初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及對(duì)應(yīng)例題

/初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及對(duì)應(yīng)例題初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及對(duì)應(yīng)例題初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中知識(shí)點(diǎn)總結(jié)勾股定理、實(shí)數(shù)、平面直角坐標(biāo)系概念勾股定理內(nèi)容直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。若a、b、c三個(gè)正整數(shù)滿足a2＋b2＝c2，則稱a，b，c為一組勾股數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也稱為二次方根。正數(shù)a有兩個(gè)平方根，其中正數(shù)a的正的平方根，也叫做a的算術(shù)平方根。一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根。一般地，形如a(a0)的二次根式式子，叫做二次根式，a叫做被開方數(shù)。解讀（1）要在直角三角形中；（2）沒有直角三角形，要先通過作輔助線來構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理解決相關(guān)問題。（1）先要確定最大邊（不妨設(shè)為c，另兩條邊長(zhǎng)分別為a，b）；（2）計(jì)算并比較c與ab的值的關(guān)系。（1）三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)；（2）最大數(shù)的平方等于較小的兩個(gè)數(shù)的平方和。（1）是小數(shù)；（2）是無限不循環(huán)的。（1）注意它的分類；（2）注意它的幾種形式。（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性質(zhì)。（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的非負(fù)性。（1）注意它的表示方法；（2）掌握它的性質(zhì)；（3）掌握它與平方根的同與異。（1）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)；（2）開的是二次方根。（3）注意a2及a的區(qū)別2222對(duì)應(yīng)例題例1勾股定理的逆定理例2勾股數(shù)例6無理數(shù)實(shí)數(shù)平方根例7算術(shù)平方根立方根例4例14例3最簡(jiǎn)二次根式被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因（1）被開方的每個(gè)因式的指數(shù)都低于根指數(shù)2；式是整式；被開方數(shù)中不含（2）被開方數(shù)中不含分母。例8、例5能開得盡方的因數(shù)或因式。在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共點(diǎn)數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系（x軸、y軸、原點(diǎn)）關(guān)于x、y軸對(duì)稱的點(diǎn)或者圖形的坐標(biāo)變化；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)或者圖形的坐標(biāo)變化圖形的變化包括：等比擴(kuò)大，等比縮小，橫向壓縮，縱向壓縮，橫向拉伸，縱向拉伸，平移，翻轉(zhuǎn)（1）讀出點(diǎn)的坐標(biāo)及根據(jù)坐標(biāo)找點(diǎn)（2）四個(gè)象限及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征（3）點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離和到原點(diǎn)距離的求法；（點(diǎn)到點(diǎn)距離的求法）（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)或圖形的坐標(biāo)變化（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)或圖形的坐標(biāo)變化例9例10例11例12例17例13例16平面直角坐標(biāo)系對(duì)稱與坐標(biāo)變化坐標(biāo)變化與圖形形狀變化之間的關(guān)系（1）圖形橫縱坐標(biāo)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（2）圖形橫（縱）坐標(biāo)不變，縱(橫)坐標(biāo)擴(kuò)大（縮?。┑皆瓉淼腶倍（3）圖形橫(縱)坐標(biāo)不變，縱(橫)坐標(biāo)加(減)a（4）圖形橫(縱)坐標(biāo)不變，縱(橫)坐標(biāo)乘函數(shù)、一次函數(shù)、正比例函數(shù)考點(diǎn)常量和變量定義在某一個(gè)變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫做常量；數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量。一般地，在一個(gè)變化的過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于變量x的每一個(gè)確定的值，變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)。