2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計10.2用樣本估計總體講義文蘇教版

§10.2用樣本估計總體基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中

與

的差).(2)決定

與

.(3)將數(shù)據(jù)

.(4)列

.(5)畫

.知識梳理最大值最小值組數(shù)組距分組頻率分布表頻率分布直方圖2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各個相鄰的矩形的上底邊的

順次連結(jié)起來，就得到頻率分布折線圖.(2)總體分布的密度曲線：將

取得足夠大，分組的組距取得足夠小，那么相應(yīng)的頻率折線圖趨于一條光滑曲線，稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線.3.莖葉圖統(tǒng)計中還有一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù).中點樣本容量4.標(biāo)準(zhǔn)差和方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種

.(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝______________________________________.平均距離知識拓展1.頻率分布直方圖的特點(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為

，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是

＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(

)(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.(

)(3)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.(

)(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次.(

)×√√×(5)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)是眾數(shù).(

)(6)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(

)√×考點自測這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，1.(教材改編)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是__________.答案解析91.5和91.5由題干扇形統(tǒng)計圖可得該校女教師人數(shù)為110×70%＋150×(1－60%)＝137.2.(2015·陜西改編)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為____.答案解析1373.一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3.根據(jù)樣本的頻率分布估計，數(shù)據(jù)落在[31.5,43.5)的概率約是____.答案解析4.(2016·江蘇)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.答案解析0.15.(2017·揚州質(zhì)檢)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有_____株樹木的底部周長小于100cm.答案解析24底部周長在[80,90)的頻率為0.015×10＝0.15，底部周長在[90,100)的頻率為0.025×10＝0.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為(0.15＋0.25)×60＝24.題型分類深度剖析題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用例1

(2016·北京)某市居民用水?dāng)M實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費.從該市隨機調(diào)查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？如圖所示，用水量在[0.5,3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.解答(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替.當(dāng)w＝3時，估計該市居民該月的人均水費.當(dāng)w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即該市居民該月的人均水費估計為10.5元.解答(1)明確頻率分布直方圖的意義，即圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1.(2)對于統(tǒng)計圖表類題目，最重要的是認(rèn)真觀察圖表，從中提煉有用的信息和數(shù)據(jù).思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可). B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②解答如圖所示.通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.解答A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.題型二莖葉圖的應(yīng)用例2

(1)(2015·山東改編)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為______.①④答案解析甲地5天的氣溫為26,28,29,31,31，乙地5天的氣溫為28,29,30,31,32，(2)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分).已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為____.5,8答案解析由莖葉圖及已知得x＝5，又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，引申探究1.本例(2)中條件不變，試比較甲、乙兩組哪組成績較好.由原題可知x＝5，解答而乙組平均數(shù)為16.8，所以甲組成績較好.2.在本例(2)條件下：①求乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；由莖葉圖知，乙組中五名學(xué)生的成績?yōu)?,15,18,18,24.故中位數(shù)為18，眾數(shù)為18.解答②求乙組數(shù)據(jù)的方差.s2＝

[(9－16.8)2＋(15－16.8)2＋(18－16.8)2×2＋(24－16.8)2]＝23.76.解答莖葉圖的優(yōu)缺點由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示.其缺點是當(dāng)樣本容量較大時，作圖較煩瑣.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2016·連云港模擬)一次數(shù)學(xué)考試后，某老師從自己所帶的兩個班級中各抽取5人，記錄他們的考試成績，得到如圖所示的莖葉圖.已知甲班5名同學(xué)成績的平均數(shù)為81，乙班5名同學(xué)成績的中位數(shù)為73，則x－y的值為_____.答案解析－3且易知y＝3，∴x－y＝－3.(2)(2016·鹽城模擬)如圖所示是某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為____.答案解析6.8由莖葉圖可得該運動員得分的平均數(shù)為題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3

