2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山市高三上冊期末數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝3+i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知命題“?x∈R，使2x2+（a﹣1）x+12≤A．{a|a≤﹣1} B．{a|﹣1＜a＜3} C．{a|﹣1≤a≤3} D．{a|﹣3＜a＜1}3．（5分）青少年的身高一直是家長和社會關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個體成長，也是社會健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn)．某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N（172，σ2），且身高在168cm到176cm之間的人數(shù)占樣本量的75%，則樣本中身高不低于176cm的約有（）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人4．（5分）已知sin(α+π3)=A．?79 B．79 C．?5．（5分）在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為（）A．224 B．212 C．266．（5分）“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動之一，登舟比賽的劃手分為劃左槳和劃右槳．某訓(xùn)練小組有6名劃手，其中有2名只會劃左槳，2名只會劃右槳，2名既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2名劃右槳，則不同的選派方法共有（）A．15種 B．18種 C．19種 D．36種7．（5分）已知平行四邊形ABCD中，AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，則OM→?CMA．?916 B．916 C．?8．（5分）若F為雙曲線C：x24?y25=1的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線A．[14，15] B．[?二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）某同學(xué)最近6次考試的數(shù)學(xué)成績?yōu)?07，114，136，128，122，143．則（）A．成績的第60百分位數(shù)為122 B．成績的極差為36 C．成績的平均數(shù)為125 D．若增加一個成績125，則成績的方差變?。ǘ噙x）10．（6分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上、下兩個頂點(diǎn)分別為B1、B2，B1A．橢圓C的離心率為33 B．直線AB1的斜率為3C．△AB1F2為等腰三角形 D．A（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若函數(shù)f（2x﹣3）的圖像關(guān)于點(diǎn)（2，1）對稱，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，且f（0）＝0，則（）A．f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱 B．f（x+4）＝f（x） C．f′（1026）＝2 D．i=150f（三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{a，a2﹣1}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a的值為．13．（5分）已知定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)f(x)=2sin(ωx+2π3)(ω＞0)的值域?yàn)閇?2，3]14．（5分）已知實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，則(x+1)2+(3y+1)四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝4，且a5﹣4，a5，a5+6成等比數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn?bn+1bnbn+1=an16．如圖，已知四棱錐E﹣ABCD，底面ABCD是平行四邊形，且∠DAB=π3，AD＝2AB＝2，BE＝PE，P是線段AD的中點(diǎn)，BE⊥（1）求證：PC⊥平面BPE；（2）下列條件任選其一，求二面角P﹣EC﹣B的余弦值．①AE與平面ABCD所成的角為π4②D到平面EPC的距離為34注：如果選擇多個條件分別解答，按一個解答計分．17．某類型的多項(xiàng)選擇題設(shè)置了4個選項(xiàng)，一道題中的正確答案或是其中2個選項(xiàng)、或是其中3個選項(xiàng)．該類型題目評分標(biāo)準(zhǔn)如下：每題滿分6分，若未作答或選出錯誤選項(xiàng)，則該題得0分；若正確答案是2個選項(xiàng)，則每選對1個正確選項(xiàng)得3分；若正確答案是3個選項(xiàng)，則每選對1個正確選項(xiàng)得2分．