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2024-2025學(xué)年四川省眉山市彭山區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題(每個小題有且僅有1個正確選項,每小題5分)1.直線的傾斜角為A. B. C. D.【正確答案】A解析:由直線,則,設(shè)直線的傾斜角為,所以,所以.故選:A2.若橢圓的焦點在軸上,則實數(shù)的范圍是()A. B. C. D.【正確答案】A解析:由題設(shè),可得.故選:A3.在5張中有2張有獎,甲、乙兩人先后從中各任取一張,則乙中獎的概率為()A B. C. D.【正確答案】B解析:記甲中獎的事件為,乙中獎的事件為,則,,,所以.故選:B4.已知平面,其中點,,則下列各點中不在平面內(nèi)的是()A. B. C. D.【正確答案】C解析:選項A:設(shè),則,,所以點在平面內(nèi),A不符合題意;選項B:設(shè),則,,所以點在平面內(nèi),B不符合題意;選項C:設(shè),則,,所以點不在平面內(nèi),C符合題意;選項A:設(shè),則,,所以點在平面內(nèi),D不符合題意;故選:C5.已知直線是圓的對稱軸,過點作圓C的兩條切線,切點分別為A和B,則=()A.7 B. C. D.【正確答案】D解析:由圓可得,所以圓心,半徑為;又由直線是圓的對稱軸,即直線過圓心,所以,解得,即;因此,所以切線長;由圓的性質(zhì)可知,所以四邊形的面積為,可得.故選:D6.定義:兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為的正方體中,直線與之間的距離是()A. B. C. D.【正確答案】C解析:如圖,以為原點,以所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點為上一點,則點到距離的最小值即為直線與之間的距離,已知正方體棱長為2,所以,設(shè),所以,,設(shè)與共線的單位向量,所以點到的距離,令,則當(dāng)時,,所以直線與之間的距離為.故選.7.某人有兩把雨傘用于上下班,如果一天上班時他也在家而且天下雨,只要有雨傘可取,他將拿一把去辦公室,如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨,只要有雨傘可取,他將拿一把回家.;如果天不下雨,那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為,不下雨的概率均為,且與過去情況相互獨立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里,那么連續(xù)上班兩天,他至少有一天淋雨的概率為()A. B. C. D.【正確答案】D解析:解:“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”,連續(xù)上兩天班,上班、下班的次數(shù)共有4次.(1)4次均不下雨,概率為:;(2)有1次下雨但不淋雨,則第一天或第二天上班時下雨,概率為:;(3)有2次下雨但不淋雨,共3種情況:①同一天上下班均下雨;②兩天上班時下雨,下班時不下雨;③第一天上班時下雨,下班時不下雨,第二天上班時不下雨,下班時下雨;概率為:;(4)有3次下雨但不被淋雨,則第一天或第二天下班時不下雨,概率為:;(5)4次均下雨,概率為:;兩天都不淋雨的概率為:,所以至少有一天淋雨的概率為.故選:D.8.過橢圓上的點M作圓的兩條切線,切點分別為P,Q.若直線PQ在軸、軸上的截距分別為,若,則橢圓離心率為()A. B. C. D.【正確答案】A解析:設(shè),則,令坐標(biāo)原點為,,由切圓于,得,則,于是,同理,因此直線的方程為,,因此,即,所以橢圓離心率.故選:A二、多項選擇題(每個小題至少有兩個正確選項,每個小題6分)9.設(shè)橢圓的左右焦點為,,P是C上的動點,則下列結(jié)論正確的是(
).A.B.P到最小的距離是2C.面積的最大值為6D.P到最大的距離是9【正確答案】AD解析:由橢圓方程可得:,則,對A:根據(jù)橢圓的定義可得,A正確;對B:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的左頂點時,P到的距離最小,最小值為,B錯誤;對C:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的上頂點時,的面積最大,最大值為,C錯誤;對D:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的右頂點時,P到的距離最大,最小值為,D正確.故選:AD.10.已知直線,點,,,,下列說法正確的是()A.點P到直線的距離為B.若P與Q點位于直線的兩側(cè)則C.點P與點Q之間距離的最小值為D.的最小值為2【正確答案】ABD解析:點P到直線的距離,A選項正確;∵將點代入直線方程得,要想P與Q點位于直線的兩側(cè),則將代入直線方程得,即,B選項正確;,C選項錯誤;∵,∴點在直線上,斜率,過點作直線于點,則,聯(lián)立方程組解得,即,∴點關(guān)于直線的對稱點,連接與的交點為,此時最小,的最小值:,D選項正確.故選:ABD.11.已知正方體邊長為2,動點滿足,則下列說法正確的是()A.當(dāng)時,則直線平面B.當(dāng)時,的最小值為C.當(dāng)時,的取值范圍為D.