在（0，1）應(yīng)該在y＝x的下方，所以B不正確；D中，f（x）＝logax的圖象應(yīng)該單調(diào)遞增，所以D不正確；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，A中f（x）＝logax的圖象應(yīng)該單調(diào)遞減，所以A不正確；B中，g（x）＝a﹣x應(yīng)該單調(diào)遞增，f（x）＝logax的圖象應(yīng)該單調(diào)遞減，所以B不正確；C中，三個(gè)圖象正確；D中，g（x）＝a﹣x應(yīng)該單調(diào)遞增，h（x）＝xa應(yīng)該在（0，1）在y＝x的上方，所以D不正確．綜上所述：只有0＜a＜1時(shí)C正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查分類討論的思想及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（3分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A．f(x)=x B．f（x）＝﹣x|x|C．f(x)=1x2+1 D．f（【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性依次判斷即可．解：在A中，f（x）=x的定義域?yàn)閧x|x≥0}，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，是非奇非偶函數(shù)，故A在B中，f（x）＝﹣x|x|的定義域?yàn)镽，f（﹣x）＝x|x|＝﹣g（x），是奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f（x）＝﹣x2在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故B正確；在C中，f（x）=1x2在D中，f（x）＝x3是奇函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．6．（3分）下列各組角中，終邊相同的角是（）A．k2π與kπ+π2（kB．kπ±π3與k3πC．（2k+1）π與（4k±1）π（k∈Z） D．kπ+π6與kπ±π6【分析】把數(shù)學(xué)符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，結(jié)合終邊相同的角的表示方法，做出判斷．解：由于kπ2表示π2的整數(shù)倍，而kπ+π2=（2k+1）π由于kπ±π3=（3k±1）π3表示π3的非3的整數(shù)倍，而kπ3（2k+1）π表示π的奇數(shù)倍，（4k±1）π也表示π的奇數(shù)倍，故（2k+1）π與（4k±1）π（k∈Z）是終邊相同的角，故C滿足條件．kπ+π6=(6k+1)π6，表示π6的(6k+1)6倍，而kπ±π故選：C．【點(diǎn)評】本題考查終邊相同的角的表示方法，把數(shù)學(xué)符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，以及式子所表示的意義．7．（3分）已知a＝20.1，b＝log23，c=log32，則實(shí)數(shù)a，A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．解：由20.1＞20，得a＝20.1＞1，又log22＜log23＜log22，得1由log32＜log33，得c＜綜上可得a＞b＞c．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)值大小的比較，考查學(xué)生基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（3分）已知函數(shù)f(x)=12x+1?a2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)f（x）為奇函數(shù)求出a，再結(jié)合充分必要條件的應(yīng)用即可求解結(jié)論．解：∵函數(shù)f(x)=12x∴f（x）為奇函數(shù)，可得f（0）＝0，解得a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）=1f（﹣x）+f（x）=1故f（x）為奇函數(shù)．∴“a＝1”是f（x）為奇函數(shù)的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（3分）科赫（Koch）曲線是幾何中最簡單的分形，科赫曲線的產(chǎn)生方式如下：如圖，將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級科赫曲線“”，將1級科赫曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級科赫曲線，同理可得3級科赫曲線…在分形中，一個(gè)圖形通常由N個(gè)與它的上一級圖形相似，且相似比為r的部分組成．若rD=1NA．log23 B．log32 C．1 D．2log32【分析】根據(jù)題意，歸納可得n級科赫曲線是由把上一級的科赫曲線全體縮小13的4個(gè)相似圖形構(gòu)成的，即可得r、N解：根據(jù)題意，n級科赫曲線是由把上一級的科赫曲線全體縮小13即r=13，若rD=1N，即（13）D=14，則D＝logr故選：D．【點(diǎn)評】本題考查歸納推理的應(yīng)用，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10．（3分）2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（πDay）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾?卡西的方法，π的近似值的表達(dá)式是（）A．3n（sin30°n+tan30°B．6n（sin30°n+tan30°C．3n（sin60°n+tan60°D．6n（sin60°n+tan【分析】設(shè)內(nèi)接正6n邊形的邊長為a，外切正6n邊形的邊長為b，運(yùn)用圓的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，可得所求值．解：如圖，設(shè)內(nèi)接正6n邊形的邊長為a，外切正6n邊形的邊長為b，可得a＝2sin360°12n=2sinb＝2tan360°12n=2tan則2π≈6na+6nb2=6n（sin30°即π≈3n（sin30°n+tan故選：A．