中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第21講 直角三角中的分類討論（原卷版）

第21講直角三角中的分類討論【應(yīng)對(duì)方法與策略】1、兩個(gè)定點(diǎn)求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。這種題目找點(diǎn)方法是過兩個(gè)定點(diǎn)做垂線，以定長(zhǎng)為直徑畫圓，簡(jiǎn)稱“兩個(gè)垂直一個(gè)圓”。通過這樣的作圖法，可以快速找到符合題意的點(diǎn)，這就是常說的找點(diǎn)。求點(diǎn)的方法，構(gòu)造三垂直模型，根據(jù)直角兩側(cè)有相似就可以求解。2、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)或三個(gè)動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)槿切沃挥腥齻€(gè)角，所以分三種情況討論就可以了！當(dāng)然有時(shí)也有直角不成立的情況。當(dāng)它們分別為直角時(shí)，用相似或勾股定理求解，一般情況下，相似求解比勾股定理要簡(jiǎn)單一些?！径囝}一解】【一題多解】一、解答題1．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，等邊△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．點(diǎn)M以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．(1)如果點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BA上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)、它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)N的速度與點(diǎn)M的速度相等；①經(jīng)過2s后，△BMN和△CDM是否全等？請(qǐng)說明理由．②當(dāng)M，N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，△BMN恰好是一個(gè)直角三角形？(2)若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)M按原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過25s時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度是

cm/s．（請(qǐng)直接寫出答案）2．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）（1）如圖1，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，且OA＝3，BO＝4，OC＝5，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCD，連接OD．①求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②求線段OD的長(zhǎng)；③求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)O是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC，將△BAO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCP，連接OP．當(dāng)OA、OB、OC滿足什么條件時(shí)，△OCP為直角三角形？3．（2022·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于．是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位，平移后，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，在軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）已知，點(diǎn)A，B分別在射線上運(yùn)動(dòng)，．(1)如圖①，若，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：(2)如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：(3)如圖③，若，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出面積的最大值．5．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正比例函數(shù)y＝x與一次函數(shù)y＝ax＋7的圖像相交于點(diǎn)P（4，n），過點(diǎn)A（t，0）作x軸的垂線l，且0＜t＜4，交一次函數(shù)的圖像于點(diǎn)B，交正比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)C，連接OB．(1)求a值；(2)設(shè)△OBP的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)t=2時(shí)，在正比例函數(shù)y＝x與一次函數(shù)y＝ax＋7的圖像上分別有一動(dòng)點(diǎn)M、N，是否存在點(diǎn)M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90o，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022春·廣西桂林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，Rt中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)為何值時(shí)，；(3)當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？請(qǐng)說明理由．7．（2022·山東濟(jì)南·山東省濟(jì)南稼軒學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；(2)如圖，連接，過點(diǎn)作的平行線交拋物線于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接交拋物線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，的面積是否有最大值，若有，求出最大值，若無，請(qǐng)說明理由．(3)如圖，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊邊向右作等腰直角，將沿射線線平移得到，連接、，的周長(zhǎng)是否有最小值，若有，求的周長(zhǎng)的最小值，若無，請(qǐng)說明理由．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3與x軸，y軸分別交于B、C兩點(diǎn)．拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)B、C，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，若∠CBP＝15°，求t的值；②當(dāng)t為何值時(shí)，以P，A，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？求出所有符合條件的t值．9．（2022秋·廣東中山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y＝ax2＋bx﹣3經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣3，0）、C（1，0），點(diǎn)B在y軸上．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合）．(1)求此拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交直線AB于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PE最大，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)P在拋物線上且滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸交拋物線于點(diǎn)N，Q是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)11．（2020·貴州遵義·統(tǒng)考一模）已知拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使以、、為頂點(diǎn)的三角形為直角三形．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．過點(diǎn)B的直線y=-x+b與x軸交于點(diǎn)C．已知A（-4，0）、C（3，0），點(diǎn)D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿BD折疊得到△EBD，直線BE與x軸交于點(diǎn)F．(1)求直線AB、BC的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)D在線段AO上，且△DEF與△BFC的面積相等，求線段BD的長(zhǎng)；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF能否成為直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．13．（2022春·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1．在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，∠EDF=∠FBA，連接CF．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)求△CFD的面積；(3)如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)P為EC上一動(dòng)點(diǎn)，連接OE、OP．將△OPD沿OP折疊得到△OPM，PM交OC于點(diǎn)N，當(dāng)△PCN為直角三角形時(shí)，求CP的長(zhǎng)．14．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）綜合與探究如圖，已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AC，BC．（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