高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(13)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（13）15.記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）若成等差數(shù)列，求面積；（2）若，求.16.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．（1）證明：平面ABC；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．17.乒乓球（tabletennis），被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目．已知某次乒乓球比賽單局賽制為：兩球換發(fā)制，每人發(fā)兩個(gè)球，然后由對(duì)方發(fā)球，先得11分者獲勝．（1）若單局比賽中，甲發(fā)球時(shí)獲勝的概率為，甲接球時(shí)獲勝的概率為，甲先發(fā)球，求單局比賽中甲獲勝的概率；（2）若比賽采用三局兩勝制（當(dāng)一隊(duì)朚得兩場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，記為比賽結(jié)束時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的期望．（參考數(shù)據(jù)）18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為.（1）證明：點(diǎn)在定直線上；（2）若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（13）15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）若成等差數(shù)列，求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）4【解答】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用余弦定理求得的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式求解；（2）根據(jù)已知條件代入，并用三角恒等變換化簡(jiǎn)求得A，再利用正弦定理求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，又，所以①，在中，由余弦定理可得：，又，所以②，由①②得，所以的面積.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?16.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．（1）證明：平面ABC；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）.【解答】【分析】（1）取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得平面，進(jìn)而由得，再證明平面ABC即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，從而得出二面角的平面角再進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、．因?yàn)?，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因?yàn)?，所以平面ABC.【小問(wèn)2詳解】法一：因?yàn)椋?，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為m=x1,y1令，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,y2令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.法二：將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體．連接，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為P，再過(guò)P作，垂足為Q，連接CQ，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)椋捎贐D，平面，且，所以平面，則為直角三角形，由于平面，所以，因?yàn)?，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因?yàn)槠矫鍯PQ，所以，則∠CQP為平面與平面的夾角或補(bǔ)角，在中，由等面積法可得,因?yàn)椋裕虼似矫媾c平面夾角的余弦值為.17.乒乓球（tabletennis），被稱為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目．已知某次乒乓球比賽單局賽制為：兩球換發(fā)制，每人發(fā)兩個(gè)球，然后由對(duì)方發(fā)球，先得11分者獲勝．（1）若單局比賽中，甲發(fā)球時(shí)獲勝的概率為，甲接球時(shí)獲勝的概率為，甲先發(fā)球，求單局比賽中甲獲勝的概率；（2）若比賽采用三局兩勝制（當(dāng)一隊(duì)朚得兩場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，記為比賽結(jié)束時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的期望．（參考數(shù)據(jù)）【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)題意，分3種情況分別求單局比賽中甲獲勝的概率，再求和；（2）首先分析得到，再分別求概率，以及數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件為“若甲先發(fā)球，單局比賽甲11:2獲勝”，其可分為如下三種基本事件，事件為“甲發(fā)球，甲敗2次”，事件為“乙發(fā)球，甲敗2次”，事件為“甲發(fā)球，甲敗1次，乙發(fā)球，甲敗1次”，這個(gè)單局比賽中，甲發(fā)球6次，乙發(fā)球6次，最后1次是甲發(fā)球甲贏，，，,；【小問(wèn)2詳解】隨機(jī)變量的所有可能取值為2,3，，，所以.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）【解答】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后列表求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值定義即可求解；（2）把原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在0,+∞上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，列不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，R），所以，令，則，f-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，所以的極小值為，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在0,+∞上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則問(wèn)題等價(jià)于在0,+∞上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，易知，因?yàn)閤∈0,+∞，所以.①當(dāng)時(shí)，在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以在0,+∞上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因?yàn)樵?,+∞上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，所以.因?yàn)?，令，則，所以在0,2上，?′x<0，在上，所以?x在0,2上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，在0,+∞上僅有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小結(jié)】方法小結(jié)：求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域.（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（3）求出的根.（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，判斷這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′x的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間.f′x>0，則在對(duì)應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′x<0如果導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，那么需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論要做到不重不漏.19.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為.（1）證明：點(diǎn)在定直線上；（2）若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）證明見(jiàn)解答（2）或（3）【解答】【分析】（1）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求和的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線、拋物線的方程，利用韋達(dá)定理分析求解；（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；（3）可知拋物線焦點(diǎn)，分析可得是外接圓的直徑，結(jié)合垂直關(guān)系分析求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，設(shè).所以方程為：，整理得：.同理可得，方程為：.聯(lián)立方程，解得.因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線內(nèi)部，可知直線的斜率存在，且與拋物線必相交，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，故，所以，可知.所以點(diǎn)在定直線上..【小問(wèn)2詳解】在的方程中，令，得，所以面積.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【