(1)(2017·南京模擬)抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：答案解析運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運動員成績的方差為___.2(2)甲、乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖.①分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；解答由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分.②根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.解答從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·全國乙卷)某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得以下柱狀圖：記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).(1)若n＝19，求y與x的函數(shù)解析式；當(dāng)x≤19時，y＝3800；當(dāng)x>19時，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y與x的函數(shù)解析式為解答(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.解答(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？解答若每臺機器在購機的同時都購買19個易損零件，則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800元，20臺的費用為4300元，10臺的費用為4800元，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件，則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000元，10臺的費用為4500元，因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為比較兩個平均數(shù)可知，購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件.考點分析頻率分布直方圖是高考考查的熱點，考查頻率很高，題型有填空題，也有解答題，難度為低中檔.用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用.在計數(shù)和計算時一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時，寬窄要一致.通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計.頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率/組距，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率；條形圖的縱坐標(biāo)為頻數(shù)或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤.高考中頻率分布直方圖的應(yīng)用高頻小考點9典例

(14分)(2016·四川)我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值；(2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數(shù).規(guī)范解答解(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. [3分]由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30. [5分](2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000. [9分](3)設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5. [12分]由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04. [14分]課時作業(yè)1.(2016·蘇北四市模擬)從某班抽取5名學(xué)生測量身高(單位：cm)，得到的數(shù)據(jù)為160,162,159,160,159，則該組數(shù)據(jù)的方差s2＝__.答案解析123456789101112132.(2016·山東改編)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是_____.答案解析設(shè)所求人數(shù)為N，則N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140.140123456789101112133.某一個班全體學(xué)生參加某次選拔測試，成績的頻率分布直方圖如圖，則可估計該班的平均分是____.答案解析68由直方圖可知各組的頻率分別是0.1,0.2,0.4,0.3，則可估計該班的平均分是30×0.1＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68.123456789101112134.某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其平均數(shù)和方差分別為

和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的平均數(shù)和方差分別為____________.答案解析12345678910111213答案解析123456789101112135.如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1、a2，則a1，a2的大小關(guān)系為_______.a2>a1去掉一個最高分和一個最低分后，甲選手葉上的數(shù)字之和是20，乙選手葉上的數(shù)字之和是25，故a2>a1.6.(2016·北京朝陽區(qū)期末)在一段時間內(nèi)有2000輛車通過高速公路上的某處，現(xiàn)隨機抽取其中的200輛進(jìn)行車速統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下面的頻率分布直方圖所示.若該處高速公路規(guī)定正常行駛速度為90km/h～120km/h，試估計2000輛車中，在這段時間內(nèi)以正常速度通過該處的汽車約有______輛.答案解析170012345678910111213以正常速度通過該處的汽車頻率為1－(0.01＋0.005)×10＝0.85，所以以正常速度通過該處的汽車約有0.85×2000＝1700(輛).123456789101112137.樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為___.答案解析由題意可知樣本的平均值為1，解得a＝－1，所以樣本的方差為[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.2123456789101112138.(2016·南京模擬)從某小學(xué)隨機抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖).由圖中數(shù)據(jù)可知a＝_______.若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為____.答案解析123456789101112130.030312345678910111213∵小矩形的面積等于頻率，∴除[120,130)外的頻率和為0.700，由題意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]內(nèi)的學(xué)生分別為30人，20人，10人，∴在[140,150]中選取的學(xué)生應(yīng)為3人.9.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為____.16答案解析若x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差為s，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的標(biāo)準(zhǔn)差為as.由題意s＝8，則上述標(biāo)準(zhǔn)差為2×8＝16.1234567891011121310.某學(xué)校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中，上學(xué)所需時間的范圍是[0,100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].則12345678910111213(1)圖中的x＝________；答案解析由頻率分布直方圖知20x＝1－20×(0.025＋0.0065＋0.003＋0.003)，解得x＝0.0125.0.012512345678910111213(2)若上學(xué)所需時間不少于1小時的學(xué)生可申請在學(xué)校住宿，則該校600名新生中估計有___名學(xué)生可以申請住宿.答案解析上學(xué)時間不少于1小時的學(xué)生的頻率為0.12，因此估計有0.12×600＝72(人)可以申請住宿.721234567891011121311.某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測試成績(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題：12345678910111213(1)求分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率及全班人數(shù)；分?jǐn)?shù)在[50,60]的頻率為0.008×10＝0.08.由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50,60]之間的頻數(shù)為2，解答123