專題25 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)（教師版）-2025版高考物理熱點(diǎn)題型講義

專題25帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)目錄TOC\o"1-3"\h\u題型一帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng) 類型1帶電粒子在直線邊界磁場中運(yùn)動(dòng) 類型2帶電粒子在圓形邊界磁場中運(yùn)動(dòng) 類型3帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運(yùn)動(dòng) 類型4帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場 題型二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的臨界問題 類型1帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題 類型2帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的極值問題 題型三帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題 題型一帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)一、粒子軌跡圓心的確定，半徑、運(yùn)動(dòng)時(shí)間的計(jì)算方法1．圓心的確定方法(1)若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即為圓心，如圖甲．(2)若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，弦的中垂線與速度垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖乙．(3)若已知粒子軌跡上某點(diǎn)速度方向，又能根據(jù)r＝eq\f(mv,qB)計(jì)算出軌跡半徑r，則在該點(diǎn)沿洛倫茲力方向距離為r的位置為圓心，如圖丙．2．半徑的計(jì)算方法方法一由R＝eq\f(mv,qB)求得方法二連半徑構(gòu)出三角形，由數(shù)學(xué)方法解三角形或勾股定理求得例如：如圖甲，R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得常用到的幾何關(guān)系①粒子的偏轉(zhuǎn)角等于半徑掃過的圓心角，如圖乙，φ＝α②弦切角等于弦所對應(yīng)圓心角一半，θ＝eq\f(1,2)α.3．時(shí)間的計(jì)算方法方法一利用圓心角、周期求得t＝eq\f(θ,2π)T方法二利用弧長、線速度求得t＝eq\f(l,v)二、帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)1．直線邊界(進(jìn)出磁場具有對稱性，如圖所示)2．平行邊界(往往存在臨界條件，如圖所示)3．圓形邊界(進(jìn)出磁場具有對稱性)(1)沿徑向射入必沿徑向射出，如圖甲所示．(2)不沿徑向射入時(shí)，如圖乙所示．射入時(shí)粒子速度方向與半徑的夾角為θ，射出磁場時(shí)速度方向與半徑的夾角也為θ.類型1帶電粒子在直線邊界磁場中運(yùn)動(dòng)【例1】一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，，，一束粒子，在紙面內(nèi)從a點(diǎn)垂直于ab射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量為3m，電荷量為q。以下正確的為（）A．粒子能到達(dá)de中點(diǎn)B．從bc邊界出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等C．在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子，其運(yùn)動(dòng)率為D．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為【答案】C【詳解】A．粒子在磁場中做勻圓周運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖所示，由圖可知，粒子要在區(qū)域運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)點(diǎn)時(shí)軌道半徑最大，此時(shí)粒子沒能到達(dá)de中點(diǎn)，因此粒子不能到達(dá)de中點(diǎn)，A錯(cuò)誤；BC．設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡過bcde上的某一點(diǎn)g，O為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，當(dāng)最大時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)c點(diǎn)與g點(diǎn)重合時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，即從bc邊界出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間不相等。如圖所示，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，由幾何關(guān)系則有解得已知粒子的質(zhì)量為3m，電荷量為q，其在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有解得B錯(cuò)誤，C正確；D．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為在中，設(shè)為，為θ，由幾何關(guān)系可得可得則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為D錯(cuò)誤。故選C?！纠?】如圖所示，在xOy平面的的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，速率相等的大量質(zhì)子從原點(diǎn)O朝各個(gè)方向均勻發(fā)射到第一象限內(nèi)，發(fā)現(xiàn)從磁場上邊界射出的質(zhì)子數(shù)占總數(shù)的，不計(jì)質(zhì)子間相互作用及重力，則質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得可知速率相等的大量質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)半徑也相等，可知從原點(diǎn)均勻發(fā)射到第一象限內(nèi)，從磁場上邊界射出的質(zhì)子數(shù)占總數(shù)的，則從磁場上邊界射出的電子的發(fā)射角度范圍有則根據(jù)質(zhì)子的偏轉(zhuǎn)軌跡和幾何關(guān)系可得，能從上邊界射出的電子的發(fā)射角度在設(shè)軌跡半徑為R，則由幾何關(guān)系知代入得故選C。【例3】．如圖所示，在直線邊界的上方存在垂直紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場，點(diǎn)在上。現(xiàn)從點(diǎn)垂直在紙面內(nèi)向上發(fā)射速度大小不同、質(zhì)量均為、電量均為的粒子，已知，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)粒子由N點(diǎn)飛出時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系有解得由聯(lián)立解得則由牛頓第二定律有解得由幾何關(guān)系可知，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為則粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為故選C。【例4】如圖所示，直線MN上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，電子1從磁場邊界上的a點(diǎn)垂直MN和磁場方向射入磁場，經(jīng)t1時(shí)間從b點(diǎn)離開磁場．之后電子2也由a點(diǎn)沿圖示方向以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)t2時(shí)間從a、b連線的中點(diǎn)c離開磁場，則eq\f(t1,t2)為()A．3B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)【答案】A【解析】電子1、2在磁場中都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意畫出兩電子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示，電子1垂直邊界射進(jìn)磁場，從b點(diǎn)離開，則運(yùn)動(dòng)了半個(gè)圓周，ab即為直徑，c點(diǎn)為圓心，電子2以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)t2時(shí)間從a、b連線的中點(diǎn)c離開磁場，根據(jù)半徑r＝eq\f(mv,Bq)可知，電子1和2的半徑相等，根據(jù)幾何關(guān)系可知，△aOc為等邊三角形，則電子2轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所以電子1運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)，電子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝eq\f(T,6)＝eq\f(πm,3Bq)，所以eq\f(t1,t2)＝3，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．【例5】如圖，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負(fù)電的粒子，不計(jì)重力，從x軸上的P點(diǎn)以速度v射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。已知v與x軸成45°角。OP=a。則以下說法正確的是（）