甲、乙、丙三位同學(xué)各自作答一道此類題目，設(shè)該題正確答案是2個選項(xiàng)的概率為p．（1）已知甲同學(xué)隨機(jī)（等可能）選擇了2個選項(xiàng)作答，若p=1（2）已知乙同學(xué)隨機(jī)（等可能）選出1個選項(xiàng)作答，丙同學(xué)隨機(jī)（等可能）選出2個選項(xiàng)作答，若p=118．已知圓C過點(diǎn)P（4，1），M（2，3）和N（2，﹣1），且圓C與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)F是拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)．（1）求圓C和拋物線E的方程；（2）過點(diǎn)P作直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A，B分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)Q，試判斷直線QM與圓C的另一個交點(diǎn)D是否為定點(diǎn)，如果是，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．19．定義：函數(shù)f（x）滿足對于任意不同的x1，x2∈[a，b]，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|，則稱f（x）為[a，b]上的“k類函數(shù)”．（1）若f(x)=x23+1，判斷（2）若f(x)=a(x?1)ex?x2（3）若f（x）為[1，2]上的“2類函數(shù)”，且f（1）＝f（2），證明：?x1，x2∈[1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|＜1．

答案與試題解析題號12345678答案DBAABCAD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝3+i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由題意求出z，進(jìn)而解出z，判斷z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限即可．解：復(fù)數(shù)z滿足（1﹣i）z＝3+i，則z=3+i所以z=1?2i所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣2）位于第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知命題“?x∈R，使2x2+（a﹣1）x+12≤A．{a|a≤﹣1} B．{a|﹣1＜a＜3} C．{a|﹣1≤a≤3} D．{a|﹣3＜a＜1}【分析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再用判別式Δ＜0列不等式求得a的取值范圍．解：命題“?x∈R，使2x2+（a﹣1）x+1則它的否定命題“?x∈R，都有2x2+（a﹣1）x+1所以Δ＝（a﹣1）2﹣4×2×1解得﹣1＜a＜3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|﹣1＜a＜3}．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了命題與它的否定命題應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．（5分）青少年的身高一直是家長和社會關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個體成長，也是社會健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn)．某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N（172，σ2），且身高在168cm到176cm之間的人數(shù)占樣本量的75%，則樣本中身高不低于176cm的約有（）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求出樣本中身高不低于176cm的人數(shù)占比，即可得解．解：設(shè)樣本中本市高三學(xué)生的身高為隨機(jī)變量X，則X～N（172，σ2），由題意知，P（168＜X＜176）＝75%＝0.75，所以P（X≥176）＝0.5?1所以樣本中身高不低于176cm的約有0.125×1200＝150人．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查正態(tài)分布的對稱性，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知sin(α+π3)=A．?79 B．79 C．?【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，找出所求角與已知角之間的關(guān)系，結(jié)合二倍角公式運(yùn)算．解：cos（2α+2π3）＝cos2（α+π3）＝1﹣2sin2（又2α?