北京市朝陽2024年高三下學(xué)期第三次（線上）周考數(shù)學(xué)試題

北京市朝陽2023年高三下學(xué)期第三次（線上）周考數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，得到的圖像關(guān)于軸對稱，，當(dāng)取得最小值時，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．2．網(wǎng)絡(luò)是一種先進的高頻傳輸技術(shù)，我國的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月3．若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．設(shè)，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直5．若直線與圓相交所得弦長為，則（）A．1 B．2 C． D．36．某歌手大賽進行電視直播，比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．7．設(shè)，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．9．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．410．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個數(shù)為（）①當(dāng)時，函數(shù)的圖象的對稱中心為；②當(dāng)時，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；④當(dāng)時，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．412．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實數(shù)_____.14．已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面上，且，，則__________．15．點在雙曲線的右支上，其左、右焦點分別為、，直線與以坐標(biāo)原點為圓心、為半徑的圓相切于點，線段的垂直平分線恰好過點，則該雙曲線的漸近線的斜率為__________．16．在正方體中，為棱的中點，是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點，直線與曲線相交于，，求的值．18．（12分）某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：亮燈時長/頻數(shù)1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.①求的數(shù)學(xué)期望和方差；②若隨機變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結(jié)果保留為整數(shù)）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.19．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.（1）求異面直線AC與BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．20．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記分，“不合格”記分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的成績，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示：等級不合格合格得分頻數(shù)624（Ⅰ）若測試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)女生的人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，并判斷：是否有以上的把握認(rèn)為性別與安全意識有關(guān)？是否合格性別不合格合格總計男生女生總計（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取人進行座談，現(xiàn)再從這人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）某評估機構(gòu)以指標(biāo)（，其中表示的方差）來評估該校安全教育活動的成效，若，則認(rèn)定教育活動是有效的；否則認(rèn)定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方案.在（Ⅱ）的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？附表及公式：，其中.21．（12分）已知點P在拋物線上，且點P的橫坐標(biāo)為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準(zhǔn)線交于M，N兩點，且．（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點為H．過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值．22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關(guān)于軸對稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.2．C【解析】

根據(jù)圖形，計算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點在直線上，令因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實際應(yīng)用，基礎(chǔ)題.3．A【解析】

化簡復(fù)數(shù)，求得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點：直線與直線的位置關(guān)系5．A【解析】

將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選：A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

計算出、，進而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

設(shè)過點作圓的切線的切點為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設(shè)過點作圓的切線的切點為，，所以是中點，，，.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.8．A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當(dāng)時，，此時不滿足，循環(huán)結(jié)束，輸出的值是4.故選：D．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論．10．A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.11．C【解析】

逐一分析選項，①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件，則極值點必在區(qū)間；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點，根據(jù)平移知識，函數(shù)的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因為當(dāng)時，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當(dāng)時，，此時在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因為在上不單調(diào)，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或．因為，，所以最大值為64，結(jié)論錯誤．故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.12．D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論．【詳解】執(zhí)行該程序可得．故選：D．【點睛】本題考查程序框圖．解題可模擬程序運行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然后求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進行數(shù)量積的運算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件．14．【解析】由題意可得，該四面體的四個頂點位于一個長方體的四個頂點上，設(shè)長方體的長寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.15．【解析】如圖，是切點，是的中點，因為，所以，又，所以，，又，根據(jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡得，所以，因此.16．【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫個各個點的坐標(biāo)，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【點睛】本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結(jié)合，可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）把代入，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）把代入，得．設(shè)，兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，．不妨設(shè)，，∴．【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，是中檔題．18．（1）（2）①，,②72【解析】

（1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)的頻率，然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時長的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個小時），即可得到的估計值；（2）①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解；②先根據(jù)條件計算出的取值范圍，然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應(yīng)的概率.【詳解】（1）平均時間為（分鐘）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點睛】本題考查根據(jù)頻數(shù)分布表求解平均數(shù)、幾何概型（長度模型）、二項分布的均值與方差、正態(tài)分布的概率計算，屬于綜合性問題，難度一般.（1）如果，則；（2）計算正態(tài)分布中的概率，一定要活用正態(tài)分布圖象的對稱性對應(yīng)概率的對稱性.19．（1）.（2）.【解析】

（1）先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求得向量和向量的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.（2）分別求得平面BFC1的一個法向量和平面BCC1的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.【詳解】規(guī)范解答（1）因為AB＝1，AA1＝2，則F(0，0，0)，A，C，B，E，所以＝(－1，0，0)，＝記異面直線AC和BE所成角為α，則cosα＝|cos〈〉|＝＝，所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.（2）設(shè)平面BFC1的法向量為=(x1，y1，z1)．因為＝，＝，則取x1＝4，得平面BFC1的一個法向量為＝(4，0，1)．設(shè)平面BCC1的法向量為＝(x2，y2，z2)．因為＝，＝(0，0，2)，則取x2＝得平面BCC1的一個法向量為＝(，－1，0)，所以cos〈〉＝=根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角，所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，面面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不需要調(diào)整安全教育方案.【解析】

（I）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).（II）利用超幾何分布的計算公式，計算出的分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（III）由（II）中數(shù)據(jù)，計算出，進而求得的值，從而得出該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【詳解】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為，.性別與合格情況的列聯(lián)表為：是否合格性別不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認(rèn)為性別與安全測試是否合格有關(guān).（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為,.的分布列為：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我們認(rèn)為該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列、數(shù)學(xué)期望和方