2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習-專題5 第2講 概率、隨機變量及其分布【課件】

第2講概率、隨機變量及其分布專題五2025內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.概率的計算公式

(2)互斥事件的概率計算公式:P(A∪B)=P(A)+P(B).(3)對立事件的概率計算公式:P(B)=1-P(A).對立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件

誤區(qū)警示要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別樣本空間不同,在P(A|B)中,事件B成為樣本空間;在P(AB)中,樣本空間仍為Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).2.兩種特殊分布(1)超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.(2)二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).名師點析1.超幾何分布的模型是不放回抽樣,要注意明確其中參數(shù)M,N,n的含義.2.二項分布的條件是獨立性與重復(fù)性.3.離散型隨機變量的分布列一般地,設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,稱X取每一個值xi的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),可用表格表示.Xx1x2x3…xnPp1p2p3…pn概率之和等于1名師點析1.離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì):(1)pi≥0(i=1,2,…,n);(2)p1+p2+…+pn=1.2.均值公式:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點一古典概型[例1-1]某舞臺燈光設(shè)備有一種25頭LED矩陣燈(如圖所示),其中有2頭LED燈出現(xiàn)故障.假設(shè)每頭LED燈出現(xiàn)故障都是等可能的,則這2頭出現(xiàn)故障的LED燈相鄰(橫向相鄰或縱向相鄰)的概率為(

)A解析

每列相鄰的LED燈共4對,共有5列,故縱向相鄰有4×5種;同理橫向相鄰也有4×5種,所以這2頭出現(xiàn)故障的LED燈相鄰的概率為[例1-2](2024·新高考Ⅰ,14)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標有一個數(shù)字,甲的卡片上分別標有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為

.

解析

因為甲出卡片1一定輸,出其他卡片有可能贏,所以四輪比賽后,甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3,則甲出卡片3,5,7時都贏,所以只有1種組合:3—2,5—4,7—6,1—8.若甲的總得分為2,有以下三類情況:第一類,當甲出卡片3和5時贏,只有1種組合,為3—2,5—4,1—6,7—8;第二類,當甲出卡片3和7時贏,有3—2,7—4,1—6,5—8或3—2,7—4,1—8,5—6或3—2,7—6,1—4,5—8,共3種組合;第三類,當甲出卡片5和7時贏,有5—2,7—4,1—6,3—8或5—2,7—4,1—8,3—6或5—4,7—2,1—6,3—8或5—4,7—2,1—8,3—6或5—2,7—6,1—4,3—8或5—2,7—6,1—8,3—4或5—4,7—6,1—2,3—8,共7種組合.綜上,甲的總得分不小于2共有12種組合,而所有不同的組合共有4×3×2×1=24(種),所以甲的總得分不小于2的概率規(guī)律方法古典概型求解的關(guān)鍵點(1)解答古典概型問題,關(guān)鍵是正確求出樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)和事件A包含的樣本點個數(shù),常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識.(2)在求樣本點個數(shù)時,要準確理解樣本點的構(gòu)成.對點練1(1)甲、乙兩人進行撲克牌積分比賽.比賽規(guī)則為:甲、乙兩人先各抽三張撲克牌,每局比賽雙方同時各出一張牌,牌大者得2分,牌小者得0分,牌一樣大兩人各得1分,每張牌只能出一次,共比賽三局.若甲抽到的三張撲克牌分別是A1,A2,A3,乙抽到的三張撲克牌分別是B1,B2,B3,且這六張撲克牌的大小順序為A1>B1>B2>A2>A3>B3,則三局比賽結(jié)束后甲得4分的概率為(

)D(2)已知大于3的素數(shù)只分布在{6n-1}和{6n+1}兩數(shù)列中(其中n為非零自然數(shù)),數(shù)列{6n-1}中的合數(shù)叫陰性合數(shù),其中的素數(shù)叫陰性素數(shù);數(shù)列{6n+1}中的合數(shù)叫陽性合數(shù),其中的素數(shù)叫陽性素數(shù).則從30以內(nèi)的素數(shù)中任意取出兩個,恰好是一個陰性素數(shù)、一個陽性素數(shù)的概率是

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解析

30以內(nèi)的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個.其中陰性素數(shù)有5,11,17,23,29共5個,陽性素數(shù)有7,13,19共3個.突破點二條件概率及相互獨立事件的概率命題角度1