π3=（2α+所以cos（2α?π3）＝cos[（2α+2π3）﹣π]＝﹣cos（2故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了二倍角公式，誘導(dǎo)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為（）A．224 B．212 C．26【分析】推導(dǎo)出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，OB＝OC＝OD=22，BO⊥AD，BO⊥OC，從而BO⊥平面ACD，由此能求出四面體解：在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形，四面體ABCD的四個頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，OB＝OC＝OD=22，BO⊥AD，BO⊥∴BO⊥平面ACD，∴四面體ABCD的體積為：VB﹣ACD=1故選：B．【點(diǎn)評】本題考查四面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．6．（5分）“賽龍舟”是端午節(jié)重要的民俗活動之一，登舟比賽的劃手分為劃左槳和劃右槳．某訓(xùn)練小組有6名劃手，其中有2名只會劃左槳，2名只會劃右槳，2名既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)從這6名劃手中選派4名參加比賽，其中2名劃左槳，2名劃右槳，則不同的選派方法共有（）A．15種 B．18種 C．19種 D．36種【分析】記A＝{只會劃左槳的兩人}，B＝{只會劃右槳的兩人}，C＝{既會劃左槳又會劃右槳的兩人}，分三類，①從A中選擇2人劃左槳，劃右槳的在B∪C中選兩人，②從A中選擇1人劃左槳，則從C中選1人劃左槳，再從B∪C剩下的3人中選2人劃右槳，③從A中選擇0人劃左槳，則B中的兩人劃右槳，從C中選2人劃左槳，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果．解：根據(jù)題意，記A＝{只會劃左槳的兩人}，B＝{只會劃右槳的兩人}，C＝{既會劃左槳又會劃右槳的兩人}，①從A中選擇2人劃左槳，劃右槳的在B∪C中選兩人，共有C2②從A中選擇1人劃左槳，則從C中選1人劃左槳，再從B∪C剩下的3人中選2人劃右槳，共有C2③從A中選擇0人劃左槳，則B中的兩人劃右槳，從C中選2人劃左槳，共有C2所以不同的選派方法共有6+12+1＝19種．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查組合及簡單計數(shù)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知平行四邊形ABCD中，AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)，則OM→?CMA．?916 B．916 C．?【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，以及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．解：因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，故ABCD為菱形，建立如圖坐標(biāo)系；則A（?3，0），B（0，﹣1），C（3，0），故直線BC的方程為：y=33∵點(diǎn)M是線段BC上一點(diǎn)；故M（x，33x﹣1）；且0≤x≤∴OM→=（x，33x﹣1）；CM→=（x故OM→?CM→=x（x?3）+（33x﹣1）2=對稱軸x=538∈∴當(dāng)x=538時，OM→?CM→取最小值為：43×（故選：A．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）若F為雙曲線C：x24?y25=1的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線A．[14，15] B．[?【分析】求得雙曲線的a，b，c，設(shè)|AF|＝m，|FB|＝n，F(xiàn)'為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接BF'，AF'，由對稱性可得四邊形AFBF'為平行四邊形，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得極值、最值，進(jìn)而得到所求范圍．解：雙曲線C：x24?y25=1設(shè)|AF|＝m，|FB|＝n，F(xiàn)'為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接BF'，AF'，由對稱性可得四邊形AFBF'為平行四邊形，可得|BF'|＝|AF|＝m，可得n﹣m＝2a＝4，n＝m+4，且m≥c﹣a＝1，則1|FA|?4|FB|=1m?4f′（m）=?1當(dāng)m＞4時，f′（m）＞0，f（m）遞增，1≤m＜4時，f′（m）＜0，f（m）遞減，可得f（m）在m＝4處取得極小值，且為最小值?1當(dāng)m＝1時，f（1）=15，當(dāng)m→+∞時，f（則f（m）∈[?14，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查平行四邊形的性質(zhì)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）某同學(xué)最近6次考試的數(shù)學(xué)成績?yōu)?07，114，136，128，122，143．