其中x是自變量，y是因變量。表格、圖形、數(shù)學(xué)式子函數(shù)的表示方法函數(shù)關(guān)系式表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的式子，通常稱為函數(shù)關(guān)系式。在平面直角坐標(biāo)系中，如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，那么所有這樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖象。在一個(gè)變化過程中，自變量的取值通常有一定的范圍。給定自變量的一個(gè)值，就可以求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。剖析①關(guān)鍵是看它們?cè)谧兓^程中數(shù)值有沒有改變；②常量和變量都是從變化過程中區(qū)分出來的，而不是單獨(dú)判斷的。①變化過程中；②兩個(gè)變量；③一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化而變化；④對(duì)于自變量x的每一個(gè)確定的值，函數(shù)y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)（但有可能有多個(gè)不同的自變量數(shù)值對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值）。①不是任何變化過程都能用數(shù)學(xué)式子表示；②表格的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、直觀；圖像的優(yōu)點(diǎn)是直觀、形象；解析法的優(yōu)點(diǎn)是全面、準(zhǔn)確；③由數(shù)學(xué)式子可以列出表格畫出函數(shù)的圖象。用數(shù)學(xué)式子表示變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，要抓住問題中所隱含的數(shù)量關(guān)系。作函數(shù)的圖象必須要正確地描點(diǎn)，畫圖時(shí)要注意有的圖形具有無限性，如直線不能畫成線段。例22對(duì)應(yīng)例題函數(shù)例20函數(shù)的圖象自變量的取值必須考慮兩點(diǎn)：①使函數(shù)關(guān)系式成立，如y＝x2，x必須大于等于2；②使實(shí)際問題有意義，如時(shí)間、距離、重量等應(yīng)為非負(fù)數(shù)，人、物的個(gè)數(shù)應(yīng)為正整數(shù)。例18例19自變量與函數(shù)值一次函數(shù)的概念一般地，如果兩個(gè)變量x與y之①式中k、b是常數(shù)；間的函數(shù)關(guān)系式可以表示成為y②k不等于0，等于0并不是無意義，而是說該＝kx＋b（k、b為常數(shù)，且k≠0）式不是一次函數(shù)。的形式，那么稱y是x的一次函數(shù)。兩個(gè)變量x與y之間的函數(shù)關(guān)系式，可以表示成為y＝kx（k為常數(shù)，且k≠0）的形式，那么稱y叫做x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)①式中k是常數(shù)；②k不等于0，等于0并不是無意義，而是說該式不是一次函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情形，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)。例15正比例函數(shù)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)正比例函數(shù)例21初二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中復(fù)習(xí)例題例1、如圖，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB＝8，BC＝10，求EC的長(zhǎng)。例2、如圖所示，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF邊上的中線DG＝8，試說明△DEF是等腰三角形。例3、下列各式中，正確的是（）A.(3)23B.323C.(3)2＝±3D.323例4、已知312x與33y2互為相反數(shù)（y≠0），求12x的值。y12例5、①計(jì)算：202*12202*.②比較大?。?6與65例6、在△ABC中，AB＝25，AC＝30，BC邊上的高AD為24，試求第三邊BC的長(zhǎng)例7、求81的平方根和算術(shù)平方根。例8、計(jì)算：233111327812502483256862323例9、如果點(diǎn)A（2m，3－n）在第二象限，那么點(diǎn)B（m－1，n－4）在第幾象限？如果點(diǎn)M（3a＋1，－a）在第四象限，那么a的取值范圍是怎樣的？例10、若點(diǎn)A（a，b）在第三象限的角平分線上，且它到x軸和y軸的距離之和為4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。例11、填空1.若點(diǎn)A（n，2）與B（－3，m）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則n－m=2、已知點(diǎn)P（a，b），如果ab＝0，那么點(diǎn)P在3、點(diǎn)P（a，b）既在x軸上，也在y軸上，則a＝____；b＝__________．4、若點(diǎn)A（m，n），B（p，q）兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m、p關(guān)系為__________；n、q關(guān)系為________．