A．帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為aB．磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為C．OQ的長度為D．粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為【答案】BD【詳解】A．帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和軌跡如下圖

設(shè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為R，根據(jù)幾何知識(shí)可得解得故A正確；B．根據(jù)牛頓第二定律可得解得故B正確；C．根據(jù)幾何知識(shí)可得故故C錯(cuò)誤；D．帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為由幾何知識(shí)可得則故D正確。故選BD。【例6】如圖所示，兩個(gè)速度大小相同、比荷不同的帶電粒子1、2，沿水平方向從同一點(diǎn)垂直射入勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直紙面向里。當(dāng)它們從磁場下邊界飛出時(shí)相對入射方向的偏轉(zhuǎn)角分別為90°、60°，則它們在磁場中運(yùn)動(dòng)的（）A．軌跡半徑之比為2∶1 B．比荷之比為2∶1C．時(shí)間之比為3∶2 D．周期之比為2∶1【答案】B【詳解】A．粒子1和粒子2的圓心O1和O2，如圖所示設(shè)粒子1的半徑R1=d對于粒子2，由幾何關(guān)系可得解得故軌跡半徑之比為1∶2，故A錯(cuò)誤；B．由牛頓第二定律可得化簡可得可知，比荷之比為2∶1，故B正確；D．周期得故兩粒子周期之比為1∶2，故D錯(cuò)誤；C．速度的偏轉(zhuǎn)角即圓心角，故粒子1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間粒子2的運(yùn)動(dòng)時(shí)間故它們在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為3∶4，故C錯(cuò)誤。故選B。類型2帶電粒子在圓形邊界磁場中運(yùn)動(dòng)【例1】如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶電粒子從圓周上的點(diǎn)沿半徑方向射入磁場。若粒子射入磁場時(shí)的速度大小為，運(yùn)動(dòng)軌跡為；若粒子射入磁場時(shí)的速度大小為，運(yùn)動(dòng)軌跡為。不計(jì)粒子的重力，下列判斷正確的是（）A．粒子帶負(fù)電B．速度小于速度C．粒子以速度射入時(shí)，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長D．粒子以速度射入時(shí)，在磁場中受到的洛倫茲力較大【答案】BC【詳解】A．根據(jù)左手定則可知粒子帶正電，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)牛頓第二定律有解得根據(jù)圖中軌跡可知，，則有故B正確；C．粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)周期為粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為由圖可知運(yùn)動(dòng)軌跡為對應(yīng)的圓心角大于運(yùn)動(dòng)軌跡為對應(yīng)的圓心角，故粒子以速度射入時(shí)，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長，故C正確；D．粒子在磁場中受到的洛倫茲力大小為，可知，故粒子以速度射入時(shí)，在磁場中受到的洛倫茲力較小，故D錯(cuò)誤。故選BC?！纠?】．如圖所示，在紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域中充滿了垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一點(diǎn)電荷從圖中A點(diǎn)以速度v0沿和直徑成角的方向垂直磁場射入，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰能從點(diǎn)射出。已知為區(qū)域磁場的一條直徑，不計(jì)電荷的重力，下列說法正確的是（）

A．該點(diǎn)電荷帶負(fù)電B．該點(diǎn)電荷在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為RC．該點(diǎn)電荷的比荷為D．該點(diǎn)電荷在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為【答案】AD【詳解】A．由題意可知，點(diǎn)電荷應(yīng)向下偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知，該點(diǎn)電荷帶負(fù)電，故A正確；B．由題意可知，點(diǎn)電荷在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的弦長為2R，設(shè)點(diǎn)電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由弦長公式可得解得故B錯(cuò)誤；C．點(diǎn)電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所受洛倫茲力提供向心力，則有則比荷故C錯(cuò)誤；D．由題意可知，點(diǎn)電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角則該點(diǎn)電荷在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為故D正確。故選AD?！纠?】．如圖所示，在平面中的圓形區(qū)域內(nèi)有一個(gè)垂直紙面向里勻強(qiáng)磁場，其邊界過原點(diǎn)O和y軸上的點(diǎn)a（0，L）。一電子從a點(diǎn)以初速度v平行于x軸正方向射入磁場，并從x軸上的b點(diǎn)射出磁場，此時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為。電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)電子的軌跡半徑為R，電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可得解得電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為故選B?！纠?】如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域中有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度B，一比荷為的帶正電粒子，從圓形磁場邊界上的A點(diǎn)以的速度垂直直徑MN射入磁場，恰好從N點(diǎn)射出，且，下列選項(xiàng)正確的是（）