則（）A．成績的第60百分位數(shù)為122 B．成績的極差為36 C．成績的平均數(shù)為125 D．若增加一個成績125，則成績的方差變小【分析】利用百分位數(shù)、極差、平均數(shù)、方差的定義可以判斷每個選項(xiàng)．解：將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列依次為：107，114，122，128，136，143，對于A，6×60%＝3.6，故60百分位數(shù)可取第4個數(shù)據(jù)，即128，A選項(xiàng)錯誤；對于B，極差為：143﹣107＝36，B選項(xiàng)正確；對于C，x=107+114+122+128+136+1436對于D，設(shè)原數(shù)據(jù)的方差為s12，新數(shù)據(jù)的方差為s所以i=16(xi故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查樣本的百分位數(shù)、極差、平均數(shù)、方差的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，上、下兩個頂點(diǎn)分別為B1、B2，B1A．橢圓C的離心率為33 B．直線AB1的斜率為3C．△AB1F2為等腰三角形 D．A【分析】利用橢圓的對稱性與定義，可證△AB1F2為等腰三角形，從而判斷選項(xiàng)C；在△B1F1F2和△AB1F2中，均運(yùn)用余弦定理，可求得a=3c，從而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)a，b，c的關(guān)系以及直線斜率的計算方法可判斷選項(xiàng)B；在△AB1B2中，利用余弦定理求出AB2，可判斷選項(xiàng)D解：設(shè)AF1=12B由橢圓的對稱性知，B1F2＝B1F1＝2m，由橢圓的定義知，B1F2+B1F1＝4m＝2a，即m=a所以AF1=a2，AB1＝AF1+B1F1=由橢圓的定義知，AF1+AF2＝2a，所以AF2=32a＝AB1，即△AB1F2為等腰三角形，故選項(xiàng)在△B1F1F2中，由余弦定理知，cos∠F1B1F2=B在△AB1F2中，由余弦定理知，cos∠F1B1F2=A所以a2?2c2a所以離心率e=ca=因?yàn)閎=a2所以直線AB1的斜率為bc=2在Rt△OB1F1中，cos∠OB1F1=b在△AB1B2中，由余弦定理知，AB22=AB12+B=94a2+4?(23a即AB2=112所以AB2：AB1=1123a：32a故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，熟練掌握橢圓的定義與幾何性質(zhì)，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（6分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若函數(shù)f（2x﹣3）的圖像關(guān)于點(diǎn)（2，1）對稱，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，且f（0）＝0，則（）A．f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱 B．f（x+4）＝f（x） C．f′（1026）＝2 D．i=150f（【分析】由函數(shù)的對稱性和周期性，結(jié)合賦值法和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，對選項(xiàng)判斷，可得結(jié)論．解：對于A，因?yàn)閒（2x﹣3）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對稱，所以f（2x﹣3）+f（2（4﹣x）﹣3）＝2，即f（2x﹣3）+f（5﹣2x）＝2，所以f（x﹣3）+f（5﹣x）＝2，即f（x+1）+f（1﹣x）＝2，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，選項(xiàng)A正確；由f（0）＝0，2f（1）＝2，即f（1）＝1，f（2）+f（0）＝2，即有f（2）＝2，又f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，可得f（3）﹣f（1）＝4，解得f（3）＝5，f（4）﹣f（0）＝8，即有f（4）＝8，由f（5）﹣f（﹣1）＝12，f（3）+f（﹣1）＝2，可得f（5）＝9≠f（1），故B錯誤；由f（1+x）+f（1﹣x）＝2，即f（x）+f（2﹣x）＝2，f（﹣x）+f（2+x）＝2，又f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，可得f（x）﹣f（﹣x）＝4x，對上式兩邊取導(dǎo)數(shù)，可得f′（x）+f′（﹣x）＝4，再對f（﹣x）+f（2+x）＝2求導(dǎo)數(shù)，可得f′（x+2）＝f′（﹣x），即有f