5、點(diǎn)A在x軸上，位于原點(diǎn)的右側(cè)，距離坐標(biāo)原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度，則此點(diǎn)的坐標(biāo)為_______；點(diǎn)B在y軸上，位于原點(diǎn)下方，距離坐標(biāo)原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度，則此點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；點(diǎn)C在y軸左側(cè)，在x軸下方，距離每個(gè)坐標(biāo)軸都是5個(gè)單位長(zhǎng)度，則此點(diǎn)的坐標(biāo)為________．6、已知點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，x－1），則點(diǎn)A一定不在第________象限．7、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是－3，且點(diǎn)P到x軸的距離為5，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為8、在直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A在原點(diǎn)O北偏東30°方向上，且距離原點(diǎn)6個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____________。例12、已知點(diǎn)P（m，4），Q（－3，n），根據(jù)下列條件求出m、n的值①PQ∥y軸，PQ=4②點(diǎn)P、Q在第二、四象限兩條坐標(biāo)軸夾角平分線之上例13、平面直角坐標(biāo)系上有兩點(diǎn)P（－1，－2）和Q（4，2），取點(diǎn)R（1，m），當(dāng)m為多少時(shí)，PR＋RQ有最小值。例14、已知A＝mnB＝mn2是m＋n－2的算術(shù)平方根，m2n34m6n1是4m＋6n－1的立方根，求B－A的立方根。例15、已知一次函數(shù)y(k1)x＋3，則k＝。例16、已知點(diǎn)P1（a，3）和點(diǎn)P2（4，b）關(guān)于y軸對(duì)稱，則（a＋b）202*的值為例17、如圖，平行四邊形ABCD（AB∥CD、AD∥BC，AB＝CD、AD＝BC）的邊長(zhǎng)AB＝4，BC＝2，若把它放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，使AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－3，0），求：B、C、D的坐標(biāo)。k例18、已知函數(shù)y2x5，當(dāng)自變量增加m時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值增加（）A.2m1B.2mC.mD.2m1例19、等腰三角形的周長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為y，腰長(zhǎng)為x，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y102x，則自變量x的取值范圍是________________；例20、下列關(guān)于變量x和y的關(guān)系式：yx，y2x，y2x2，y2x2，y有（）A.1個(gè)x其中y是x的函數(shù)的xB.2個(gè)m3C.3個(gè)D.4個(gè)例21、當(dāng)m、n為何值時(shí)，ym2xn2是一次函數(shù)？m、n為何值時(shí)為正比例函數(shù)？例22、如圖所示的折線ABC為從甲地向乙地打長(zhǎng)途電話所需付的電話費(fèi)y（元）與通話時(shí)間t（分）之間的變化關(guān)系圖象。（1）這個(gè)圖象反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？（2）取t的一個(gè)定值，相應(yīng)的y值確定嗎？y可以看作t的函數(shù)嗎？（3）由圖象可知，當(dāng)通話時(shí)間為2分鐘時(shí)，應(yīng)付電話費(fèi)多少元？當(dāng)通話時(shí)間為5分鐘時(shí)，應(yīng)付電話費(fèi)多少元？數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總及?？碱}型數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總及?？碱}型匯編人：高科壽第一章全等三角形【知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖】命題、公理與定理全等三角形的判定三角形直角三角形全等的判定全等的尺規(guī)作圖判逆命題與逆定理【知識(shí)點(diǎn)】一、定義及表示1、定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比為1：1的特殊情況）當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。由此，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；(3)有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(4)有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角；（S．A．S．）（A．S．A．）（S．S．S．）（H．L．）作作線段角（A．A．S．）作角平分線作垂線作垂直平分線(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；2、表示全等用“≌”表示，讀作“全等于”。