A．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為B．粒子從N點(diǎn)射出方向豎直向下C．若粒子改為從圓形磁場邊界上的C點(diǎn)以相同的速度入射，一定從N點(diǎn)射出D．若要實(shí)現(xiàn)帶電粒子從A點(diǎn)入射，從N點(diǎn)出射，則所加圓形磁場的最小面積為【答案】C【詳解】A．粒子恰好從N點(diǎn)射出，軌跡如下圖所示，運(yùn)動(dòng)周期為四邊形AONP的圓心角為粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為故A錯(cuò)誤；B．粒子在磁場中速度偏轉(zhuǎn)，從N點(diǎn)射出方向是與豎直方向呈，故B錯(cuò)誤；C．若粒子改為從圓形磁場邊界上的C點(diǎn)以相同的速度入射，軌跡如下圖所示，四邊形SCON為菱形，由幾何知識(shí)可知一定從N點(diǎn)射出，故C正確；D．若要實(shí)現(xiàn)帶電粒子從A點(diǎn)入射，從N點(diǎn)出射，則所加圓形磁場以AN為直徑時(shí)面積最小，最小面積為故D錯(cuò)誤。故選C?！纠?】如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場（未畫出），一質(zhì)量為m、帶電荷量為的微粒從圓上的N點(diǎn)以一定的速度沿圖中虛線方向射入磁場，從圓上的M點(diǎn)離開磁場時(shí)的速度方向與虛線垂直。已知圓心O到虛線的距離為，不計(jì)微粒所受的重力，下列說法正確的是（）A．微粒在磁場區(qū)城內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為B．微粒射入磁場時(shí)的速度大小為C．微粒在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為D．微粒到圓心O的最小距離為【答案】B【詳解】A．設(shè)微粒的速度大小為v，微粒在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則有，解得由于偏轉(zhuǎn)角為，則軌跡對應(yīng)的圓心角也為，則有解得故A錯(cuò)誤；C．作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示A點(diǎn)為微粒運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，設(shè)圓心O到MA的距離為x，到MC的距離為y，則有，，解得故C錯(cuò)誤；B．根據(jù)結(jié)合上述解得故B正確；D．微粒到圓心O的最小距離結(jié)合上述解得故D錯(cuò)誤。故選B。類型3帶電粒子在環(huán)形邊界磁場中運(yùn)動(dòng)【例1】2023年4月，我國有“人造太陽”之稱的托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝罫創(chuàng)造了新的世界紀(jì)錄。其中磁約束的簡化原理如圖：在半徑為和的真空同軸圓柱面之間，加有與軸線平行的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里，。假設(shè)氘核沿內(nèi)環(huán)切線向左進(jìn)入磁場，氚核沿內(nèi)環(huán)切線向右進(jìn)入磁場，二者均恰好不從外環(huán)射出。不計(jì)重力及二者之間的相互作用，則和的動(dòng)量之比為（）A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．3∶1【答案】C【詳解】根據(jù)左手定則，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系，氘核的半徑為根據(jù)幾何關(guān)系，氚核的半徑為根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得動(dòng)量為和的動(dòng)量之比為故選C?！纠?】真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()A.eq\f(3mv,2ae) B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae) D.eq\f(3mv,5ae)【答案】C【解析】為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑最大時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，圓心為M，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B，由幾何關(guān)系有eq\r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq\f(4,3)a，電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有evB＝meq\f(v2,r)，解得B＝eq\f(3mv,4ae)，選項(xiàng)C正確?！纠?】2023年7月5日，中核集團(tuán)正式簽約承建全球首個(gè)全高溫超導(dǎo)核聚變實(shí)驗(yàn)裝置，彰顯了我國在此領(lǐng)域技術(shù)水平居國際前列。在可控核聚變中用磁場來約束帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，叫磁約束。如圖所示為核聚變中磁約束裝置的簡化圖，圓環(huán)狀勻強(qiáng)磁場區(qū)域的內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于環(huán)面，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，具有各個(gè)方向的速度。下列說法正確的是（）A．要使所有帶電粒子約束在半徑為R2的區(qū)域內(nèi)，則帶電粒子的最大速度為B．從內(nèi)環(huán)邊緣相切射出的所有帶電粒子都約束在磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最大速度為C．要使粒子以速度v由圓心沿半徑方向運(yùn)動(dòng)的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域，D．要使粒子以速度v由圓心沿半徑方向運(yùn)動(dòng)的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域，【答案】AD【詳解】AB．帶電粒子的速度越大，在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑就越大，要使帶電粒子約束在半徑為R2的區(qū)域內(nèi)，如下圖可得帶電粒子圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為根據(jù)可得帶電粒子的最大速度為該速度同時(shí)也是從內(nèi)環(huán)邊緣相切射出的帶電粒子仍在磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的最大速度。A正確，B錯(cuò)誤；CD．要使以大小為v的速度由圓心沿半徑方向運(yùn)動(dòng)的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域，臨界狀態(tài)如下圖所示設(shè)臨界狀態(tài)圓周運(yùn)動(dòng)半徑為，由幾何關(guān)系可得根據(jù)AB選項(xiàng)分析可知磁感應(yīng)強(qiáng)度越大則半徑越小，有方程聯(lián)立可得要使粒子以速度v由圓心沿半徑方向運(yùn)動(dòng)的帶電粒子不離開半徑為R2的區(qū)域C錯(cuò)誤，D正確。故選AD。【例4】2023年1月7日，中科院聚變大科學(xué)團(tuán)隊(duì)利用有“人造太陽”之稱的全超導(dǎo)托卡馬克大科學(xué)裝置（EAST），發(fā)現(xiàn)并證明了一種新的高能量約束模式，對國際熱核聚變實(shí)驗(yàn)堆和未來聚變堆運(yùn)行具有重要意義。其基本原理是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動(dòng)，使之束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)。如圖所示，環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為，外半徑為，被束縛的帶電粒子的比荷為k，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度，速度大小為v。中空區(qū)域中的帶電粒子都不會(huì)穿出磁場的外邊緣而被約束在半徑為的區(qū)域內(nèi)，則環(huán)狀區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是（）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】由題意可知，粒子的比荷為k，要使所有的粒子都不能穿出磁場，與內(nèi)圓相切的方向進(jìn)入磁場的粒子在磁場運(yùn)動(dòng)的軌跡剛好與外圓相切，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示由幾何知識(shí)可知，粒子最大軌道半徑粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得解得要使粒子不離開磁場由于故選CD?！纠?】．如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內(nèi)，O為圓心。兩圓形成的圓環(huán)內(nèi)（含邊界）有垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q（）的粒子由大圓上的A點(diǎn)以速率v沿大圓切線方向進(jìn)入磁場，粒子僅在磁場中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子的重力，則粒子運(yùn)動(dòng)速率v可能為（）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可得粒子僅在磁場中運(yùn)動(dòng)，則或代入可得或故選ACD。【例6】2020年12月4日，新一代“人造太陽”裝置——中國環(huán)流器二號(hào)M裝置（HL-2M）在成都建成并實(shí)現(xiàn)首次放電，該裝置通過磁場將粒子約束在小范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)核聚變。其簡化模型如圖所示，核聚變主要原料氕核和氘核均從圓心O沿半徑方向射出，被約束在半徑為和兩個(gè)同心圓之間的環(huán)形區(qū)域，該區(qū)域存在與環(huán)面垂直的勻強(qiáng)磁場。則下列說法正確的是（