′（x）+f′（x+2）＝4，f′（x+2）+f′（x+4）＝4，即為f′（x+4）＝f′（x），y＝f′（x）是最小正周期為4的函數(shù)，可得f′（1026）＝f′（2）＝f′（0）＝2，故C正確；對于D，由f（2+x）﹣f（2﹣x）＝4x，得f（2+x）﹣2（2+x）＝f（2﹣x）﹣2（2﹣x），設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x，所以g（2+x）＝g（2﹣x），g（1+x）+g（1﹣x）＝f（1+x）﹣2（1+x）+f（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝f（1+x）+f（1﹣x）﹣4＝﹣2，則g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，﹣1）對稱，可得g（2+x）+g（﹣x）＝﹣2，則g（2﹣x）+g（﹣x）＝﹣2，即g（x+2）+g（x）＝﹣2，g（x+4）+g（x+2）＝﹣2，則g（x+4）＝g（x），所以g（x）是以4為周期的函數(shù)，因?yàn)間（0）＝f（0）﹣2×0＝0，g（1）＝f（1）﹣2＝1﹣2＝﹣1，g（2）＝﹣2﹣g（0）＝﹣2，g（3）＝g（1）＝﹣1，所以f（1）+f（2）+…+f（50）＝g（1）+g（2）+…+g（50）+2（1+2+…+50）＝﹣4×12﹣1﹣2+2550＝2499，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于難題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{a，a2﹣1}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a的值為1或2．【分析】由題意可得B?A，由此可求出a的值，代入檢驗(yàn)即可得出答案．解：因?yàn)榧螦＝{0，1，2，3}，B＝{a，a2﹣1}，若A∪B＝A，所以B?A，所以a＝0或1或2或3，或a2﹣1＝0或1或2或3，解得：a＝0或1或2或3或﹣1或3或?3當(dāng)a＝0時，B＝{0，﹣1}，不滿足B?A；當(dāng)a＝1時，B＝{1，0}，滿足B?A；當(dāng)a＝2時，B＝{2，3}，滿足B?A；當(dāng)a＝3時，B＝{3，8}，不滿足B?A；當(dāng)a＝﹣1時，B＝{﹣1，0}，不滿足B?A；當(dāng)a=3時，B={3，2}，不滿足B當(dāng)a=?3時，B={?3，2}，不滿足B當(dāng)a＝﹣2時，B＝{﹣2，3}，不滿足B?A；綜上：實(shí)數(shù)a的值為1或2．故1或2．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)f(x)=2sin(ωx+2π3)(ω＞0)的值域?yàn)閇?2，3]，則ω的取值范圍為[【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)列不等式組求解．解：由題意，定義在區(qū)間[0，π]上的y＝sin（ωx+2π3）（ω＞0）的值域?yàn)閇﹣1，∵0≤x≤π，且ω＞0，∴2π3≤ωx+2π則3π2≤ωπ+2π3≤故[56，5【點(diǎn)評】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．14．（5分）已知實(shí)數(shù)x＞0，y＞0，則(x+1)2+(3y+1)【分析】將分式化簡，然后結(jié)合平方均值不等式與基本不等式的相關(guān)知識即可得到結(jié)論解：因?yàn)?x+1)2+(3y+1)因?yàn)閤＞0，y＞0，所以根據(jù)平方均值不等式得：x2當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時等號成立，將上式化簡得：1+=1+2當(dāng)且僅當(dāng)：x+3y2=2x+3y時等號成立，即x+3y＝2，又因?yàn)樗援?dāng)x=1，y=1故2【點(diǎn)評】本題主要考察了基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)條件化簡可以知道，基本不等式的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝4，且a5﹣4，a5，a5+6成等比數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn?bn+1bnbn+1=an【分析】（1）利用定義及性質(zhì)列方程即可求解；（2）由bn?bn+1b解：（1）因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，a1＝4，設(shè)公差為d，由題可得a5解得a5＝12，則d=a故an＝a1+（n﹣1）d＝2n+2；（2）由bn?b所以1b所以當(dāng)n≥2時，1=a又b1=1即bn所以T=1?1【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求解及裂項(xiàng)相消求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．16．如圖，已知四棱錐E﹣ABCD，底面ABCD是平行四邊形，且∠DAB=π3，AD＝2AB＝2，BE＝PE，P是線段AD的中點(diǎn)，BE⊥（1）求證：PC⊥平面BPE；（2）下列條件任選其一，求二面角P﹣EC﹣B的余弦值．