如：△ABC全等于△DEF，寫作：△ABC≌△DEF注意：若△ABC≌△DEF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F二、判定定理1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱SSS或“邊邊邊”)，這一條也說明了三角形具有穩(wěn)定性的原因。2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS或“邊角邊”)。3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA或“角邊角”)。由3可推到4、有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS或“角角邊”)5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL或“斜邊，直角邊”)所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，沒有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形為HL，屬于SSA)邊邊角，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。A是英文角的縮寫(angle)，S是英文邊的縮寫(side)。H是英文斜邊的縮寫（Hypotenuse），L是英文直角邊的縮寫（leg）。6.三條中線（或高、角分線）分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。三、性質(zhì)三角形全等的條件：1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等3、全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)相等。4、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。5、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等。6、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等。7、全等三角形面積相等。8、全等三角形周長(zhǎng)相等。9、全等三角形可以完全重合。三角形全等的方法：1、三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS)2、兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(SAS)3、兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)4、有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）5、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。(HL)【運(yùn)用】1、性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等。而全等的判定卻剛好相反。2、利用性質(zhì)和判定，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地找出兩個(gè)全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角是關(guān)鍵。在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定把對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，角、邊的順序?qū)懸恢?，為找?duì)應(yīng)邊，角提供方便。3，當(dāng)圖中出現(xiàn)兩個(gè)以上等邊三角形時(shí)，應(yīng)首先考慮用SAS找全等三角形。4、用在實(shí)際中，一般我們用全等三角形測(cè)相等的距離。以及相等的角，可以用于工業(yè)和事。5、三角形具有一定的穩(wěn)定性，所以我們用這個(gè)原理來做腳手架及其他支撐物體?！咀鲱}技巧】一般來說考試中線段和角相等需要證明全等。因此我們可以采取逆向思維的方式。來想要證全等，則需要什么條件，要證某某邊等于某某邊，那么首先要證明含有那兩個(gè)邊的三角形全等。然后把所得的等式運(yùn)用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等。有時(shí)還需要畫輔助線幫助解題。分析完畢以后要注意書寫格式，在全等三角形中，如果格式不寫好那么就容易出現(xiàn)看漏的現(xiàn)象?！纠}分析】例1：（202*浙江金華）如圖，△ABC與△ABD中，AD與BC相交于O點(diǎn)，∠1=∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件（不再添加其它線段，不再標(biāo)注或使用其它字母），使AC=BD，并給出證明.分析：要說明AC=BD，根據(jù)圖形想到先說明△ABC≌△BAD，題目中已經(jīng)知道∠1＝∠2，AB＝AB，只需一組對(duì)邊相等或一組對(duì)角相等即可.解：添加的條件是：BC=AD.證明：在△ABC與△BAD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠A=∠A"∴△ABC≌△BAD（SAS）.∴AC=BD.小結(jié)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，答案不惟一，若按照以下方式之一來添加條件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，從而有AC=BD.