）A．若有粒子從該約束裝置中飛出，則應(yīng)減弱磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．若兩種粒子速率相同，氕核不會(huì)從該約束裝置中飛出，則氘核也一定不會(huì)從該約束裝置中飛出C．若兩種粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，則兩種粒子具有相同大小的動(dòng)量D．若氘核在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑，則氘核會(huì)從該約束裝置中飛出【答案】C【詳解】A．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，有解得如果減弱磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子軌道半徑變大，更容易飛出去，A錯(cuò)誤；B．由上面分析得氕核與氘核速率相同，所帶電荷量相同，磁感應(yīng)強(qiáng)度也相同，氕核不會(huì)從該約束裝置中飛出，但氘核質(zhì)量更大，所以軌道半徑更大，氘核有可能飛出該裝置，B錯(cuò)誤；C．由上面分析得氕核與氘核所帶電荷量相同，軌道半徑相同，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度也相同，則兩種粒子具有相同大小的動(dòng)量，C正確；D．如圖所示設(shè)氘核軌道半徑為r，當(dāng)軌跡和外部大圓相切時(shí)是氘核飛出該裝置的臨界狀態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系有解得若氘核在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑，則氘核不會(huì)從該約束裝置中飛出，D錯(cuò)誤。故選C。類型4帶電粒子在三角形或四邊形邊界磁場【例1】如圖所示，邊長為L的等邊三角形abc區(qū)域外存在著垂直于abc所在平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。P、Q均為ab邊的三等分點(diǎn)。時(shí)刻，磁場方向正好垂直于abc所在平面向里，帶負(fù)電的粒子在abc平面內(nèi)以初速度v0從a點(diǎn)垂直于ac邊射出，并從P點(diǎn)第一次進(jìn)入三角形abc區(qū)域。磁感應(yīng)強(qiáng)度大小始終為B。不計(jì)帶電粒子重力，求：（1）粒子的荷質(zhì)比；（2）粒子第一次到達(dá)c點(diǎn)的時(shí)刻。【答案】（1）；（2）【詳解】（1）根據(jù)牛頓第二定律得根據(jù)幾何關(guān)系可得聯(lián)立解得（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為在磁場外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為粒子第一次到達(dá)c點(diǎn)的時(shí)刻為聯(lián)立解得【例2】如圖，邊長為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外．a(chǎn)b邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子．已知電子的比荷為k.則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()A.eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B.eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC.eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D.eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl【答案】B【解析】電子從a點(diǎn)射出時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線①，軌跡半徑為ra＝eq\f(l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evaB＝meq\f(va2,ra)，又eq\f(e,m)＝k，解得va＝eq\f(kBl,4)；電子從d點(diǎn)射出時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線②，由幾何關(guān)系有rd2＝l2＋(rd－eq\f(l,2))2，解得：rd＝eq\f(5l,4)，由洛倫茲力提供向心力，有evdB＝meq\f(vd2,rd)，又eq\f(e,m)＝k，解得vd＝eq\f(5kBl,4)，選項(xiàng)B正確．【例3】如題圖，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），AC邊長為l，為，一群比荷為的帶負(fù)電粒子以相同速度從C點(diǎn)開始一定范圍垂直AC邊射入，射入的粒子恰好不從AB邊射出，已知從BC邊垂直射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子所用時(shí)間為，則以下說法中正確的是（

