2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十四章選考部分14.2矩陣與變換講義理蘇教版

§14.2矩陣與變換基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理[a11×b11＋a12×b21]_________________.(4)兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足

律，但不滿足

律和

律.即(AB)C＝A(BC)，

AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的

與后一個(gè)矩陣的

相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算.結(jié)合交換消去列數(shù)行數(shù)2.常見的平面變換3.逆變換與逆矩陣(1)對(duì)于二階矩陣A、B，若有AB＝BA＝E，則稱A是

，B稱為A的

；(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1.4.特征值與特征向量設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個(gè)

，而α稱為A的屬于特征值λ的一個(gè)

.可逆的逆矩陣特征值特征向量5.特征多項(xiàng)式設(shè)A＝

是一個(gè)二階矩陣，λ∈R，我們把行列式f(λ)＝

＝

，稱為A的特征多項(xiàng)式.λ2－(a＋d)λ＋ad－bc考點(diǎn)自測(cè)解答解答解答∴λ1＝0，λ2＝3.∴M的特征值為0和3.題型分類深度剖析題型一矩陣與變換例1已知a，b是實(shí)數(shù)，如果矩陣M＝

所對(duì)應(yīng)的變換將直線x－y＝1變換成x＋2y＝1，求a，b的值.解答因?yàn)辄c(diǎn)(x′，y′)在直線x＋2y＝1上，已知變換前后的坐標(biāo)，求變換對(duì)應(yīng)的矩陣時(shí)，通常用待定系數(shù)法求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(diǎn)(－1，－1)與(0，－2).(1)求矩陣M；解答(2)設(shè)直線l在變換作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程.解答且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直線l的方程為x＋y＋2＝0.題型二求逆矩陣(1)求A的逆矩陣A－1；因?yàn)閨A|＝2×3－1×4＝2，解答(2)求矩陣C，使得AC＝B.解答由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故求逆矩陣的方法(1)待定系數(shù)法思維升華解答題型三特征值與特征向量例3

(2016·南京質(zhì)檢)已知矩陣A的逆矩陣A－1＝ .(1)求矩陣A；因?yàn)榫仃嘇是矩陣A－1的逆矩陣，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，解答(2)求矩陣A－1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.解答令f(λ)＝0，得矩陣A－1的特征值為λ1＝1或λ2＝3，思維升華(3)賦值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，寫出相應(yīng)的向量.跟蹤訓(xùn)練3已知矩陣A＝

，其中a∈R，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′(0，－3).(1)求實(shí)數(shù)a的值；解答所以a＋1＝－3，所以a＝－4.(2)求矩陣A的特征值及特征向量.解答解得A的特征值為λ＝－1或3.課時(shí)作業(yè)1.已知A＝

，求A的特征值.解答＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值為λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值為7和－4.12345678910解答12345678910解答123456789104.已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是

，求矩陣A.解答123456789105.曲線C1：x2＋2y2＝1在矩陣M＝

的作用下變換為曲線C2，求C2的方程.解答12345678910設(shè)P(x，y)為曲線C2上任意一點(diǎn)，P′(x′，y′)為曲線x2＋2y2＝1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，因?yàn)镻′是曲線C1上的點(diǎn)，所以C2的方程為(x－2y)2＋2y2＝1.123456789106.(2015·江蘇)已知x，y∈R，向量α＝

是矩陣A＝

的屬于特征值－2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值.解答12345678910由已知，得Aα＝－2α，從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.123456789107.設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果A是可逆的，證明A的逆矩陣是唯一的.設(shè)B1，B2都是A的逆矩陣，則B1A＝AB1＝E2，B2A＝AB2＝E2，從而B1＝E2B1＝(B2A)B1＝B2(AB1)＝B2E2＝B2.即B1＝B2.故A的逆矩陣是唯一的.證明123456789108.(2016·蘇中四校聯(lián)考)求曲線|x|＋|y|＝1在矩陣M＝

對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積.解答12345678910設(shè)點(diǎn)(x0，y0)為曲線|x|＋|y|＝1上的任一點(diǎn)，12345678910123456789109.設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且滿足

求二階矩陣M.，解答1234567891012345678910(1)求滿足條件AM＝B的矩陣M；解答1234567891012345678910解答