2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三上冊期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三上學(xué)期期末教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、填空題（本大題共12小題）1．若對數(shù)函數(shù)且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則實(shí)數(shù).2．直線的傾斜角.3．已知復(fù)數(shù)，，，若為純虛數(shù)，則．4．的展開式中的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）5．在中，，，，則．6．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為．7．若等差數(shù)列滿足，，則．8．已知函數(shù)的表達(dá)式為，則不等式的解集為．9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線上的點(diǎn)在第一象限，且與雙曲線的一條漸近線平行，則的面積為．

10．某地要建造一個市民休閑公園長方形，如圖，邊，邊，其中區(qū)域開挖成一個人工湖，其他區(qū)域為綠化風(fēng)景區(qū)．經(jīng)測算，人工湖在公園內(nèi)的邊界是一段圓弧，且、位于圓心的正北方向，位于圓心的北偏東60°方向．?dāng)M定在圓弧處修建一座漁人碼頭，供游客湖中泛舟，并在公園的邊、開設(shè)兩個門、，修建步行道、通往漁人碼頭，且、，則步行道、長度之和的最小值是．（精確到0.001）11．已知空間中三個單位向量、、，，為空間中一點(diǎn)，且滿足，，，則點(diǎn)個數(shù)的最大值為．12．已知在復(fù)數(shù)集中，等式對任意復(fù)數(shù)恒成立，復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面上對應(yīng)的4個點(diǎn)為某個單位圓內(nèi)接正方形的4個頂點(diǎn)，，則滿足條件的不同集合個數(shù)為．二、單選題（本大題共4小題）13．若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（）A． B． C． D．14．設(shè)、為兩條直線，、為兩個平面，且．下述四個命題中為假命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則或15．對一組數(shù)據(jù)3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一個數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量一定會發(fā)生變化的為（）A．中位數(shù) B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．方差16．設(shè)函數(shù)，的定義域均為，值域分別為、，且．若集合S滿足以下兩個條件：（1）；（2）是有限集，則稱和是S-互補(bǔ)函數(shù)．給出以下兩個命題：①存在函數(shù)，使得和是-互補(bǔ)函數(shù)；②存在函數(shù)，使得和是-互補(bǔ)函數(shù)．則（）A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題三、解答題（本大題共5小題）17．已知函數(shù)的表達(dá)式為，．(1)若函數(shù)的最小正周期為，求的值及的單調(diào)增區(qū)間；(2)若，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為，求當(dāng)時，的值域．18．如圖，已知為圓柱底面圓的直徑，，母線長為3，點(diǎn)為底面圓的圓周上一點(diǎn)．(1)若，求三棱錐的體積；(2)若，求異面直線與所成的角的余弦值．19．申輝中學(xué)為期兩周的高一、高二年級校園籃球賽告一段落．高一小、高二小分別榮獲了高一年級和高二年級比賽的年級MVP（最有價值球員）．以下是他們在各自8場比賽的二分球和三分球出手次數(shù)及其命中率．二分球出手二分球命中率三分球出手三分球命中率小100次100次小190次10次現(xiàn)以兩人的總投籃命中率（二分球+三分球）較高者評為校（總投籃命中率總命中次數(shù)÷總出手次數(shù)）(1)小認(rèn)為，目測小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能評為校，試通過計算判斷小的想法是否準(zhǔn)確？(2)小是游戲愛好者，設(shè)置了一款由游戲人物小、小輪流投籃對戰(zhàn)游戲，游戲規(guī)則如下：①游戲中小的命中率始終為0.4，小的命中率始終為0.3，②游戲中投籃總次數(shù)最多為次，且同一個游戲人物不允許連續(xù)技籃．③游戲中若投籃命中，則游戲結(jié)束，投中者獲得勝利；若直至第次投籃都沒有命中，則規(guī)定第二次投籃者獲勝．若每次游戲?qū)?zhàn)前必須設(shè)置“第一次投籃人物”和“”的值，請解答以下兩個問題．（?。┤粜〉谝淮瓮痘@，請證明小獲勝概率大；（ⅱ）若小第一次投籃，試問誰的獲勝概率大？并說明理由．20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．(1)若，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求的取值范圍；(3)若軸，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值．21．過曲線上一點(diǎn)作其切線，若恰有兩條，則稱為的“類點(diǎn)”；過曲線外一點(diǎn)作其切線，若恰有三條，則稱為的“類點(diǎn)”；若點(diǎn)為的“類點(diǎn)”或“類點(diǎn)”，且過存在兩條相互垂直的切線，則稱為的“類點(diǎn)”．(1)設(shè)，判斷點(diǎn)是否為的“類點(diǎn)”，并說明理由；(2)設(shè)，若點(diǎn)為的“類點(diǎn)”，且過點(diǎn)的三條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)可構(gòu)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；(3)設(shè)，證明：軸上不存在的“類點(diǎn)”．