）

A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B．粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為C．粒子射入磁場的速度大小為 D．粒子在磁場中掃過的面積為【答案】AD【詳解】A．帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，垂直邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是，由可得解得故A正確；B．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡所對的圓心角為，則有可得畫出該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

設(shè)軌道半徑為，由幾何知識(shí)得可得故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得則粒子射入磁場的速度大小為故C錯(cuò)誤；D．射入的粒子恰好不從邊射出，粒子在磁場中掃過的面積為故D正確。故選AD?！纠?】．如圖所示，邊長為L的正方形內(nèi)表面涂有熒光材料，粒子打在表面會(huì)被吸收并發(fā)出熒光。正方形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直該平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，粒子源從正方形邊的中點(diǎn)P沿垂直磁場方向持續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的某種粒子，發(fā)射速度方向斜向上，速度大小與發(fā)射角的關(guān)系為，為發(fā)射速度方向與水平方向的夾角，，其中的粒子恰好從邊中點(diǎn)射出。不計(jì)粒子間的相互作用力和粒子的重力，下列說法正確的是（）

A．粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至與邊相切所需的時(shí)間為B．粒子在邊發(fā)出熒光的總長度為LC．打在B點(diǎn)的粒子軌道半徑為D．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為【答案】AC【詳解】A．當(dāng)?shù)牧Ｗ铀俣葀=v0，粒子恰好從AB邊中點(diǎn)射出，則當(dāng)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至與DC邊相切時(shí)，則軌道半徑即可知所有粒子的軌跡圓心都在AB邊上；當(dāng)軌跡與DC相切時(shí)由幾何關(guān)系可得r=Lα=60°則粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間選項(xiàng)A正確；