條件概率B[例2-2]在某次美術(shù)專業(yè)測試中,若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6,0.7和0.5,且三人的測試結(jié)果相互獨立,則測試結(jié)束后,在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的前提條件下,乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為(

)A規(guī)律方法條件概率的3種求法

對點練2(1)現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、紫五只杯子,將它們疊成一疊,在已知黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下,黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為(

)C(2)(2023·廣東六校聯(lián)考)某公司在某地區(qū)對商品A進行調(diào)查,隨機調(diào)查了100位購買商品A的顧客的性別,其中男性顧客18位.已知該地區(qū)商品A的購買率為10%,該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人是男性,則此人購買商品A的概率為

.

解析

設(shè)從該地區(qū)中任選一人,此人是男性為事件B,此人購買商品A為事件C,則該地區(qū)男性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?-46%=54%,命題角度2

相互獨立事件的概率[例2-3](2023·新高考Ⅱ,12)(多選題)在信道內(nèi)傳輸0,1信號,信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時,收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時,收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案:單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼,譯碼規(guī)則如下:單次傳輸時,收到的信號即為譯碼;三次傳輸時,收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).則下列說法正確的是(

)A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1-α)(1-β)2B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D.當0<α<0.5時,若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率ABD解析

設(shè)事件“發(fā)送0,收到0”為事件A0,設(shè)事件“發(fā)送0,收到1”為事件A1,設(shè)事件“發(fā)送1,收到0”為事件B0,設(shè)事件“發(fā)送1,收到1”為事件B1.由題知,P(A0)=1-α,P(A1)=α,P(B0)=β,P(B1)=1-β,且事件A0,A1,B0,B1相互獨立.對于選項A,所求事件為B1A0B1,所以P(B1A0B1)=P(B1)P(A0)P(B1)=(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)·(1-β)2,所以A正確;對于選項B,所求事件為B1B0B1,所以P(B1B0B1)=P(B1)P(B0)P(B1)=(1-β)β(1-β)=β(1-β)2,所以B正確;對于選項C,所求事件為B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1,又P(B1B1B1)=P(B1)P(B1)P(B1)=(1-β)3,所以P(B1B1B0+B1B0B1+B0B1B1+B1B1B1)=(1-β)3+3β(1-β)2,所以C錯誤;對于選項D,采用三次傳輸,事件為A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0,所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)=3α(1-α)2+(1-α)3.采用單次傳輸,P(A0)=1-α.所以P(A0A0A1+A0A1A0+A1A0A0+A0A0A0)-P(A0)=3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α)[3α(1-α)+(1-α)2-1]=(1-α)(α-2α2)=α(1-α)(1-2α).因為0<α<0.5,所以α(1-α)(1-2α)>0.所以發(fā)送0,采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率,所以選項D正確.故選ABD.[例2-4]甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是

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答案

0.18

解析

前四場中有一場客場輸,第五場贏時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四場中有一場主場輸,第五場贏時,甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.綜上所述,甲隊以4∶1獲勝的概率是P=0.108+0.072=0.18.規(guī)律方法求相互獨立事件和n重伯努利試驗的概率的注意點(1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的“和”事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的“積”事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨別n重伯努利試驗的基本特征:①同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;②各次試驗的結(jié)果相互獨立.對點練3(2022·全國甲,理19)甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽,比賽共設(shè)三個項目,每個項目勝方得10分,負方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與均值.解

(1)設(shè)甲學(xué)校在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.(2)依題可知,X的可能取值為0,10,20,30,所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06均值E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.命題角度3

全概率公式[例2-5]某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩三種產(chǎn)品,三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示,且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%,50%,40%.若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個,則選到綁帶式口罩的概率為(

)A.0.23 B.0.47

C.0.53

D.0.77D解析

由題圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩的占比分別為70%,20%,10%,記事件A1,A2,A3分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護口罩,則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3兩兩互斥,所以P(A1)=0.7,P(A2)=0.2,P(A3)=0.1.又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%,50%,40%,記事件B為“選到綁帶式口罩”,則P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為P(B)=0.7×0.9+0.2×0.5+0.1×0.4=0.77.[例2-6]現(xiàn)有甲、乙兩個口袋,其中甲口袋內(nèi)裝有三個1號球,兩個2號球和一個3號球;乙口袋內(nèi)裝有兩個1號球,一個2號球,一個3號球.第一次從甲口袋中任取1個球,將取出的球放入乙口袋中,第二次從乙口袋中任取一個球,則第二次取到2號球的概率為

.

