高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(23)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（23）15.如圖，在三棱錐中，，分別是線段的中點(diǎn)，，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角正弦值．16.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.17.佛山順德雙皮奶是一種粵式甜品，上層奶皮甘香，下層奶皮香滑潤口，吃起來，香氣濃郁，入口嫩滑，讓人唇齒留香．雙皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，輔以雞蛋和白糖制成．水牛奶中含有豐富的蛋白質(zhì)，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人體生長發(fā)育所需的氨基酸和微量元素．不過新鮮的水牛奶保質(zhì)期較短．某超市為了保證顧客能購買到新鮮的水牛奶又不用過多存貨，于是統(tǒng)計(jì)了50天銷售水牛奶的情況，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/件0123天數(shù)5102510假設(shè)水牛奶日銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率．（1）求接下來三天中至少有2天能賣出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存貨管理水平的高低會(huì)直接影響超市的經(jīng)營情況．該超市對(duì)水牛奶實(shí)行如下存貨管理制度：當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若存貨少于2件，則通知配送中心立即補(bǔ)貨至3件，否則不補(bǔ)貨．假設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)貨架上有3件水牛奶，求第二天營業(yè)結(jié)束后貨架上有1件存貨的概率．18.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）否存在，且依次成等比數(shù)列，使得，，依次成等差數(shù)列？請(qǐng)證明；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，是否存在的關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)寫出正確的關(guān)系．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，M平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡；（2）設(shè)過的直線交曲線于C，D兩點(diǎn)，Q為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動(dòng)點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由．

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（23）15.如圖，在三棱錐中，，分別是線段的中點(diǎn)，，，，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）利用中位線知識(shí)得到，然后使用線面垂直的判定定理；（2）直接使用空間向量求解.【小問1詳解】由于是的中點(diǎn)，，故.而分別是的中點(diǎn)，故且，而，所以.由，知，而，故.而，在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.【小問2詳解】已證，平面，故可以原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，且由知.設(shè)，分別是平面和的一個(gè)法向量，則由可知.故可取，，得.所以二面角的正弦值是.16.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）（2）證明見解答【解答】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）由（1）求得，再利用累乘法求得，從而利用及與的關(guān)系式的性質(zhì)即可得證.【小問1詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，則由，得，解得，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，則，所以，因?yàn)?，所以，則；因?yàn)椋?dāng)增大，則減少，所以時(shí)，取得最大值為，所以最大為；綜上，.17.佛山順德雙皮奶是一種粵式甜品，上層奶皮甘香，下層奶皮香滑潤口，吃起來，香氣濃郁，入口嫩滑，讓人唇齒留香．雙皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，輔以雞蛋和白糖制成．水牛奶中含有豐富的蛋白質(zhì)，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人體生長發(fā)育所需的氨基酸和微量元素．不過新鮮的水牛奶保質(zhì)期較短．某超市為了保證顧客能購買到新鮮的水牛奶又不用過多存貨，于是統(tǒng)計(jì)了50天銷售水牛奶的情況，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/件0123天數(shù)5102510假設(shè)水牛奶日銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率．（1）求接下來三天中至少有2天能賣出3件水牛奶的概率；（2）已知超市存貨管理水平的高低會(huì)直接影響超市的經(jīng)營情況．該超市對(duì)水牛奶實(shí)行如下存貨管理制度：當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若存貨少于2件，則通知配送中心立即補(bǔ)貨至3件，否則不補(bǔ)貨．假設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)貨架上有3件水牛奶，求第二天營業(yè)結(jié)束后貨架上有1件存貨的概率．【答案】（1）;（2）.【解答】【分析】（1）由題設(shè)三天中賣出3件水牛奶的天數(shù)，利用二項(xiàng)分布的概率概率公式求即可；（2）討論第一天營業(yè)結(jié)束是否需要補(bǔ)貨，利用全概率公式分別求出不需補(bǔ)貨、需要補(bǔ)貨情況下在第二天營業(yè)結(jié)束貨架上有1件存貨的概率，即可得結(jié)果.【小問1詳解】由題設(shè)，能賣出3件水牛奶的概率為，3件以下的概率為，所以三天中賣出3件水牛奶的天數(shù)，則.【小問2詳解】由（1）及題意知：第一天營業(yè)結(jié)束后不補(bǔ)貨的情況為A={銷售0件}或B={銷售1件}，所以，，令C={第二天貨架上有1件存貨}，則，，所以.第一天營業(yè)結(jié)束后補(bǔ)貨的情況為D={銷售3件}或E={銷售2件}，所以，，令F={第二天貨架上有1件存貨}，則，，所以.綜上，第二天營業(yè)結(jié)束后貨架上有1件存貨的概率.18.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最小值；（2）是否存在，且依次成等比數(shù)列，使得，，依次成等差數(shù)列？請(qǐng)證明；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，是否存在的關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)寫出正確的關(guān)系．【答案】（1）1（2）答案見解答，證明見解答（3）存在，證明見解答【解答】【分析】（1）代入，再對(duì)求導(dǎo)，并研究其單調(diào)性，可得答案；（2）利用等差中項(xiàng)建立等式，結(jié)合等比中項(xiàng)以及對(duì)數(shù)運(yùn)算律化簡等式，根據(jù)分類討論思想，可得答案；（3）先分析的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，建立關(guān)于的不等式，整理可即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以．【小問2詳解】要證，，依次成等差數(shù)列，只需證，整理可得，由依次成等比數(shù)列，則，所以①當(dāng)時(shí)，上式顯然成立；②當(dāng)時(shí)，則，整理可得，由依次成等比數(shù)列可得，則，代入得：與題意矛盾，故此時(shí)不存在；綜上：當(dāng)時(shí)，存在滿足要題意的；當(dāng)時(shí)，不存在滿足要題意的.【小問3詳解】因?yàn)?，，，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)趨于0時(shí)，趨于無窮??；當(dāng)趨于無窮大時(shí)，趨于無窮小；所以在上各有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，．設(shè)函數(shù)，則，，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，，所以，整理可得：，即，所以．【小結(jié)】方法小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡；（2）設(shè)過的直線交曲線于C，D兩點(diǎn)，Q為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動(dòng)點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）在定直線y＝8（x≠0）上．【解答】【詳解】（1）設(shè)，則，由題意知－4＜x＜4．∵，∴，即，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為．（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：當(dāng)直線CD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋1．設(shè)，，，則，，，由此知．將y＝kx＋1代入，得，于是，．①條件即，也即．將，代入得．