2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值講義理蘇教版

§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義知識(shí)梳理

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)圖象描述自左向右看圖象是_______自左向右看圖象是_______上升的下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是

或

，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果存在x0∈A，使得條件對(duì)于任意的x∈A，都有__________對(duì)于任意的x∈A，都有__________結(jié)論f(x0)為最大值f(x0)為最小值f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)知識(shí)拓展函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(3)在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù).(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(－1)<f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).(

)(2)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞).(

)(3)函數(shù)y＝

的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(

)××××(5)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù).(

)(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)取到.(

)×√考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，2)上為增函數(shù)的是____.(填序號(hào))①y＝

；

②y＝2x－1；③y＝1－x；

④y＝(2x－1)2.①y＝

在(0，2)上為減函數(shù)；②y＝2x－1在(0，2)上為增函數(shù)；③y＝1－x在(0，2)上為減函數(shù)；④y＝(2x－1)2在(－∞，)上為減函數(shù)，在(，＋∞)上為增函數(shù).②答案解析2.(教材改編)函數(shù)y＝

的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_________；單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_________.當(dāng)x≥0時(shí)，y＝x為增函數(shù)；當(dāng)x<0時(shí)，y＝x2為減函數(shù).答案解析[0，＋∞)(－∞，0)幾何畫(huà)板展示3.(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________.函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝a，畫(huà)出草圖如圖所示.由圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[a，＋∞)，由[1，2]?[a，＋∞)，可得a≤1.答案解析(－∞，1]4.(2016·鹽城模擬)函數(shù)y＝x2＋2x－3(x>0)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_________.函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝－1，又x>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞).答案解析(0，＋∞)幾何畫(huà)板展示5.(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝

，x∈[2，6]，則f(x)的最大值為_(kāi)____，最小值為_(kāi)___.答案解析2題型分類深度剖析題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點(diǎn)1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性例1

(1)(2016·連云港模擬)函數(shù)f(x)＝(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是____________.因?yàn)閥＝

t，t>0在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(－∞，－2).答案解析(－∞，－2)(2)y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)__________________.由題意知，當(dāng)x≥0時(shí)，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；當(dāng)x<0時(shí)，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函數(shù)的圖象如圖.由圖象可知，函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函數(shù).答案解析(－∞，－1]，[0，1]命題點(diǎn)2解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)＝(a>0)，用定義法判斷函數(shù)f(x)在(－1，1)上的單調(diào)性.解答設(shè)－1<x1<x2<1，∵－1<x1<x2<1，又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函數(shù)f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).幾何畫(huà)板展示引申探究如何用導(dǎo)數(shù)法求解例2？解答∵a>0，∴f′(x)<0在(－1，1)上恒成立，故函數(shù)f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).確定函數(shù)單調(diào)性的方法(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝

，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________.設(shè)t＝x2－2x－3，則t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－1]∪[3，＋∞).因?yàn)楹瘮?shù)t＝x2－2x－3的圖象的對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)t在(－∞，－1]上單調(diào)遞減，在[3，＋∞)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞).答案解析[3，＋∞)(2)已知函數(shù)f(x)＝ln

x＋mx2(m∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解答(導(dǎo)數(shù)法)依題意知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).當(dāng)m≥0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.題型二函數(shù)的最值例3

(1)函數(shù)f(x)＝

的最大值為_(kāi)_____.當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f(x)＝

為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x<1時(shí)，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案解析2又x∈[1，＋∞)，解答幾何畫(huà)板展示②若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.f(x)＝x＋

＋2，x∈[1，＋∞).(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).最小值為f(1)＝a＋3.要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，所以－3<a≤0.(ⅱ)當(dāng)0<a≤1時(shí)，f′(x)＝1－

，即f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，即a＋3>0，a>－3，所以0<a≤1.綜上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零時(shí)，解答因?yàn)閤∈[1，＋∞)，所以f′(x)≥0，所以f(x)min＝f(1)＝a＋3，a的取值范圍是(－3，1].求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.思維升華跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)y＝x＋

的最小值為_(kāi)_____.易知函數(shù)y＝x＋

在[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴x＝1時(shí)，ymin＝1.(本題也可用換元法求解)答案解析1(2)函數(shù)f(x)＝(x>1)的最小值為_(kāi)____.答案解析8方法一(基本不等式法)令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去).當(dāng)1<x<4時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(1，4)上是遞減的；當(dāng)x>4時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上是遞增的，所以f(x)在x＝4處取到極小值也是最小值，即f(x)min＝f(4)＝8.題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較大小例4已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f()，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_______.根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且在(1，＋∞)上是減函數(shù)，答案解析b>a>c命題點(diǎn)2解函數(shù)不等式例5

(2017·蘇州月考)定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上遞增，且

f()＝0，則

滿足>0的x的集合為_(kāi)__________________.答案解析命題點(diǎn)3求參數(shù)范圍例6

(1)如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(－∞，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x＝－