解析

記事件Ai,Bi分別表示第一次、第二次取到i號球,i=1,2,3.依題意A1,A2,A3兩兩互斥,其和為Ω,增分技巧應(yīng)用全概率公式求概率的步驟(1)根據(jù)題意找出完備事件組,即滿足全概率公式的Ω的一個劃分A1,A2,A3,…,An;(2)用Ai(i=1,2,3,…,n)來表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.對點練4人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式:

站在了世界中心位置,AI換臉是一項深度偽造技術(shù),某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻,“AI”視頻占有率為0.001.某團隊決定用AI對抗AI,研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假.該鑒偽技術(shù)的準確率是0.98,即在該視頻是偽造的情況下,它有98%的可能鑒定為“AI”;它的誤報率是0.04,即在該視頻是真實的情況下,它有4%的可能鑒定為“AI”視頻.已知某個視頻被鑒定為“AI”視頻,則該視頻是“AI”合成的可能性約為(

)A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4%C突破點三隨機變量的分布列命題角度1

超幾何分布[例3-1]為了解學(xué)生對食堂用餐滿意度情況,某興趣小組按性別采用分層隨機抽樣的方法,從全校學(xué)生中抽取容量為200的樣本進行調(diào)查.被抽中的同學(xué)分別對食堂進行評分,滿分為100分.調(diào)查結(jié)果顯示:最低分為51分,最高分為100分.隨后,興趣小組將男、女生的評分結(jié)果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,圖表如下:男生評分結(jié)果的頻數(shù)分布表

分數(shù)區(qū)間頻數(shù)[50,60)3[60,70)3[70,80)16[80,90)38[90,100]20女生評分結(jié)果的頻率分布直方圖

為了便于研究,興趣小組將學(xué)生對食堂的評分轉(zhuǎn)換成了“滿意度情況”,二者的對應(yīng)關(guān)系如下表所示.分數(shù)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]滿意度情況不滿意一般比較滿意滿意非常滿意(1)求a的值;(2)為進一步改善食堂狀況,從評分在[50,70)的男生中隨機抽取3人進行座談,記這3人中對食堂“不滿意”的人數(shù)為X,求X的分布列;(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率,從該校所有學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生,求其對食堂“比較滿意”的概率.

解

(1)因為(0.005+a+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以a=0.015.(2)依題意,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以隨機變量X的分布列為:(3)設(shè)事件A=“隨機抽取一名學(xué)生,對食堂‘比較滿意’”.因為樣本人數(shù)為200,其中男生共有80人,所以樣本中女生共有120人.由頻率分布直方圖可知,女生對食堂“比較滿意”的人數(shù)共有120×0.020×10=24,由頻數(shù)分布表,可知男生對食堂“比較滿意”的共有16人.規(guī)律方法求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.對點練5某中學(xué)高一(1)班舉行知識競賽.這次競賽前21名同學(xué)的成績排序如下:男生203,204,209,212,216,218,218,222,227,228,229,235,237,238.女生200+x(0≤x≤9,且x∈Z),212,216,221,228,230,236.已知前7名女生的平均得分為221分.(1)①求x的值;②如果在競賽成績高于205分的學(xué)生中按性別分層隨機抽樣抽取6人,再從這6人中任選3人作為下周班會中心發(fā)言人,求這3人中有女生的概率.(2)如果在競賽成績高于220分的學(xué)生中任選4人參加學(xué)校座談會,用X表示4人中成績超過235分的人數(shù),求X的分布列和均值.命題角度2

二項分布[例3-2]動車和快速公交(BRT)的出現(xiàn),方便了人們的出行,并且?guī)恿宋覈?jīng)濟的巨大發(fā)展.根據(jù)統(tǒng)計,2023年從甲市到乙市乘坐動車和BRT的人數(shù)眾多,為了調(diào)查乘客對出行方式的滿意度,研究人員隨機抽取了500名乘客進行調(diào)查,所得情況統(tǒng)計如下所示.滿意程度30歲以下30~50歲50歲及