當(dāng),且時,則點的軌跡長度為【正確答案】BC解析:對于A中,由于時,則,此時為的中點,在正方體中,由平面,所以直線不會垂直平面,所以A錯誤;對于B中,在上取點,使,在上取點,使,因為,即,可得點在上,將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi),如圖(1)(2)所示,連接交于,此時三點共線,取到最小值即的長,由于,所以,則,所以,所以,即此時的最小值為,所以B正確;對于C中,當(dāng)時,可得點軌跡在平面內(nèi)(包括邊界),在正方形中,可得,因為平面,平面,所以,又因為,且平面,所以平面,所以,又由,所以的取值范圍為,所以C正確;對于D中,當(dāng)時,可得點的軌跡在內(nèi)(包括邊界),由于平面,平面,可得,又因為平面,故平面,因為平面,可得,同理可證,又因為平面,所以平面,設(shè)與平面交于點,由于,為邊長為的正三角形,則點到平面的距離為,若,則,即點落在以為圓心,為半徑的圓上,此時點到三邊的距離均為,即點軌跡是以為圓心,為半徑的圓的一部分,又由,其軌跡長度為3倍的弧長,所以D錯誤.故選:BC.三、填空題(每小題5分)12.如圖,平行六面體的所有棱長均為兩兩所成夾角均為,點分別在棱上,且,則__________.【正確答案】##解析:連接,則由題得,所以,故.故答案為.13.已知橢圓C:,其上下頂點分別為A,B;在橢圓C上有一個動點P,當(dāng)P位于第一象限時,連接PB交軸于M點,連接PA交軸于N點,若,則橢圓的離心率為___________【正確答案】解析:令且,而,則,,令,則,,所以,則,又,則,又,則,即,故橢圓離心率.故14.設(shè),圓,若動直線與圓交于點A、C,動直線與圓交于點B、D,則的最大值是________.【正確答案】解析:,圓心M(1,3),半徑r=,過定點E(2,1),過定點E(2,1),且⊥,如圖,設(shè)AC和BD中點分別為F、G,則四邊形EFMG為矩形,設(shè),,則,則=,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故答案為.四、解答題15.甲?乙?丙三人進(jìn)行投球練習(xí),每人投球一次.已知甲命中的概率是,甲?丙都未命中的概率是,乙?丙都命中的概率是,若每人是否命中互不影響.(1)求乙?丙兩人各自命中的概率;(2)求甲?乙?丙三人中至少2人命中的概率.【正確答案】(1)乙?丙兩人各自命中的概率分別;(2)【小問1解析】設(shè)乙?丙兩人各自命中的概率分別為,故,,解得,故乙?丙兩人各自命中的概率分別;【小問2解析】甲?乙?丙三人均命中的概率為,甲?乙?丙三人中2人命中的概率為,故甲?乙?丙三人中至少2人命中的概率為.16.已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,且圓心為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知直線與圓相交于,兩點,求弦長的值;(3)過點引圓的切線,求切線的方程.【正確答案】(1)(2)(3)和【小問1解析】由題意可得,圓心為,半徑為2,則圓的方程為;【小問2解析】由(1)可知:圓的半徑,設(shè)圓心到的距離為,則,所以.【小問3解析】當(dāng)斜率不存在時,為過點的圓C的切線.當(dāng)斜率存在時,設(shè)切線方程為,即,=2,解得,所以.綜上所述:切線的方程為和.17.如圖,在三棱柱中,平面,,點分別在棱和棱上,且為棱的中點.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的正弦值;(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).解析:依題意,以為原點,分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得、、、、、、、、(Ⅰ)依題意,,,從而,所以;(Ⅱ)依題意,是平面的一個法向量,,.設(shè)為平面的法向量,則,即,不妨設(shè),可得.,.所以,二面角的正弦值為;(Ⅲ)依題意,.由(Ⅱ)知為平面的一個法向量,于是.所以,直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓()的長軸為,短軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線l:與橢圓交于不同兩點;①若,求直線的方程.②已知點,,連接交橢圓于另一點,連接交橢圓于另一點,求證三點共線.【正確答案】(1)(2)①;②證明見解析.【小問1解析】解:由已知長軸為,短軸長為,可得,,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:;【小問2解析】解:①依題意,解得,因為,可得,且,因為,解得,所以直線的方程為:.②證明:設(shè),,聯(lián)立,消去整理得:,,又,代入整理得:,,,同理可得,,而所以有,整理得,,,因此∥,故三點共線.19.以坐標(biāo)原點為對稱中心,焦點在軸上橢圓過點,且離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)若點,動點滿足,求動點的軌跡所圍成的圖形的面積;(3)過圓上一點(不在坐標(biāo)軸上)作橢圓的兩條切線.記的斜率分別為,求證.【正確答案】(1)(2)面積為.(3)證明見解析【小問1解析】由題設(shè)知橢圓中,得由得所以橢圓的方程為;【小問2解析】設(shè),由得化簡得
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