答案1．【正確答案】2【詳解】將點(diǎn)代入得，解得故2.2．【正確答案】【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，易知直線的斜率為，所以，解得.故3．【正確答案】5【詳解】，因為為純虛數(shù)，所以，所以，所以，故5.4．【正確答案】20【詳解】的展開式中第項為，令得：的系數(shù)為.故20．5．【正確答案】【詳解】在中，由，，得，由正弦定理得，.故6．【正確答案】【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為.故答案為.7．【正確答案】【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，且，可得，即，解得故答案為.8．【正確答案】【詳解】因為，若，則，即，解得；若，則，解得；綜上所述：不等式的解集為.故答案為.9．【正確答案】【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線方程為，依題意，直線的方程為，由，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積為.故10．【正確答案】1.172【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，連接，令圓的半徑為，則，解得，設(shè)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以步行道、長度之和的最小值是.故11．【正確答案】8【詳解】由題意得，，且.以為原點(diǎn)，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)，則，∴，，，∴，，，∴點(diǎn)坐標(biāo)可能為，，，，，，，，故點(diǎn)個數(shù)的最大值為8.故8.12．【正確答案】10【詳解】，對比系數(shù)可得，，，，復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面上對應(yīng)的4個點(diǎn)為某個單位圓內(nèi)接正方形的4個頂點(diǎn)情況1，四個根兩兩互為共軛復(fù)數(shù)，故圓心在軸上，設(shè)單位的圓心為，不妨設(shè)，，，，，類似計算可得，，，因為，所以只能為負(fù)整數(shù)，又集合元素的互異性，從而可得，此時集合的個數(shù)為5個，情況2，四個根有2個為實(shí)數(shù)，另外2個為共軛復(fù)數(shù)故圓心在軸上，設(shè)單位的圓心為，不妨設(shè)，，，，計算可得，，，，因為，所以只能為負(fù)整數(shù)，又集合元素的互異性，從而可得，此時集合的個數(shù)為5個，綜上：滿足條件的不同的個數(shù)為10.故10.13．【正確答案】C【詳解】對于A，令，滿足，但，故A錯誤；對于B，令，滿足，但，故B錯誤；對于C，因為實(shí)數(shù)、滿足，所以，故C正確；對于D，令，滿足，但，故D錯誤；故選：C.14．【正確答案】B【詳解】對于選項A，因為，所以，又，所以，故選項A是真命題，對于選項B，如圖，取平面為，平面為，則直線為直線，取為直線，顯然有，但與異面，所以選項B為假命題，對于選項C，在內(nèi)任取不在直線上的一點(diǎn)，過確定，則，因為，所以，同理可得，，所以，又，故，又，所以，得到，故選項C為真命題，對于選項D，因為，所以，，若，因為，則，若，易知，又，，所以，故選項D為真命題，故選：B.15．【正確答案】D【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)都為3，去掉數(shù)據(jù)1，剩余數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)都不變；去掉數(shù)據(jù)3，剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，ABC不是；若任意去掉其中一個數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)的波動性發(fā)生變化，方差一定發(fā)生變化，D是.故選：D16．【正確答案】A【詳解】對于①，取的值域為，故，，令，滿足和是有限集，從而和是-互補(bǔ)函數(shù)，①正確；對于②，取是增函數(shù)，，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)，只需考慮和即可，先讓的值域包含，則，，那么接下來考慮讓的部分被和取得，因為的值域沒有，所以的值域中沒有，所以的值域沒有，所以考慮讓的值域中有，則的值域有，……，依次類推，按照這樣的方式構(gòu)造下去，可以得到滿足題意的，②正確.故選：A17．【正確答案】(1)，單調(diào)增區(qū)間為；(2)【詳解】（1）因為，所以，解得，，令，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），，時，，故，所以.18．【正確答案】(1)4；(2).【詳解】（1）依題意，平面，由，得，所以三棱錐的體積.（2）過點(diǎn)作圓柱的母線，連接，則，于是四邊形為平行四邊形，，因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，由，得，，，則，，由平面，得，在中，，所以異面直線與所成的角的余弦值為.19．【正確答案】(1)不正確(2)（ⅰ）證明見解析，（ⅱ）答案見解析，理由見解析；【詳解】（1）由題意小總出手200次，命中120次，命中率為：，小總出手200次，命中136次，命中率為，故小獲校，所以小的想法不正確；（2）（?。┳C明：若第一次投籃人物為小，，小獲勝的概率為，小獲勝的概率為，則，所以若小第一次投籃，小獲勝概率大，（ⅱ）若第一次投籃人物為小，，小獲勝的概率為，小獲勝的概率為，則，其中由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：隨著的增大而增大，計算可得：，所以當(dāng)也就是時，，當(dāng)也就是時，，綜上：若小第一次投籃，時，小獲勝概率大，時，小獲勝概率大.20．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由橢圓方程可知：，則，設(shè)直線，，可得，解得，則，解得，則，即，所以.（2）因為，可得，則，因為，則，可得，所以的取值范圍為.（3）設(shè)，由題意可知：，則，且，因為點(diǎn)均在橢圓上，則，兩式相減得，整理可得，即，則，即，可知，又因為，則，可得面積，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以面積的最大值為.1.數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；2.構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值(注意：有時需先換元后再求最值)．21．【正確答案】(1)是，理由見解析；(2)2；(3)證明見解析.【詳解】（1）函數(shù)，，點(diǎn)在上，求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，即，由切線過，得，,解得或，因此切線方程為，所以點(diǎn)為的“類點(diǎn)”.（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，即，切線過，則，依題意，方程有三個不同解，且成等差數(shù)列，設(shè)為，公差為，，因此，則，，則，當(dāng)時，，不過，所以的值為2.（3）