2024-2025學年遼寧省鞍山市高三上冊12月期末考試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年遼寧省鞍山市高三上學期12月期末考試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．集合，，求（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C． D．13．“”是“點在圓外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知平面向量與的夾角為，，，則的值為（

）A． B． C． D．5．函數(shù)中的圖像可能是（

）A． B．C． D．6．的展開式中系數(shù)為（

）A．180 B．90C．20 D．107．設拋物線的焦點為，過拋物線上點作準線的垂線，設垂足為，若，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，則（）A．10000 B．10082 C．10100 D．10302二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度（單位：）由關系式確定，其中.小球從最高點出發(fā)，經過后，第一次回到最高點，則（

）

A．B．C．與時的相對于平衡位置的高度之比為D．與時的相對于平衡位置的高度之比為210．如圖，在直三棱柱中，△ABC是邊長為2的正三角形，，M為的中點，P為線段上的點（不包括端點），則下列說法正確的是（

）A．平面ABMB．三棱錐的體積的取值范圍是C．存在點P，使得BP與平面所成的角為60°D．存在點P，使得AP與BM垂直11．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，則下列結論正確的是A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則的值為.13．已知是等差數(shù)列，，則.14．過雙曲線右焦點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為點A，O為坐標原點，若的角平分線與x軸交于點M，且點M到OA與AF的距離都為，則雙曲線C的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，求的面積.16．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調遞減，求a的取值范圍：(2)若直線與的圖象相切，求a的值．17．如圖，四邊形是邊長為的菱形，對角線，F(xiàn)為的中點，平面，.現(xiàn)沿將翻折至的位置，使得平面平面，且點和E在平面同側.（1）證明：平面；（2）求二面角大小的正弦值.18．短視頻已成為當下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調查某天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關，該景點對當天前來旅游的500名游客調查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.(1)依據(jù)調查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關聯(lián)：（單位：人）游客短視頻合計收看未看南方游客北方游客合計(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點設置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲,乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經過次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．已知為坐標原點，動點在橢圓上，動點滿足，記點的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)在軌跡上是否存在點，使得過點作橢圓的兩條切線互相垂直？若存在，求點的坐標：若不存在，請說明理由：(3)過點的直線交軌跡于，兩點，射線交軌跡于點，射線交橢圓于點，求四邊形面積的最大值.

答案1．【正確答案】C【詳解】由可得，則，于是.故選C.2．【正確答案】C【詳解】由，得，所以，所以，所以.故選：C.3．【正確答案】B【詳解】將化為標準方程，得當點在圓外時，有，解得∴“”是“點”在圓外”的必要不充分條件.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，故選：B.5．【正確答案】D【詳解】解：因為定義域為，又，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故排除A、B，又時，，所以，所以，故排除C；故選：D6．【正確答案】A【詳解】展開式通項公式，其各項次數(shù)依次為,所以的系數(shù)是的一次項系數(shù)2乘以展開式的的系數(shù).由展開式通項公式知解得，所以系數(shù)為.故選：A.7．【正確答案】A【詳解】如圖所示：設為準線與軸的交點，因為，且，所以，因為，所以，而在中，，所以.故選：A.8．【正確答案】C【詳解】中，令得，，故，故，其中，，，……，，上面99個式子相加得，，令得，在中，令得，故.故選C.9．【正確答案】BD【詳解】由題可知小球運動的周期，所以，解得，故B正確；當時，.又，所以，故A錯誤；則，所以與時的相對于平衡位置的高度之比為，故C錯誤，D正確.故選：BD.10．【正確答案】BC【詳解】解：由題意得．則，，所以與不垂直．故A錯誤；，點B到平面的距離為，由，所以，所以，又，則，故B正確；BP與平面所成的角即為BP與平面ABC所成的角，設為，易知當點P與M重合時，最小，此時，當點P與重合時，最大，此時，，此時，故存在點P，使得BP與平面所成的角為60°，故C正確；若，設中點為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，則平面，因為平面，所以，因為，，故與不垂直，故不合題意，故D錯誤．故選：BC11．【正確答案】ABC【詳解】函數(shù)與互為反函數(shù)，則與的圖象關于對稱，將與聯(lián)立，則，由直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，作出函數(shù)圖像：

則的中點坐標為，對于A，由，解得，故A正確；對于B，，因為，即等號不成立，所以，故B正確；對于C，將與聯(lián)立可得，即，設，且函數(shù)為單調遞增函數(shù)，，，故函數(shù)的零點在上，即，由，則，，故C正確；對于D，由，解得，由于，則，故D錯誤；故選：ABC12．【正確答案】【詳解】因，則，.故13．【正確答案】3【詳解】因為，所以，因為，所以.故3.14．【正確答案】【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線為，，如圖，設點A在第一象限，則點F到漸近線的距離為，所以，過點M分別作于點N，于點T，又于A，所以四邊形MTAN為正方形，得，所以，又，所以，得，則，所以，故，即雙曲線的離心率為.故答案為.15．【正確答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，所以，，所以；（2）由（1），，而，所以，．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）記在上單調遞減，對恒成立，，而，當且僅當即時，等號成立，所以當時，取得最小值為.所以a的取值范圍為（2）設直線與的圖象相切于，，由題意可知，代入，，左邊式子關于單調遞減且時，左邊17．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）取中點O，連，∴F為的中點，∴，又面面.∴平面，，∴，又∵平面平面，平面平面.∴平面，又平面，∴.又平面，平面，∴平面，平面.∴平面平面，因為平面，所以平面.（2）以O為坐標原點，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設平面的法向量為.∴令，則設平面的法向量為.∴令，則.∴.∴二面角的正弦值為.18．【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析，無關(2)（i）；（ii）【詳解】（1）將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計280220500零假設：南北方游客來此景點旅游與短視頻無關聯(lián)．，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為南北方游客來此景點旅游與收看短視頻有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）（i）設經過次傳遞后回到甲的概率為，，，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.（ii）（方法一）設第次傳遞時甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點分布，，設前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，，因為，所以.（方法二）設第次傳遞時，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點分布，，由題可知，，又，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，，故.19．【正確答案】(1)(2)存在，或((3)【詳解】（1）設則，由得，又在橢圓上，所以代入化簡得，所以點的軌跡的方程為（2）當兩條切線的斜率存在時，設過點的切線為，聯(lián)立，消去得則由判別式，得，設兩條切線的斜率分別為，依題意得即，又點在軌跡上，所以，解得