，因?yàn)閒(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，答案解析幾何畫(huà)板展示答案解析由已知條件得f(x)為增函數(shù)，幾何畫(huà)板展示函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.思維升華(3)利用單調(diào)性求參數(shù).①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2016·徐州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(ex－)，若f(x1)<f(x2)，則下面正確的式子為_(kāi)____.①x1>x2；

②x1＋x2＝0；③x1<x2；

④f(－x)＝－x(－ex)＝f(x)，答案解析④∴f(x)在R上為偶函數(shù)，∴當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，由f(x1)<f(x2)，得f(|x1|)<f(|x2|)，∴|x1|<|x2|，(2)(2016·宿遷模擬)要使函數(shù)y＝

與y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.由于y＝log3(x－2)的定義域?yàn)?2，＋∞)，且為增函數(shù)，故函數(shù)y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上是增函數(shù).因其在(3，＋∞)上是增函數(shù)，故4＋k<0，得k<－4.答案解析(－∞，－4)典例(14分)函數(shù)f(x)對(duì)任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0時(shí)，恒有f(x)>1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.(1)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義.應(yīng)該構(gòu)造出f(x2)－f(x1)并與0比較大小.(2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”是本題的切入點(diǎn).要構(gòu)造出f(M)<f(N)的形式.思維點(diǎn)撥

解抽象函數(shù)不等式答題模板系列1規(guī)范解答答題模板(1)證明設(shè)x1，x2∈R且x1<x2，則x2－x1>0，∵當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [3分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

[5分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上為增函數(shù). [7分](2)解∵m，n∈R，不妨設(shè)m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，

[9分]f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，

[11分]∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴a2＋a－5<1?－3<a<2，即a∈(－3，2). [14分]返回解函數(shù)不等式問(wèn)題的一般步驟第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；第五步：(反思)反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.返回課時(shí)作業(yè)12345678910111213141.(2016·南京模擬)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)的是______.①y＝－x＋1；

②y＝

；③y＝－(x－1)2；

④y＝31－x.①中，函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，③中，函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，④中，函數(shù)在(1，＋∞)上為減函數(shù).答案解析②2.函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)減區(qū)間是________.當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x<2時(shí)，(－∞，1]是函數(shù)f(x)的增區(qū)間；[1，2]是函數(shù)f(x)的減區(qū)間.答案解析[1，2]12345678910111213143.定義新運(yùn)算

：當(dāng)a≥b時(shí)，a

b＝a；當(dāng)a<b時(shí)，a

b＝b2，則函數(shù)f(x)＝(1

x)x－(2

x)，x∈[－2，2]的最大值等于____.由已知得，當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，f(x)＝x－2，當(dāng)1<x≤2時(shí)，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.答案解析612345678910111213144.已知f(x)＝

是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案解析[4，8)1234567891011121314*5.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：答案解析1234567891011121314由①③，令x＝0，可得f(1)＝1.12345678910111213146.已知函數(shù)y＝log2(ax－1)在(1，2)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.要使y＝log2(ax－1)在(1，2)上單調(diào)遞增，則a>0且a－1≥0，∴a≥1.答案解析[1，＋∞)12345678910111213147.函數(shù)f(x)＝

x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1，1]上的最大值為_(kāi)___.由于y＝

x在R上遞減，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上遞增，所以f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，故f(x)在[－1，1]上的最大值為f(－1)＝3.答案解析312345678910111213148.(2017·江蘇天一中學(xué)月考)對(duì)a，b∈R，記max{a，b}＝

函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是____.答案解析123456789101112131412345678910111213149.若函數(shù)f(x)＝|2x＋a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，＋∞)，則a＝_____.答案解析－61234567891011121314*10.已知f(x)＝

不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.(－∞，－2)答案解析1234567891011121314二次函數(shù)y1＝x2－4x＋3的對(duì)稱軸是x＝2，∴該函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴x2－4x＋3≥3，同樣可知函數(shù)y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－x2－2x＋3<3，∴f(x)在R上單調(diào)遞減，∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，即2x<a，∴2x<a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)<a，∴a<－2，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2).123456789101112131411.(2016·江蘇新海中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2(a＞0)在區(qū)間[0，1]內(nèi)有一個(gè)最大值－5，則a的值為_(kāi)___.答案解析∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，∴a＝±1＜2(舍去).123456789101112131412.(2016·江蘇泰州中學(xué)月考)已知t為常數(shù)，函數(shù)y＝|x2－2x－t|在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t＝_____.二次函數(shù)y＝x2－2x－t圖象的對(duì)稱軸為x＝1，函數(shù)y＝|x2－2x－t|的圖象是將二次函數(shù)y＝x2－2x－t的圖象在x軸下方的部分翻到x軸上方(x軸上方部分不變)得到的.由區(qū)間[0，3]上的最