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)學(xué)中的文化，考查圓的內(nèi)接和外切多邊形的邊長的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．（4分）已知sinα=?223，且cosα＜0，則tanα＝【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解．解：因?yàn)閟inα=?2所以cos2α＝1﹣sin2α=1?(?又cosα＜0，所以cosα=?1所以tanα=sinα故22【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?45，35)，角β的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則sinα＝35【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義，以及β＝α+π+2kπ，k∈Z，即可求解．解：角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?4則sinα=35(?4角β的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則β＝α+π+2kπ，k∈Z，cosβ＝cos（α+π+2kπ）＝﹣cosα=4故35；4【點(diǎn)評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．13．（8分）若扇形所在圓半徑為2cm，圓心角為1弧度，則該扇形面積2cm2，周長為6cm．【分析】根據(jù)扇形面積公式以及弧長公式即可求解．解：由題意可得r＝2，α＝1，弧長為l＝αr＝2，故周長為l+2r＝6cm，扇形面積為12αr故2cm2；6cm．【點(diǎn)評】本題主要考查扇形的面積和周長，屬于基礎(chǔ)題．14．（4分）已知函數(shù)f（x）＝log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣4，4]．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)x2﹣ax+3a在[2，+∞）是增函數(shù)，且x2﹣ax+3a＞0，所以根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及最小值便有a2≤24+a＞0解：設(shè)g（x）＝x2﹣ax+3a，根據(jù)對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：g（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，且g（2）＞0；∴a2∴﹣4＜a≤4；∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣4，4]．故（﹣4，4]．【點(diǎn)評】考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性及最小值，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域．15．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2x+b，g（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）＝x2﹣4x．記函數(shù)T（x）=f(x)，f(x)≥g(x)，①當(dāng)b＝0時(shí)，T（x）在區(qū)間[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)b＝﹣8時(shí)，T（x）是偶函數(shù)；③當(dāng)b＜0時(shí)，T（x）有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)b≥8時(shí)，對任意x∈R，都有T（x）＞0．其中所有正確結(jié)論的序號是①③．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)f（x），g（x）的解析式，利用函數(shù)的新定義，結(jié)合函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點(diǎn)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解．解：因?yàn)間（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）＝x2﹣4x，當(dāng)x＜0時(shí)，可得g（x）＝g（﹣x）＝x2+4x，所以g(x)=x對于①，當(dāng)b＝0時(shí)，f（x）＝2x，令f（x）＝g（x），解得x＝0，x＝﹣2，x＝6，如圖所示，T(x)=x結(jié)合圖象，可得函數(shù)T（x）在區(qū)間[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，所以①正確；對于②，當(dāng)b＝﹣8時(shí)，可得f（x）＝2x﹣8，令x2﹣4x＝2x﹣8，即x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，當(dāng)x＜2時(shí)，可得T（x）＝g（x）；當(dāng)2≤x≤4時(shí)，可得T（x）＝f（x）；當(dāng)x＞4時(shí)，可得T（x）＝g（x），即T(x)=x2+4x，x＜0x2?4x，0≤x＜22x?8，2≤x＜4x2所以當(dāng)b＝﹣8時(shí)，函數(shù)T（x）不是偶函數(shù)，所以②不正確；對于③，當(dāng)b＜0時(shí)，令f（x）＝0，即2x+b＝0，解得x=?b當(dāng)x＜0時(shí)，令g（x）＝0，即x2+4x＝0，解得x＝﹣4，當(dāng)x≥0時(shí)，令g（x）＝0，即x2﹣4x＝0，解得x＝0或x＝4，若0＜?b2＜4時(shí)，函數(shù)T（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別為x＝﹣4，x若?b2=4時(shí)，即b＝﹣8時(shí)，函數(shù)T（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別為x＝﹣4，x若?b2＞4時(shí)，即b＜﹣8時(shí)，函數(shù)T（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別為x＝﹣4，x綜上可得，當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)T（x）有三個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；對于④，當(dāng)x＜0時(shí)，令g（x）＝0，即x2+4x＝0，解得x＝﹣4，將點(diǎn)（﹣4，0）代入函數(shù)y＝f（x），可得2×（﹣4）+b＝0，解得b＝8，如圖所示，當(dāng)b≥8時(shí)，函數(shù)T（x）≥0，所以④不正確．