高考數學模擬大題規(guī)范訓練(27)含答案及解析

高三數學大題規(guī)范訓練（27）15.如圖，三棱錐中，，，，D是棱AB的中點，點E在棱AC上.（1）下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選取并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；①平面⊥平面；②；③.（2）若三棱錐的體積為，以你在（1）所選的兩個條件作為條件，求平面與平面所成二面角的大小.16.如圖，橢圓C：()的中心在原點，右焦點，橢圓與軸交于兩點，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點.（1）求橢圓C方程；（2）P是橢圓C弧上動點，當四邊形的面積最大時，求P點坐標.17.在一場羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”.接著，“勝區(qū)”中兩人對陣，勝者進入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名.然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者進入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名.最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對陣的結果相互獨立.（1）若，經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍.已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.18.設函數().（1）當時，求在處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）當時，，求a取值范圍.19.已知正整數為常數，且，無窮數列的各項均為正整數，其前項和為，且對任意正整數，恒成立.（1）證明無窮數列等比數列，并求；（2）若，，求證：；（3）當時，數列中任意不同兩項的和構成集合A.設集合，中元素的個數記為，求數列的通項公式.

高三數學大題規(guī)范訓練（27）15.如圖，三棱錐中，，，，D是棱AB的中點，點E在棱AC上.（1）下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選取并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；①平面⊥平面；②；③.（2）若三棱錐的體積為，以你在（1）所選的兩個條件作為條件，求平面與平面所成二面角的大小.【答案】（1）答案見解答（2）【解答】【分析】（1）若選擇①②，則只需證明⊥平面，結合線面垂直的性質定理即可得證；若選擇①③，則只需證明⊥平面，結合線面垂直的性質定理即可得證；若選擇②③，則只需證明⊥平面，再結合面面垂直的判定定理即可得證.（2）建立適當的空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】選擇①②，可證明③.由，是線段的中點，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，AC平面ABC，得⊥，又⊥；，平面，所以⊥平面．因為平面，所以，若選擇①③，可證明②.由，是線段的中點，得⊥.又平面⊥平面，平面平面，且平面；所以⊥平面，平面，得，又⊥，，平面，所以⊥平面，因為平面，所以．選擇②③，可證明①.由，是線段的中點，得⊥因為⊥，⊥，平面，，所以⊥平面．PD平面PDE，得⊥，,平面，所以⊥平面．又平面，故平面⊥平面.【小問2詳解】方法一：由（1），選擇①②，則③成立.取線段的中點F，連接，則由，及是線段的中點，得⊥.由（1）知，⊥平面，以點D為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系三棱錐的體積，且，，得，得所以由，是線段的中點，⊥，得：.所以，，，.設面與面的法向量分別為，，則，得：，所以面的一個法向量為.，得：，所以面的一個法向量為.設平面與平面所成二面角為，則，因為，所以面與面所成二面角的大小為．方法二：延長交的延長線于Q，連接，則平面與平面.由三棱錐的體積為，且，，得，解得又由，及是線段的中點，⊥，在等腰直角三角形中，，，連結CD，在中，，，，在等腰直角三角形中，，，在中，，在中，由，所以，又由（1）知，⊥平面，是在面內射影，由三垂線逆定理得：，則即為二面角的平面角，，所以面與面所成二面角的大小為.16.如圖，橢圓C：()的中心在原點，右焦點，橢圓與軸交于兩點，橢圓離心率為，直線與橢圓C交于點.（1）求橢圓C的方程；（2）P是橢圓C弧上動點，當四邊形的面積最大時，求P點坐標.【答案】（1）（2）【解答】分析】（1）方法一：由題意得，，把點直接代入橢圓方程求出即可；方法二：把代入求出即可；（2），而的面積為定值，所以只要的面積最大，進一步分析得知，只需求的最大值，方法一：用判別式法求最值；方法二：利用基本不等式求最值，結合取最值的取等條件即可求解.【小問1詳解】設，又離心率，則.，則.法一：則C：，點代入得，法二：則，點代入得，所以C方程為：.【小問2詳解】因為，而的面積為定值，所以只要的面積最大.