例2（202*攀枝花）如圖，點(diǎn)E在AB上，AC=AD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明.C所添?xiàng)l件為_______________.你得到的一對(duì)全等三角形是：EAB△≌△.證明：D分析：在已知條件中已有一組邊相等，另外圖形中還有一條公共邊，因此再添這兩邊的夾角相等或另一組對(duì)邊也相等即可得出全等三角形.解：所添?xiàng)l件為CE=ED.得到的一對(duì)全等三角形是△CAE≌△DAE.證明：在△CAE和△DAE中，AC=AD，AE=AE，CE=DE，所以△CAE≌△DAE（SSS）.小結(jié)：本題屬于條件和結(jié)論同時(shí)開放的一道好題目，題目本身并不復(fù)雜，但開放程度較高，能激起同學(xué)們的發(fā)散思維，值得重視.例3.(202*年永州)下列命題是假命題的是（）．．．A．兩點(diǎn)之間，線段最短．B．過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)圓．C．一組對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)等邊三角形全等．D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形．答案:D解析:考查假命題的判定.一般判定假命題采用對(duì)比定義或舉反例.隨意可以畫出一個(gè)對(duì)角線相等但對(duì)角線不互相平分的四邊形來,所以D是假命題.例4．具備下列條件的兩個(gè)三角形，全等的是A．兩個(gè)角分別相等，且有一邊相等B．一邊相等，且這邊上的高也相等C．兩邊分別相等，且這兩邊的夾角也相等D．兩邊且其中一條對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等知識(shí)點(diǎn)掃描:全等三角形的判定.注意對(duì)應(yīng)！題目解析:A項(xiàng)沒有對(duì)應(yīng)，可舉反例：兩個(gè)三角形，一大一小，有兩個(gè)角分別相等，但大三角形的短邊=小三角形的長(zhǎng)邊.B項(xiàng)高的位置不唯一，可以垂直此邊任意變動(dòng)，故不能判定全等.C項(xiàng)兩邊及夾角相等，由全等公理可以得到.D項(xiàng)SSA不能判定全等.故選C例5.在△ABC與△A′B′C′中,∠A+∠B=∠C,∠B′+∠C′=∠A′,且b-a=b′-c,b+a=b′+c′,則這兩個(gè)三角形()(A)不一定全等(B)不全等(C)根據(jù)“SAS”全等(D)根據(jù)“ASA”全等題目解析:∵∠A+∠B=∠C,∠B′+∠C′=∠A′,∴∠C=∠A′=90°.又∵b-a=b′-c′,b+a=b′+c′，兩式相加，得b=b′，則a=c′.則△ABC≌△C′B′A′(SAS)故選C例6.一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖（16）所示的殘片，你對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測(cè)量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說明理由．題目解析:全等三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，要測(cè)量的條件必須是可以證明三角形全等的.所以測(cè)量∠A，∠B的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)度，用ASA得全等.解:測(cè)量∠A，∠B的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)度，做∠A′=∠A，A’B’=AB∠B′=∠B，則△A′B′C′和原三角形全等，據(jù)ASA定理．例7．如圖，已知點(diǎn)A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AF=CE，BE∥DF，BE=DF．求證：AB∥CD．知識(shí)點(diǎn)掃描:全等三角形的判定、性質(zhì).平行線的判定.題目解析:從圖形來看，是一個(gè)典型的全等圖形.所以想到由全等得到等角，再?gòu)牡冉峭瞥鰞删€平行.但是注意：在證△AEB≌△CFD中，不要錯(cuò)誤地把AF與CE當(dāng)成了這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊．其實(shí)，AE與CF才是這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊．證明：∵AF=CE，A、F、E、C共線，∴AE=CF.∵BE∥DF，∴∠AEB=∠CFD.AFCE∴在△AEB和△CFD中，AEBCFDBEDF∴△AEB≌△CFD，∴∠A=∠C，∴AB∥CD.例8．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點(diǎn)，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延長(zhǎng)線于F．求證：BF=CE．知識(shí)點(diǎn)掃描:全等三角形的判定及性質(zhì).和同角互余的兩角相等.題目解析:這個(gè)圖形也是很典型的全等三角形圖形.所以考慮證△ACE≌△CBF（AAS），從而由全等性質(zhì)得到：BF=CE.證全等用AAS，直角相等，和AC=BC都是顯見的，再找一角：∠EAC=∠FCB，這一相等由同角（∠ACE）的余角相等得到.證明：∵AE⊥CF，∴∠ECA＋∠CAE=90°．又∠BCA=90°，∴∠BCF＋∠ECA=∠ECA＋∠CAE．∴∠BCF=∠CAE．∵AE⊥CF，∴∠AEC=90°．∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．又AC=BC，∴△BCF≌△CAE．∴BF=CE．例9．已知：如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰三角形.求證：（1）BD=CE；（2）∠1=∠2.題目解析:圖形復(fù)雜，要在復(fù)雜圖形中找出全等三角形，問題就解決了.找全等要充分利用等邊直角三角形的等邊和直角條件.證△EAC≌△DAB.證明：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC.即∠BAD=∠EAC.又∵AE=AD,AB=AC,∴△EAC≌△DAB,∴BD=CE,∠1=∠2.例10.如圖，在△ABC中，∠C為直角，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作正△ABE與正△ACD，DE與AB交于F，求證：EF=FD.題目解析:構(gòu)造全等三角形，過E作EG⊥AB于G.證明△EFG≌△DFA即可.（AAS）.證明：過E作EG⊥AB于G.則∠AEG=30°.在△AEG與△ABC中，AE=AB，∠AEG=∠CAB=30°，∠BCA=∠EGA=90°，∴△EAG≌△ABC，∴EG=AC=AD.又在△ADF與△GEF中，AD=GE，∠AFD=∠GFE，∠DAF=∠EGF=90°∴△ADF≌△GEF，∴DF=EF.例11．如圖，在△ABC中，AB=AC，DE是過點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖①）且AD=CE，求證：BA⊥AC．（2）若BC在DE的兩側(cè)（如圖②）其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)予證明，若不是請(qǐng)說明理由．題目解析:直接證明垂直無路，要“曲線救國(guó)”，設(shè)法證明∠DAB+∠EAC=90°，這還是不能直接達(dá)到，注意到∠DAB和∠EAC所在三角形均為直角三角形，所以再轉(zhuǎn)化一下：證∠DAB=∠ACE，這由全等不難得到.第二問方法與第一問類似，故不贅述.證明：（1）在Rt△ABD和Rt△CAE中，ABCAADCE∴△ABD≌△CAE（HL），∴∠DAB=∠ACE．又∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°∴∠BAC=90°，∴AB與AC垂直．（2）成立．證明同上．例12.(202*年湘潭)（本題滿分6分）如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點(diǎn)，D且DE=AB，過C作CF⊥DE，垂足為F.（1）猜想：AD與CF的大小關(guān)系；（2）請(qǐng)證明上面的結(jié)論.A解：（1）ADCF．（2）四邊形ABCD是矩形，AEDFDC,DEABCDCFEB又CFDE,CFDA90,△ADE≌△FCDADCF解析:考查矩形的性質(zhì)及直角三角形全等的判定.猜想AD與CF的關(guān)系,可以分析AD,CF所在的兩個(gè)三角形ADE與三角形FCD的關(guān)系.由條件可歸納得:∠A=∠CFD=900,∠AED=∠FDC,DE=AB=CD,可證△ADE≌△FCD,從而AD=CF.【練習(xí)】：1、（202*年泰州市）27．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．（1）在邊CD上找一點(diǎn)E，使EB平分∠AEC，并加以說明；（3分）．（2）若P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=2CP，連接EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F．①求證：點(diǎn)B平分線段AF；（3分）②△PAE能否由△PFB繞P點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到，若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．（4分）2、（202*年南京市）21．（6分）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)為BC上兩點(diǎn)，A且BECF，AFDE．D求證：（1）△ABF≌△DCE；（2）四邊形ABCD是矩形．BCEF3、（202*福建福州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中點(diǎn)，求證：MBMC．4、（202*年遵義市）如圖，OAOB，OCOD，O50，D35，則AEC等于（）OA．60C．45B．50BACD．30ED5、（202*年遵義市）22．（10分）在矩形ABCD中，AD2AB，E是AD的中點(diǎn)，一塊三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)三角板的兩直角邊與AB，BC分別交于點(diǎn)M，N時(shí)，觀察或測(cè)量BM與CN的長(zhǎng)度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論．A6、（202*年郴州市）如圖，ΔABC為等腰三角形，把它沿底邊BC翻折后，得到ΔDBC．請(qǐng)你判斷四邊形ABDC的形狀，并說出你的理由．7．(202*年雙柏縣)如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，BCADPO8B若使△AOP≌△BOP，則需添加的一個(gè)條件是（只寫一個(gè)即可，不添加輔助線）：8．（202*年荊州市）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF＝DC．ADFBEC9．（202*年龍巖市）如圖，在邊