故①③．【點(diǎn)評】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題共5小題，共50分。16．已知集合A={x|x（Ⅰ）求A∪B，A∩?RB；（Ⅱ）記關(guān)于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集為M，若B∪M＝R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（Ⅰ）先求解出一元二次不等式，絕對值不等式的解集為集合A，B，然后根據(jù)并集概念求解出A∪B，再根據(jù)交集和補(bǔ)集概念求解出A∩?RB；（Ⅱ）根據(jù)不等式先求解出M，然后根據(jù)B∪M＝R，列出關(guān)于m的不等式組，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（Ⅰ）∵x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2，∴A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵|x?52|≥32，解得x≥4或x≤1，∴B＝{x|∴A∪B＝{x|x＜2或x≥4}，∵?RB＝{x|1＜x＜4}，∴A∩?RB＝{x|1＜x＜2}．（Ⅱ）∵關(guān)于x的不等式x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0的解集為M，由x2﹣（2m+4）x+m2+4m≤0，得m≤x≤m+4，∴M＝{x|m≤x≤m+4}，∵B∪M＝R，∴m≤1m+4≥4，解得0≤m∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|0≤m≤1}．【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式，絕對值不等式的解法、集合的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來溫度是T1℃，空氣溫度是T0℃，則經(jīng)過時(shí)間t分鐘后物體溫度T℃可以由公式T=T0+(T1【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)，利用指數(shù)和對數(shù)的互化求解即可．解：已知經(jīng)過時(shí)間t分鐘后物體溫度T℃可以由公式T=T又物體原來溫度是T1℃，空氣溫度是T0℃，則T1＝90，T0＝10，T＝50，代入T=T得10+（90﹣10）?e﹣0.25t＝50，即e?0.25t所以?0.25t=ln1解得t＝4ln2≈4×0.693≈2.77，即把溫度是90℃的物體放在10℃的空氣中冷卻到50℃，大概需要2.77分鐘．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)解析式的求法，重點(diǎn)考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題．18．已知定義域?yàn)镽的單調(diào)減函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3?（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【分析】（Ⅰ）利用定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是減函數(shù)，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0對任意t∈R恒成立，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（Ⅰ）因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）＝0．（2分）（Ⅱ）因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，所以f(?x)=?x又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f(x)=x綜上，f(x)=x（Ⅲ）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．又f（x）在R上是減函數(shù)，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0對任意t∈R恒成立．方法一令3t2﹣2t﹣k＝0，則Δ＝4+12k＜0．由Δ＜0，解得k＜?1方法二即k＜3t2﹣2t對任意t∈R恒成立．令g（t）＝3t2﹣2t，t∈R則g(t)=3t2故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(?∞，?1【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的解析式，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用單調(diào)性和參數(shù)分離，以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．19．