設，則①.，，則線段AM長度為定值.由圖知，P在直線的上方，直線：，P到直線的距離為只需求的最大值.法一：設，代入得：，因為，得.當時，聯立①，解得：，.法二：因為.所以，當且僅當時，.所以當四邊形的面積最大時，此時點P坐標為().17.在一場羽毛球比賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”：首先，四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”.接著，“勝區(qū)”中兩人對陣，勝者進入“決賽區(qū)”；“敗區(qū)”中兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名.然后，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者進入“決賽區(qū)”，敗者獲第三名.最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲第二名.已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，且不同對陣的結果相互獨立.（1）若，經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；（2）除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：四人通過抽簽分成兩組，每組中的兩人對陣，每組的勝者進入“決賽區(qū)”，敗者淘汰；最后，“決賽區(qū)”的兩人進行冠軍決賽，勝者獲得冠軍.已知甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p()，則哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.【答案】（1）①；②（2）答案見解答【解答】【分析】（1）①甲獲得第四名，需要在甲參與的兩場比賽中都失敗，結合對立事件概率和獨立事件概率公式求解即可；②明確隨機變量所有可能取值，然后結合對立事件概率和獨立事件概率公式分別求出對應的概率，即可求得分布列和期望；（2）分別求出兩種賽制甲奪冠概率，再利用作差法比較兩概率的大小，取奪冠概率最大的賽制對甲奪冠有利.【小問1詳解】①記“甲獲得第四名”為事件，又，則；②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量，則的所有可能取值為2，3，4，連敗兩局：，可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；，；則的分布列如下：2340.160.5520.288所以數學期望.小問2詳解】在“單敗淘汰制”下，甲獲冠軍須比賽兩場，且兩場都勝，則甲獲得冠軍的概率為.(ii)在“雙敗淘汰制”下，設事件V為“甲獲冠軍”，設事件A為“甲比賽三場，連勝三場”，則；設事件B為“甲比賽四場：勝負（勝區(qū)敗）勝（贏敗區(qū)勝）勝（決賽區(qū)勝）”，則；設事件C為“甲比賽四場：負勝（敗區(qū)勝）勝（贏勝區(qū)?。﹦伲Q賽區(qū)勝）”，則；所以.由，且，當時，，“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；當時，，“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；當時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.18.設函數().（1）當時，求在處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）當時，，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解答（3）【解答】【分析】（1）只需分別求出即可；（2）求導得，根據是否大于0對進行分類討論即可求解；（3）分離參變量轉換為恒成立問題，構造函數，只需求得的最小值即可得解.【小問1詳解】當時，，則，則，又，故在處的切線方程為.【小問2詳解】因為，則，若，即時，恒成立，故在R上單調遞增；若，即或時，.+0─0+↗↘↗則在和上為增函數；在上為遞減函數.【小問3詳解】因為時，，即，當時，上式成立，也即當時，恒成立，記，則.記，則，則在為減函數，則，即恒成立，則單調減，為增函數，，則，所以的取值范圍為.19.已知正整數為常數，且，無窮數列的各項均為正整數，其前項和為，且對任意正整數，恒成立.（1）證明無窮數列為等比數列，并求；（2）若，，求證：；（3）當時，數列中任意不同兩項的和構成集合A.設集合，中元素的個數記為，求數列的通項公式.【答案】（1）證明見解答，（2）證明見解答（3）（）【解答】【分析】（1）由并結合已知條件，得出數列的兩項的商為定值，從而可知為等比數列，由于其各項均為正整數，所以公比亦為正整數，從而得到；（2）寫出數列的通項公式，得出，結合導函數求出函數的單調性，再結合累加法對數計算求和即可.（3）結合（2）得出集合中元素滿足的不等式，將中元素的個數轉化為關于的不等式的解的數目，先確定的取值，再由放縮法確定i的取值，從而確定解的個數，得到的通項公式．【小問1詳解】當時，，，兩式相減得：，，，所以數列等比數列．因為無窮數列的