B．當(dāng)粒子軌道與DC邊相切時(shí)，粒子打到BC邊上的位置為上邊緣，可知粒子在邊發(fā)出熒光的總長度小于L，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C．打在B點(diǎn)的粒子軌跡如圖，此時(shí)軌跡與B點(diǎn)相切，設(shè)，則其中由幾何關(guān)系解得解得軌道半徑為選項(xiàng)C正確；D．當(dāng)軌跡圓與B點(diǎn)相切時(shí)，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度大于90°，此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選AC?！纠?】如圖所示的正方形區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一帶電粒子從ad邊中點(diǎn)e沿ec方向射入磁場。當(dāng)射入速度大小為v時(shí)，恰好從bc邊中點(diǎn)f飛出磁場。不計(jì)粒子所受重力。下列說法正確的是（）A．當(dāng)粒子速度大小為時(shí)，粒子離開磁場時(shí)的速度方向與磁場邊界垂直B．當(dāng)粒子速度大小為時(shí)，粒子在磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)過程中速度方向改變了90°C．粒子兩次射入速度大小分別為，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為，若，則有D．若粒子射入速度大小合適，可能從ab邊界上任一點(diǎn)飛出磁場【答案】ABC【詳解】A．由左手定則判斷，粒子帶負(fù)電，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期設(shè)正方形邊長為L，粒子射入速度方向與ef時(shí)夾角為θ，有當(dāng)粒子射入速度大小為v時(shí)，軌跡對應(yīng)的圓心角為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間由幾何關(guān)系可得當(dāng)粒子速度大小為時(shí)，軌跡半徑粒子的軌跡圓心恰好位于cb邊的延長線上，如圖1所示，粒子離開磁場時(shí)速度方向應(yīng)與磁場邊界垂直，故A正確；B．設(shè)粒子速度大小為時(shí)，在磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)過程中速度方向改變了90°，軌跡半徑如圖2所示。由幾何關(guān)系可得解得即故B正確；C．粒子入射速度變小，軌跡半徑變小，粒子兩次射入速度大小分別為，只要兩次不都是從ea邊射出，時(shí)，軌跡半徑軌跡對應(yīng)的圓心角則有若兩次都是從ea邊射出，時(shí)，軌跡半徑軌跡對應(yīng)的圓心角則有故C正確；D．當(dāng)入射速度使粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與ab邊界相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為g，速度再小時(shí)，粒子就從ea邊射出，所以粒子不可能在ag間飛出磁場，故D錯(cuò)誤。故選ABC?！纠?】．如圖所示，正三角形ABC內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖中末畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，三角形的邊長為L，B點(diǎn)有一離子源，能發(fā)出速率相同、方向不同的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為m、電荷量為，粒子的速率，粒子的重力忽略不計(jì)，不考慮粒子之間的相互作用，（已知）。下列說法正確的是（）A．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為B．與BC邊夾角為的粒子從BC邊射出，且射出的速度方向與BC邊夾角仍為C．從BC邊射出的粒子軌跡可能與AC邊相切D．當(dāng)粒子射入磁場速度方向與BC邊夾角為時(shí)，從AC邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短【答案】AD【詳解】ABC．洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，所以有所以粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為又因?yàn)榱Ｗ拥乃俾式獾盟援?dāng)粒子射入磁場的速度方向與BC邊夾角為時(shí)，粒子恰好從C點(diǎn)射出，速度方向與BC邊夾角為，則粒子的速度方向與BC邊界夾角在內(nèi)均從BC邊界射出磁場，從C點(diǎn)射出磁場的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，最長時(shí)間為而解得故A正確，BC錯(cuò)誤；D．當(dāng)粒子從AC邊界的中點(diǎn)O射出時(shí)，BO為到AC邊的最短距離，因此當(dāng)BO為軌跡上的弦長時(shí)所對應(yīng)的圓心角最小，即對應(yīng)的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，設(shè)粒子射入磁場時(shí)速度方向與BO的夾角為，則根據(jù)幾何關(guān)系有，解得所以此時(shí)粒子射入磁場時(shí)速度方向與BC邊界夾角為，故D正確。故選AD。【例7】．在矩形區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，邊長為，邊長為。帶正電的粒子從O點(diǎn)沿方向以不同速率射入，已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，粒子所受重力及粒子間的相互作用均忽略不計(jì)。取，下列說法正確的是（）A．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為 B．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為C．垂直邊界射出時(shí)，粒子的速度大小為 D．垂直邊界射出時(shí)，粒子的速度大小為【答案】AC【詳解】AB．由幾何關(guān)系有解得設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由可得可知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期和速度無關(guān)。由幾何關(guān)系可知粒子偏轉(zhuǎn)的最大圓心角粒子運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間故A正確，B錯(cuò)誤；CD．粒子垂直于邊射出時(shí)，由幾何關(guān)系有解得粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有解得故C正確，D錯(cuò)誤。故選AC。題型二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的臨界問題解決帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題的關(guān)鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)系求解．1．臨界條件帶電粒子剛好穿出(不穿出)磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切，故邊界(邊界的切線)與軌跡過切點(diǎn)的半徑(直徑)垂直．2．幾種常見的求極值情況(速度一定時(shí))(1)最長時(shí)間：弧長最長，一般為軌跡與直線邊界相切．圓形邊界：公共弦為小圓直徑時(shí)，出現(xiàn)極值，即：當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于圓形磁場半徑時(shí)，以磁場直徑的兩端點(diǎn)為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的軌跡對應(yīng)的圓心角最大，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長．(2)最短時(shí)間：弧長最短(弦長最短)，入射點(diǎn)確定，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線與邊界垂直．如圖，P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)．此時(shí)在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)最短．類型1帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題【例1】如圖所示，在空間中存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的有界勻強(qiáng)磁場，其邊界AB、CD相距為d，在左邊界的Q點(diǎn)處有一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子沿與左邊界成30°的方向射入磁場，粒子重力不計(jì)。求：（本題要求3個(gè)小問都要在答題卡上畫出帶電粒子在磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡）（1）帶電粒子能從AB邊界飛出的最大速度；（2）若帶電粒子能垂直CD邊界飛出磁場，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間各是多少？（3）若帶電粒子的速度是（2）中的倍，并可以從Q點(diǎn)沿紙面各個(gè)方向射入磁場，則粒子能打到CD邊界的距離大??？【答案】（1）；（2），；（3）【詳解】（1）設(shè)粒子軌跡半徑為，臨界情況如圖甲所示由幾何條件知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力解得最大速度為（2）帶電粒子能從右邊界垂直射出，作出軌跡如圖乙所示由幾何關(guān)系知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力解得粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所用時(shí)間為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，周期解得（3）當(dāng)粒子速度是（2）中的倍時(shí)，根據(jù)結(jié)合上述解得由幾何關(guān)系可得粒子能打到CD邊界的范圍如圖丙所示根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子打到CD邊界的距離解得【例2】如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，垂直于x軸的虛線與y軸之間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場含邊界，磁場方向與xOy平面垂直。一質(zhì)子束從坐標(biāo)原點(diǎn)射入磁場，所有質(zhì)子射入磁場的初速度大小不同但初速度方向都與x軸正方向成角向下。PQ是與x軸平行的熒光屏質(zhì)子打到熒光屏上不再反彈，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，。已知質(zhì)子比荷，。求：結(jié)果均可用分?jǐn)?shù)表示（1）質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間是多少;（2）如果讓熒光屏PQ發(fā)光長度盡可能長且質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡未出磁場，質(zhì)子初速度大小的取值范圍是多少。【答案】（1）；（2）【詳解】（1）質(zhì)子能打到y(tǒng)軸上時(shí)，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，如圖1所示由周期公式又由幾何關(guān)系可知?jiǎng)t粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間（2）當(dāng)質(zhì)子軌跡與PQ相切時(shí)，如圖1所示，設(shè)此時(shí)初速度為，軌跡半徑為R，由幾何關(guān)系可得又解得當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場邊界相切時(shí)，如圖2所示，設(shè)此時(shí)初速度為，軌跡半徑為，由幾何關(guān)系可得又解得綜上可得【例3】空間存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面，線段是屏與紙面的交線，長度為，其左側(cè)有一粒子源S，可沿紙面內(nèi)各個(gè)方向不斷發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、速率相同的粒子；，P為垂足，如圖所示，已知，若上所有的點(diǎn)都能被粒子從其右側(cè)直接打中，則粒子的速率至少為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】粒子要打中的右側(cè)所有位置，最容易的方式為粒子從飛出，繞過距離最近的點(diǎn)，從右側(cè)打中最下端的點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示為軌跡圓的弦長，為中點(diǎn)，，；粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為，根據(jù)幾何關(guān)系可知四邊形為平行四邊形，則解得粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可知解得粒子的最小速率為故選C?！纠?】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為、帶負(fù)電荷粒子的電荷量為、不計(jì)重力的帶電粒子從軸上的點(diǎn)以速度沿與軸成的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，恰好垂直于軸射出第一象限。已知。（1）求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；（2）讓大量這種帶電粒子同時(shí)從軸上的點(diǎn)以速度沿與軸成0到的方向垂直磁場射入第一象限內(nèi)，求軸上有帶電粒子穿過的區(qū)域范圍；（3）為了使該粒子能以速度垂直于軸射出，實(shí)際上只需在第一象限適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于平面、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，試求這矩形磁場區(qū)域的最小面積?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3）【詳解】（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑設(shè)為，如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可得解得由洛倫茲力提供向心力可得解得（2）粒子從軸上之間射出，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為為軌跡圓的直徑，如圖所示，由幾何關(guān)系得解得可知軸上有帶電粒子穿過的區(qū)域范圍為（3）為了使該粒子能以速度垂直于軸射出，實(shí)際上只需在第一象限適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于平面、磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，粒子在此磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得解得如圖所示，由幾何關(guān)系可得矩形磁場區(qū)域的最小面積為解得【例5】如圖所示，真空區(qū)域有左右寬度為l、上下足夠長的勻強(qiáng)磁場，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場方向垂直于紙面向里，MN、PQ是磁場的左右豎直邊界。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子（不計(jì)粒子重力），在豎直平面內(nèi)，沿著與MN夾角為的方向射入磁場中。則下列說法正確的是（）