①AE與平面ABCD所成的角為π4②D到平面EPC的距離為34注：如果選擇多個條件分別解答，按一個解答計分．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形中的幾何關(guān)系可得PC=3再根據(jù)勾股定理可得BP⊥PC（2）選①，取BP中點(diǎn)為O，連接EO，AO，根據(jù)幾何關(guān)系可得AO⊥BP，EO⊥BP，根據(jù)（1）可得EO⊥PC，根據(jù)線面垂直的判定定理可得EO⊥平面ABCD，則AE與平面ABCD所成的角為∠EAO=π4，由此計算出EO，進(jìn)而計算得BE，可得△選②，取BP中點(diǎn)為O，連接EO，AO，計算長度及S△EPC，S△PCD，根據(jù)等體積法可求得EO，即可得△EBP為等邊三角形，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求得各個點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面EPC的法向量及平面EBC的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對值即為二面角的余弦值絕對值即可求得結(jié)果．（1）證明：因?yàn)椤螪AB=π3，且AP＝AB＝1，故在△PDC中，PD=DC=1，∠PDC=2π由余弦定理可得：cos∠PDC=P解得PC=3，在△BPC中，BP=1，PC=所以BP2+PC2＝BC2，即BP⊥PC，又因?yàn)锽E⊥PC，BP∩BE＝E，BE?平面BPE，BP?平面BPE，所以PC⊥平面BPE；（2）解：選①，取BP中點(diǎn)為O，連接EO，AO，如圖所示：因?yàn)锽E＝PE，故EO⊥BP，由（1）得PC⊥平面BPE，因?yàn)镋O?平面BPE，所以EO⊥PC，因?yàn)锽P∩PC＝P，BP?平面ABCD，PC?平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，所以∠EAO為AE與平面ABCD所成的角，即∠EAO=π4，因?yàn)椤螪AB=π3，所以△ABP為等邊三角形，且邊長為1，所以BP＝1，AO=3由∠EAO=π4可得因?yàn)锽O=PO=12BP=所以BE＝PE＝1＝BP，所以△EBP為等邊三角形，以O(shè)為原點(diǎn)，OA→，OP→，OE→則P(0，1EP→設(shè)n1→=(則n1→?取z1＝1，可得平面EPC的法向量n1設(shè)n2→=(則n2→?取z2＝﹣1，可得平面EBC的法向量n2設(shè)二面角P﹣EC﹣B所成的角為θ，則cosθ=|cos?n所以二面角P﹣EC﹣B的余弦值為55選②，取BP中點(diǎn)為O，連接EO，AO，如圖所示：因?yàn)锽E＝PE，故EO⊥BP，由（1）得PC⊥平面BPE，因?yàn)镋O?平面BPE，所以EO⊥PC，因?yàn)锽P∩PC＝P，BP?平面ABCD，PC?平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，設(shè)D到平面EPC的距離為?=3因?yàn)椤螪AB=π3，AB＝AP，所以△所以BP＝1，OP=12，設(shè)EO＝x，則因?yàn)镻D=DC，∠PDC=2π3，所以因?yàn)椤螪AB=π3，O為BP中點(diǎn)，所以所以AO∥PC，由AO⊥BP，AO⊥EO，BP∩EO＝O，BP?平面EBP，EO?平面EBP，所以AO⊥平面EBP，因?yàn)镋P?平面EBP，所以AO⊥EP，即PC⊥EP，所以S△EPC=12×EP×PC，因?yàn)閂E﹣PDC＝即13即13解得x=32，即EO=32，所以BE＝PE＝1＝以O(shè)為原點(diǎn)，OA→，OP→，OE→所以P(0，12，0)，B(0，?設(shè)n1→=(則n1取z1＝1，可得平面EPC的法向量n1設(shè)n2→=(則n2取z2＝﹣1，可得平面EBC的法向量n2設(shè)n1→，n2所以二面角P﹣EC﹣B的余弦值為55【點(diǎn)評】本題主要考查直線與平面垂直的證明，二面角的求法，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．某類型的多項(xiàng)選擇題設(shè)置了4個選項(xiàng)，一道題中的正確答案或是其中2個選項(xiàng)、或是其中3個選項(xiàng)．該類型題目評分標(biāo)準(zhǔn)如下：每題滿分6分，若未作答或選出錯誤選項(xiàng)，則該題得0分；若正確答案是2個選項(xiàng)，則每選對1個正確選項(xiàng)得3分；若正確答案是3個選項(xiàng)，則每選對1個正確選項(xiàng)得2分．甲、乙、丙三位同學(xué)各自作答一道此類題目，設(shè)該題正確答案是2個選項(xiàng)的概率為p．（1）已知甲同學(xué)隨機(jī)（等可能）選擇了2個選項(xiàng)作答，若p=1（2）已知乙同學(xué)隨機(jī)（等可能）選出1個選項(xiàng)作答，丙同學(xué)隨機(jī)（等可能）選出2個選項(xiàng)作答，若p=1【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合期望公式，依次求出二者的期望，再比較大小，即可求解．