已知函數(shù)f（x）＝ln（1﹣x）+kln（1+x），請從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下面的問題：條件①：f（x）+f（﹣x）＝0條件②：f（x）﹣f（﹣x）＝0注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）＝（1﹣x）（1+x）k，判斷函數(shù)F（x）在區(qū)間上（0，1）的單調(diào)性，并給出證明；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）+xk+2|k|，指出函數(shù)g（x）在區(qū)間（﹣1，0）上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意結(jié)合奇偶性的定義求解即可；（Ⅱ）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（Ⅲ）根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性以及奇偶性的性質(zhì)判斷g（x）在區(qū)間（﹣1，0）上的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可．解：（Ⅰ）令1?x＞01+x＞0，解得﹣1＜x＜1，所以函數(shù)f（x若選①因?yàn)閒（x）+f（﹣x）＝0，即f（x）為奇函數(shù)，則ln（1﹣x）+kln（1+x）+ln（1+x）+kln（1﹣x）＝0，所以（1+k）ln（1﹣x2）＝0，因?yàn)閷θ我鈞∈（﹣1，1）上式均成立，所以1+k＝0，解得k＝﹣1；若選②因?yàn)閒（x）﹣f（﹣x）＝0，即f（x）為偶函數(shù)，則ln（1﹣x）+kln（1+x）﹣[ln（1+x）+kln（1﹣x）]＝0，所以(1?k)ln1?x因?yàn)閷θ我鈞∈（﹣1，1）上式均成立，可得1﹣k＝0，解得k＝1．（Ⅱ）若選①則k＝﹣1，可得F(x)=(1?x)(1+x)則函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，證明如下：對任意x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，則F(x因?yàn)?＜x1＜x2＜1，則1+x1＞0，1+x2＞0，x2﹣x1＞0，所以F（x1）﹣F（x2）＞0，即F（x1）＞F（x2），所以函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減；若選②則k＝1，可得F（x）＝（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，則函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，證明如下：對任意x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，則F(x因?yàn)?＜x1＜x2＜1，則x1+x2＞0，x2﹣x1＞0，所以F（x1）﹣F（x2）＞0，即F（x1）＞F（x2），所以函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．（Ⅲ）若選①則k＝﹣1，則g(x)=f(x)+1由（Ⅱ）可知，F(xiàn)(x)=1?x1+x在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，且y＝則f(x)=ln(1?x)?ln(1+x)=ln1?x又f（x）為奇函數(shù)，則f（x）在（﹣1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，且y=1則g（x）在（﹣1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合g(?1可知g（x）在（﹣1，0）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若選②則k＝1，則g（x）＝f（x）+x+2＝ln（1﹣x2）+x+2，由（Ⅱ）可知，F(xiàn)（x）＝1﹣x2在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，且y＝lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則f（x）＝ln（1﹣x）+ln（1+x）＝ln（1﹣x2）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，又f（x）為偶函數(shù)，則f（x）在（﹣1，0）內(nèi)單調(diào)遞增，且y＝x+2在（﹣1，0）內(nèi)單調(diào)遞增，則g（x）在（﹣1，0）內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合g(?1可知g（x）在（﹣1，0）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．20．已知數(shù)列a1，a2，…，a10滿足：對任意的i，j∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若i≠j，則ai≠aj，且ai∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，設(shè)集合A＝{ai+ai+1+ai+2|i＝1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A中元素最小值記為m（A），集合A中元素最大值記為n（A）．（Ⅰ）對于數(shù)列：10，6，1，2，7，8，3，9，5，4，寫出集合A及m（A），n（A）；（Ⅱ）求證：m（A）不可能為18；（Ⅲ）求m（A）的最大值以及n（A）的最小值．【分析】（Ⅰ）A＝{17，9，10，18，20}，m（A）＝9，n（A）＝20．（Ⅱ）假設(shè)m（A）≥18，設(shè)S＝（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+a10＝55，則S＝55≥3m（A）+a10＝3×18+a10，從而推導(dǎo)出a10＝1，同理推出a1＝1，ai（i＝1，2，…，10）中有兩個(gè)元素為1，與題設(shè)矛盾，從而m（A）不可能為18．（Ⅲ）由m（A）＜18，得m（A）＝17是可能的．當(dāng)m（A）＝17時(shí)，推導(dǎo)出a10≤4，a7≤4．同理可得：ai≤4（i＝1，4，7，10）．對于數(shù)列：1，6，10，2，7，8，3，9，5，4，A＝{17，18，19，20}，m（A）＝17，n（A）＝20，從而m（A）的最大值為17；假設(shè)n（A）≤15．推導(dǎo)出a1＝10．a(chǎn)4＝10，矛盾，假設(shè)不成立，從而n（A）≥16．從而n（A）的最小值為16．解：（Ⅰ）解：∵數(shù)列：10，6，1