A．若帶電粒子帶負(fù)電，入射速度只要大于，粒子就會(huì)從PQ射出B．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間可能是C．MN邊界上，從入射點(diǎn)下方射出的所有粒子，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為D．若在該空間再加一個(gè)勻強(qiáng)電場，粒子有可能做勻加速直線運(yùn)動(dòng)【答案】BC【詳解】A．若帶電粒子帶負(fù)電，粒子恰好從PQ射出，軌跡如圖

由洛倫茲力提供向心力由幾何關(guān)系解得粒子入射速度入射速度只要大于，粒子就會(huì)從PQ射出，A錯(cuò)誤；B．若帶電粒子帶正電，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間對應(yīng)軌跡為

由洛倫茲力提供向心力由幾何關(guān)系運(yùn)動(dòng)時(shí)間粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間可能是，B正確；C．MN邊界上，從入射點(diǎn)下方射出的所有粒子（帶負(fù)電），在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為C正確；D．若在該空間再加一個(gè)勻強(qiáng)電場，帶電粒子受電場力與洛倫茲力，由于洛倫茲力垂直于速度方向，且大小為若粒子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則速度增加，洛倫茲力變大，合力不再與速度共線，所以若在該空間再加一個(gè)勻強(qiáng)電場，粒子不可能做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤。故選BC。類型2帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的極值問題【例1】如圖所示，OACD是一長為OA=l的矩形，其內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子從O點(diǎn)以速度v0垂直射入磁場，速度方向與OA的夾角為，粒子剛好從A點(diǎn)射出磁場，不計(jì)粒子的重力，則（）A．粒子一定帶正電B．勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為C．粒子從O到A所需的時(shí)間為D．矩形磁場的寬度最小值為【答案】CD【詳解】A．由題意可知，粒子進(jìn)入磁場時(shí)所受洛倫茲力斜向右下方由左手定則可知，粒子帶負(fù)電，故A錯(cuò)誤；B．粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)可得粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得解得故B錯(cuò)誤；C．由幾何知識(shí)可知，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間C正確；D．根據(jù)圖示，由幾何知識(shí)可知，矩形磁場的最小寬度故D正確。故選CD。【例2】如圖，空間分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場。關(guān)于O點(diǎn)對稱的薄板MN的長度為3a，O點(diǎn)到MN的距離為a。O點(diǎn)有一粒子源，能沿紙面內(nèi)任意方向發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m、電荷量為q的正電粒子。已知水平向右發(fā)射的粒子恰能垂直打在MN上，打到MN上、下表面的粒子均被吸收。不計(jì)粒子的重力，則被MN吸收的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為（）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡所對圓心角越大，在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長，由題可知，水平向右發(fā)射的粒子恰能垂直打在MN上，故粒子粒子軌跡的半徑為a，打到MN上、下表面的粒子均被吸收，如圖所示有兩種情況