解：事件A為該題的正確答案是2個選項(xiàng)，則A為該題的正確答案是3個選項(xiàng)，即P（A）＝p，P(A（1）由p=12得，P(A)=1設(shè)事件B為甲同學(xué)既選出正確選項(xiàng)也選出錯誤選項(xiàng)，則P(B|A)=C21C2（2）由p=13得，P(A)=1設(shè)X表示乙同學(xué)答題得分，則X的取值范圍為{0，2，3}，則P(X=0)=CP(X=2)=CP（X＝3）=C所以E(X)=0×1設(shè)Y表示乙同學(xué)答題得分，則Y的取值范圍為{0，4，6}，則P(Y=0)=CP(Y=4)=CP(Y=6)=C所以E(Y)=0×1118+4×13+6×118=故乙同學(xué)得分?jǐn)?shù)學(xué)期望小于丙同學(xué)得分?jǐn)?shù)學(xué)期望．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)學(xué)期望公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．18．已知圓C過點(diǎn)P（4，1），M（2，3）和N（2，﹣1），且圓C與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)F是拋物線E：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)．（1）求圓C和拋物線E的方程；（2）過點(diǎn)P作直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A，B分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)Q，試判斷直線QM與圓C的另一個交點(diǎn)D是否為定點(diǎn)，如果是，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．【分析】（1）由圓C過的三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得線段PM，MN的中垂線的方程，進(jìn)而求出圓心C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的半徑r＝|PC|，求出圓的的方程，令x＝0，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出p的值，即求出拋物線的方程；（2）設(shè)直線l的方程，圓拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，進(jìn)而可得過點(diǎn)A，B的切線方程，聯(lián)立兩個方程，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出直線QM的方程，代入圓C的方程，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．解（1）點(diǎn)P（4，1），M（2，3）和N（2，﹣1），可得PM的中點(diǎn)（3，2），k=3?1所以線段PM的中垂線的方程為y﹣2＝x﹣3，即y＝x﹣1，線段MN的中垂線的方程為y=3?1聯(lián)立y=x?1y=1，可得x＝2，y所以圓心C（2，1），圓的半徑r＝|PC|＝2，所以圓C的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，令x＝0，可得y＝1，由題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），所以拋物線的方程為x2＝4y；所以圓的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，拋物線的方程為x2＝4y；（2）顯然直線AB的方程的向量存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣4）+1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=kx?4k+1x2=4y，整理可得x2﹣4kxΔ＝16k2﹣4×1×（16k﹣4）＞0，可得k2﹣4k+1＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝16k﹣4，因?yàn)閽佄锞€的方程y=x24，則y則在點(diǎn)A處的斜率k1=x所以在點(diǎn)A處的切線方程為y?x124=x12（x﹣同理在點(diǎn)B處的切線方程為y=x22聯(lián)立y=x12x?x124y=x22x?即Q（2k，4k﹣1），所以QM的方程為y=4k?1?32k?2（即y＝2x﹣1，聯(lián)立y=2x?1(x?2)2+(y?1)2解得x=25或可得x=25y=?所以直線QM與圓C的交點(diǎn)D（25，?【點(diǎn)評】本題考查圓的方程及拋物線的方程的求法，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，過拋物線上的點(diǎn)的切線的方程，直線與圓的交點(diǎn)的求法，屬于中檔題．19．定義：函數(shù)f（x）滿足對于任意不同的x1，x2∈[a，b]，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|，則稱f（x）為[a，b]上的“k