2024-2025學(xué)年山西省忻州市高二上冊(cè)1月期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山西省忻州市高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（

）A．B．C．D．2．已知直線，直線.若，則（

）A．4 B．-2 C．4或-2 D．33．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．4．若數(shù)列滿足，，則（

）A． B．11 C． D．5．函數(shù)的極大值為（

）A． B． C． D．6．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．17．在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．的公差為1 B．的公差為2C． D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增C．有2個(gè)極大值點(diǎn)D．只有1個(gè)極小值點(diǎn)11．已知，在同一個(gè)坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．在上單調(diào)遞減C．的取值范圍是D．的取值范圍是三、填空題（本大題共4小題）13．物體位移（單位：）和時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，則當(dāng)時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為.14．已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則．15．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則點(diǎn)與該圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為．16．在數(shù)列與中，已知，則．四、解答題（本大題共6小題）17．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的最值.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知直四棱柱的底面是菱形，且，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形為菱形．(2)求點(diǎn)到平面的距離．20．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)證明.21．已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．(1)求橢圓和雙曲線的離心率；(2)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過F作軸交雙曲線于點(diǎn)P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性.(2)是否存在兩個(gè)正整數(shù)，，使得當(dāng)時(shí)，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案1．【正確答案】D【分析】觀察數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)，找到各項(xiàng)之間的規(guī)律，即可寫出一個(gè)通項(xiàng)公式，結(jié)合選項(xiàng)，即得答案.【詳解】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分?jǐn)?shù)部分正負(fù)相間，首項(xiàng)的分?jǐn)?shù)部分為負(fù)，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為，故選：D2．【正確答案】A【分析】由直線平行的必要條件列出方程求解參數(shù)，并注意回代檢驗(yàn)是否滿足平行而不是重合.【詳解】因?yàn)?，所以，即，得?當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，重合.故.故選：A.3．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合等比數(shù)列的定義，得到，即可求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.4．【正確答案】D【分析】探索數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性求指定項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以數(shù)列周期為3的數(shù)列.所以，所以，故.故選：D5．【正確答案】B【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的極大值為.故選：B.6．【正確答案】A【分析】利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)分別表示直線的斜率，可建立關(guān)于的方程，求解可得.【詳解】設(shè)，，則，兩式作差得，，當(dāng)時(shí)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得．設(shè)線段中點(diǎn)，因?yàn)樽鴺?biāo)，且過焦點(diǎn)，所以，則的斜率，解得．故選：A.7．【正確答案】B【分析】建系，求出平面的法向量為，再代入線面角的公式求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫?，都在面?nèi)，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則所以取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，所以．故選：B8．【正確答案】D【分析】由，得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)遞增，所以，據(jù)此即可求解.【詳解】由，得，設(shè)函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，?故選：D.9．【正確答案】ACD【分析】列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，判斷A，B；根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式即可判斷C，D.【詳解】設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；，，C，D正確.故選：ACD10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象與函數(shù)單調(diào)性以及極值的關(guān)系一一分析即可.【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，A，B均正確.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極大值點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.11．【正確答案】BD【分析】先根據(jù)題意得到曲線為，直線為，再根據(jù)當(dāng)，，，時(shí)，曲線及直線的橫截距與縱截距的關(guān)系即可逐項(xiàng)判斷．【詳解】因?yàn)椋郧€為，直線為，當(dāng)時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．12．【正確答案】ABD【分析】對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖象判斷AB，令，將問題轉(zhuǎn)化為和共有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合的圖象判斷CD.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，A正確；因?yàn)椋罱獾?，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，B正確；又當(dāng)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)時(shí)，，故可作的草圖如圖，令，則，即方程的兩根為，若是方程的根，則，顯然不符合題意，因?yàn)榉匠逃?個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以或，當(dāng)時(shí)，解得，所以，即異號(hào)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即有解得，即的取值范圍為，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)根的分布從而得到相關(guān)不等式，即可求出的范圍.13．【正確答案】/2.25【分析】對(duì)位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系求導(dǎo)，代入即可求解.【詳解】，則.故答案為.14．【正確答案】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)弦長公式求解.【詳解】設(shè)雙曲線與直線交于兩點(diǎn)，由消去整理得，則，解得，且，所以．由，解得，所以．故15．【正確答案】1【分析】利用圓關(guān)于直線對(duì)稱可知該直線過圓心，可得，再利用定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值的求法即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，該圓的圓心為，直線過圓心，則，解得，則該圓的方程轉(zhuǎn)化為，該圓圓心為，半徑為，易知圓心與的距離為，故點(diǎn)與該圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為．故116．【正確答案】1【分析】由已知計(jì)算可得為常數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以為常數(shù)列，即，所以．故1.17．【正確答案】(1)；(2)最大值為16，最小值為.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）由（1）中信息，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最值.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由，得或，由，得，顯然當(dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，所以在上的最大值為16，最小值為.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用的關(guān)系式即可求得的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消求和可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.符合，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，可證得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)法證明及即可.（2）運(yùn)用空間向量點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，所以為等邊三角形，所以，又，所以，易知兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，可得，．證明：由上可得，所以，且，所以四邊形為菱形．（2）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即，取，得．又，所以點(diǎn)到平面的距離．20．【正確答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)數(shù)列兩邊取對(duì)數(shù)，再結(jié)合“累乘法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對(duì)數(shù)列，根據(jù)前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和，然后再證明不等式.【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以，所以，?當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)?，所以，所?也符合上式，所以.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，即，所以，所以的通項(xiàng)公式為（2）因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以.因?yàn)?，，所以，?21．【正確答案】(1)橢圓的離心率，雙曲線的離心率(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)運(yùn)算求解；（2）由（1）可知，聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式分析證明.【詳解】（1）橢圓的焦距，雙曲線的焦距，則，整理得，從而，，故橢圓的離心率，雙曲線的離心率．（2）由（1）可知，橢圓，因?yàn)?，所以直線的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，則，則，可得，即，因?yàn)?，，，則，，故．方法點(diǎn)睛：與弦端點(diǎn)相關(guān)問題的解法解決與弦端點(diǎn)有關(guān)的向量關(guān)系、位置關(guān)系等問題的一般方法，就是將其轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)聯(lián)立消元后的一元二次方程根與系數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解．22．【正確答案】(1)答案見解析(2)，【分析】（1）求得，分，討論的單調(diào)性.（2）將問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的值域確定，分別就分析是否滿足題意.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