打在MN上表面時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡最大的圓心角為，當(dāng)粒子打在MN下表面時(shí)，若OP為軌跡圓的弦，則軌跡所對圓心角最大，其中故粒子運(yùn)動(dòng)軌跡最大的圓心角為根據(jù)可知粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為故粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為故選A?！纠?】如圖所示，空聞?dòng)邪霃綖镽的圓形勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面，在距圓心O為處有一粒子源，時(shí)刻沿紙面內(nèi)的任意方向上均勻發(fā)射出速度大小相同的大量帶電粒子，粒子比荷為k，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為，則（）A．粒子在圓形磁場區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)問為B．粒子在圓形磁場區(qū)城中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為C．時(shí)刻，出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為D．時(shí)刻，出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為【答案】AD【詳解】AB．如圖1所示，當(dāng)粒子的軌跡以AB為弦長時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間最小，由幾何關(guān)系得圓心角為，故粒子在圓形磁場區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為故A正確，B錯(cuò)誤；CD．因粒子均勻分布于各個(gè)方向，故粒子數(shù)之比與角度成正比，如圖2所示，當(dāng)時(shí)，由幾何關(guān)系知出磁場與未出磁場的粒子數(shù)之比為，故C錯(cuò)誤，D正確。故選AD?！纠?】．如圖所示，豎直平面內(nèi)半徑為R、圓心為O的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，MN是一豎直放置的收集板。三角形MON為等腰直角三角形，，從圓形磁場最高點(diǎn)P沿PO方向向圓形區(qū)域內(nèi)射入大量速率不同的同種粒子，粒子所帶電荷量均為q、質(zhì)量均為m且?guī)д?。忽略粒子之間的相互作用力和粒子重力，關(guān)于打在MN區(qū)域的粒子，下列說法正確的是（）A．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間B．打在收集板上的粒子的最大速率C．整個(gè)過程中位移最小的粒子速率D．整個(gè)過程中位移最小的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間【答案】AD【詳解】A．如圖甲所示，設(shè)出射點(diǎn)為，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的圓心角為，根據(jù)幾何關(guān)系有粒子射到M點(diǎn)時(shí)，最小，最大，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，由幾何關(guān)系可知因?yàn)橹芷谒詣t故A正確；B．設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系有粒子射到N點(diǎn)時(shí)，打在收集板上的粒子速度最大根據(jù)洛倫茲力提供向心力有聯(lián)立解得故B錯(cuò)誤；C．整個(gè)過程中粒子位移大小為P到直線MN上的點(diǎn)的距離，點(diǎn)到直線垂線最短，如圖乙所示，設(shè)位移最短時(shí)打在Q點(diǎn)，PQ⊥MN，根據(jù)幾何關(guān)系有，，，位移最小的粒子的速率又故位移最小的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間故C錯(cuò)誤，D正確。故選AD?！纠?】如圖所示，直角三角形abc區(qū)域存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ab邊長為2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac邊的中點(diǎn)d，粒子源垂直ac邊向磁場中發(fā)射不同速率的帶正電的粒子，粒子均從bc邊界射出，已知粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，下列說法正確的是（

）A．粒子運(yùn)動(dòng)的速率可能為B．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為C．bc邊界上有粒子射出的區(qū)域長度最大為D．有粒子經(jīng)過的磁場區(qū)域的面積最大為【答案】BCD【詳解】A．根據(jù)題意可知當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ab邊相切時(shí)，對應(yīng)的速度最大，根據(jù)幾何知識(shí)可得半徑為根據(jù)洛倫茲力提供向心力解得同理若粒子從c點(diǎn)射出，則速度則粒子的速度不可能為，故A錯(cuò)誤；B．粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為當(dāng)粒子垂直bc邊射出時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為故B正確；CD．根據(jù)題意可知當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ab邊相切時(shí)，打在cb上的點(diǎn)到c點(diǎn)的距離最大，即所以打在bc邊界上有粒子射出的區(qū)域長度最大為，有粒子經(jīng)過的磁場區(qū)域的面積最大為故CD正確。故選BCD。題型三帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于帶電粒子電性不確定、磁場方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題．(1)找出多解的原因．(2)畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況．類型分析圖例帶電粒子電性不確定帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，初速度相同時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解如帶正電，其軌跡為a；如帶負(fù)電，其軌跡為b磁場方向不確定只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b臨界狀態(tài)不唯一帶電粒子飛越有界磁場時(shí)，可能穿過磁場飛出，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面一側(cè)反向飛出，于是形成多解運(yùn)動(dòng)具有周期性帶電粒子在部分是電場、部分是磁場空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，因而形成多解【例1】如圖所示，以O(shè)P為分界線將直角MON分為區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B的勻強(qiáng)磁場，OP與OM間的夾角為30°。一質(zhì)量為m、帶電量為的粒子從分界線上的P點(diǎn)以速度v、沿與分界線OP成60°角的方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，在區(qū)域Ⅰ偏轉(zhuǎn)后直接從O點(diǎn)離開磁場區(qū)域，不計(jì)粒子的重力。（1）求OP之間的距離；（2）若粒子從P點(diǎn)射入的速度方向不變，大小可以改變，要使粒子仍從O點(diǎn)離開磁場區(qū)域，求粒子射入時(shí)速度大小的可能值?！敬鸢浮浚?）（2）【詳解】（1）根據(jù)牛頓第二定律得粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖OP長度為（2）粒子從點(diǎn)離開一定是從區(qū)域Ⅰ與相切離開磁場區(qū)域，故根據(jù)幾何關(guān)系即，解得【例2】如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)無磁場，圓形區(qū)域外存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從O點(diǎn)以大小為v的速度沿半徑方向射出，射出后粒子做周期性運(yùn)動(dòng)。不計(jì)粒子重力，則粒子運(yùn)