中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第14講 相似三角形中的“一線三等角”模型（原卷版）

第14講相似三角形中的“一線三等角”模型【應(yīng)對方法與策略】(1)“三垂直”模型如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.【多題一解】一、解答題1．（2022秋·四川內(nèi)江·九年級四川省隆昌市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在BC上，點E在AC上，點F在BC上，且，若，求CD的長．2．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC邊上一個動點（不與B、C重合）．過點F的反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與邊AC交于點E．(1)當(dāng)點F運動到邊BC的中點時，點E的坐標(biāo)為__________；(2)連接EF，求∠FEC的正切值；(3)如圖2，將△CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊OB上的點G處，求BG的長度．3．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；(3)設(shè)，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出k的值；若不存在，請說明理由．4．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．5．（2022秋·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖、等腰三角形和相似三角形的有關(guān)知識后，在等腰△ABC中，其中，如圖1，進行了如下操作：第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E，F(xiàn)，如圖2；第二步，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，作射線AD；第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；(1)填空；寫出∠CAD與∠GAD的大小關(guān)系為___；(2)①請判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由．②當(dāng)時，連接DG，請直接寫出___；(3)如圖3，根據(jù)以上條件，點P為AB的中點，點M為射線AD上的一個動點，連接PM，PC，當(dāng)時，求AM的長．6．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=-交x軸于A、B兩點，點C在拋物線上，且點C的橫坐標(biāo)為-1，連接BC交y軸于點D．(1)如圖1，求點D的坐標(biāo)；(2)如圖2，點P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點P作PG⊥x軸于G，點E在線段PG上，連接AE，過點E作EF⊥AE交線段DB于F，若EF=AE，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，線段PE的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，點H在線段OB上，連接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求點P的坐標(biāo)．7．（2021·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個三角板的直角頂點與原點O重合，在其繞原點O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)）．（1）如圖1，若點A、B的橫坐標(biāo)分別為-3、，求線段AB中點P的坐標(biāo)；（2）如圖2，若點B的橫坐標(biāo)為4，求線段AB中點P的坐標(biāo)；（3）如圖3，若線段AB中點P的坐標(biāo)為，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（4）若線段AB中點P的縱坐標(biāo)為6，求線段AB的長．8．（2021·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？级＃┰诰匦沃?，點是邊上一點，將沿折疊，使點恰好落在邊上的點處．（1）如圖1，若，求的值；（2）如圖2，在線段上取一點，使平分，延長，交于點，若，求的值．9．（2022春·遼寧沈陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，連接DG，BE（1）[發(fā)現(xiàn)]：當(dāng)正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)，如圖2，線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是____；位置關(guān)系是___；（2）[探究]：如圖3，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG與BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（3）[應(yīng)用]：在（2）情況下，連結(jié)GE（點E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求線段DG的長10．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點直線與軸交于點，與軸交于點，，的面積為2．（1）如圖1，求直線的解析式；（2）如圖2，線段上有一點，直線為，軸，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，交于點，求點的坐標(biāo)．（用含的式子表示）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，交直線于點，若，求點的坐標(biāo)．11．（2022秋·河北秦皇島·九年級秦皇島市第七中學(xué)?？计谥校?）正方形中，對角線與相交于點O，如圖1，請直接猜想并寫出與之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖2，將（1）中的繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，矩形和有公共頂點，且，則．【一題多解】1．（2021秋·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長．2．（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．3．（2022秋·浙江·九年級期末）如圖直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=﹣x2+6x+3交y軸于點A，過A作AB∥x軸，交拋物線于點B，連結(jié)OB．點P為拋物線上AB上方的一個點，連結(jié)PA，作PQ⊥AB垂足為H，交OB于點Q．（1）求AB的長；（2）當(dāng)∠APQ=∠B時，求點P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)△APH面積是四邊形AOQH面積的2倍時，求點P的坐標(biāo)．4．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）如圖1和圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM以A為旋轉(zhuǎn)中心、按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AB．過B作x軸的垂線、過點C作y軸的垂線，兩直線交于點D，直線DB交x軸于點E．設(shè)A點的橫坐標(biāo)為m．（1）求證：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，則點B的坐標(biāo)為；若m=﹣3，則點B的坐標(biāo)為；（3）若m＞0，△BCD的面積為S，則m為何值時，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求此時m的值；若不存在，請說明理由．5．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接PB，過點P作，交射線DC于點E，已知，．設(shè)AP的長為x．(1)___________；當(dāng)時，_________；(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時，請求出的值．6．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：．【運用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．7．（2021·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D、E分別為邊AB、AC的中點，連接DE，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線AD﹣DE﹣EA向終點A運動，過點P作PQ⊥BC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在線段QC上，設(shè)點P的運動時間為t秒（0＜t＜12）．（1）當(dāng)點P在線段EA上運動時，求線段PE的長（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點N落在AC邊上時，求t的值．（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時，設(shè)四邊形的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．（4）當(dāng)點N與點E不重合時，作直線NE，直接寫出直線NE將△ABC分成的兩部分圖形的面積比為1：2時t的值．8．（2021·福建龍巖·統(tǒng)考二模）拋物線經(jīng)過點，，直線過點，