第04講-空間直線、平面的垂直(精講)(原卷版)

第04講空間直線、平面的垂直目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 5第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 6高頻考點(diǎn)一：直線與直線垂直 6高頻考點(diǎn)二：直線與平面垂直 8角度1：判斷線面垂直 8角度2：證明線面垂直 9角度3：補(bǔ)全線面垂直的條件 10高頻考點(diǎn)三：線面垂直的性質(zhì) 14高頻考點(diǎn)四：平面與平面垂直 16角度1：判斷面面垂直 16角度2：證明面面垂直 17角度3：補(bǔ)全面面垂直的條件 18高頻考點(diǎn)五：面面垂直的性質(zhì) 22高頻考點(diǎn)六：直線與平面所成角（傳統(tǒng)法） 24高頻考點(diǎn)七：二面角（傳統(tǒng)法） 26第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面垂直1、直線和平面垂直的定義如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)P叫垂足.符號(hào)語言：對(duì)于任意，都有.2、直線和平面垂直的判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡(jiǎn)記：線線垂直線面垂直符號(hào)語言：，，，，3、直線和平面垂直的性質(zhì)定理3.1定義轉(zhuǎn)化性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內(nèi)所有直線.符合語言：，.3.2性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符合語言：，知識(shí)點(diǎn)二：直線與平面所成角1、直線與平面所成角定義如圖，一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.說明：①為斜線②與的交點(diǎn)為斜足③直線為在平面上的射影④直線與射影所成角(角)為直線與平面上所成角⑤當(dāng)直線與平面垂直時(shí)：；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)：⑥直線與平面所成角取值范圍：.2、直線與平面所成角的求解步驟①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；③算：一般借助三角形的相關(guān)知識(shí)計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)三：二面角1、二面角定義（1）定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．（2）符號(hào)語言：①二面角.②在,內(nèi)分別取兩點(diǎn)，(,),可記作二面角;③當(dāng)棱記作時(shí)，可記作二面角或者二面角.2、二面角的平面角（1）定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn),以點(diǎn)為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直與直線的射線,,則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）說明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度；②二面角的大小與垂足在上的位置無關(guān)一個(gè)二面角的平面角有無數(shù)個(gè)，它們的大小是相等的；③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個(gè)條件缺一不可，前兩個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個(gè)要素表明平面角所在的平面與棱垂直；④二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，；當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，⑤當(dāng)兩個(gè)半平面垂直時(shí)，，此時(shí)的二面角稱為直二面角.3、二面角的平面角的取值范圍：4、二面角平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（一般取特殊點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角.(4)轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角（或其補(bǔ)角）.(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法知識(shí)點(diǎn)四：平面與平面垂直1、平面與平面垂直的定義（1）定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.（2）符號(hào)語言:（3）圖形語言2、平面與平面垂直的判定（1）定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號(hào)（圖形）語言:，3、平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(2)符號(hào)（圖形）語言：，，.第二部分：高考真題回歸1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為4．（2023·全國（甲卷理）·統(tǒng)考高考真題）在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)求證：；(2)若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．5．（2023·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：直線與直線垂直典型例題例題1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，.求證：.例題2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體.（1）求與所成角的大小；（2）若，分別為棱，的中點(diǎn)，求證：.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，平面，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動(dòng).

(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，試判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(2)證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有.2．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第七中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，E，F(xiàn)分別的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求證：．高頻考點(diǎn)二：直線與平面垂直角度1：判斷線面垂直典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)不同的平面，，，是三條不同的直線，下列條件中，可以得到的是（

）A．，，， B．，C．， D．，例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，圓柱中，是側(cè)面的母線，是底面的直徑，是底面圓上一點(diǎn)，則（

）

A．平面 B．平面C．平面 D．平面

角度2：證明線面垂直典型例題例題1．（2023春·陜西延安·高一陜西延安中學(xué)?？计谥校┰谒拿骟w中，四邊形是矩形，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面.例題2．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且，，，分別是，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)設(shè)，求三棱錐的體積．角度3：補(bǔ)全線面垂直的條件典型例題例題1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知平面，則四邊形滿足______時(shí)，有．（試寫出一個(gè)滿足的條件）例題2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，平面，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)試確定當(dāng)中與滿足什么關(guān)系時(shí)，平面？并說明理由．例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)在對(duì)角線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)二練透核心考點(diǎn)1．（多選）（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)l，m是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則2．（2023春·全國·高一期中）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是三個(gè)不同的平面，是三條不同的直線，且.在下列條件中，能推出的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，且的面積為6．

(1)求三棱錐的體積；(2)若，且為銳角，求證：平面．5．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)D到平面ABE的距離．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）若圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，，且、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.高頻考點(diǎn)三：線面垂直的性質(zhì)典型例題例題1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：(1)平面；(2).例題2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，面，，，，，，是的中點(diǎn)．(1)求異面直線與所成角的正切值；(2)求證：．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：.

2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：平面.3．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．(1)求證：平面AMB//平面DNC；(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC．高頻考點(diǎn)四：平面與平面垂直角度1：判斷面面垂直典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，⊥底面，且為正方形，則此四棱錐表面中互相垂直的面有（

）A．6對(duì) B．5對(duì) C．4對(duì) D．3對(duì)例題2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，平面四邊形中，，，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，則下列說法中不正確的是（）A．平面平面 B．C．平面平面 D．平面例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，若，，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC角度2：證明面面垂直典型例題例題1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一個(gè)類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，.(1)證明：平面平面.(2)求四棱錐的體積.例題2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，平面平面，，分別為棱，的中點(diǎn)，．(1)求證：平面平面；(2)若，求幾何體的體積．角度3：補(bǔ)全面面垂直的條件典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，是上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足________時(shí)，平面平面PCD．（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可）

例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在的平面垂直于底面．(1)若為邊的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求證：；(3)求二面角的大小；(4)若為邊的中點(diǎn)，能否在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面？并證明你的結(jié)論．例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖示，邊長(zhǎng)為4的正方形與正三角形所在平面互相垂直，、分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：面；(2)求多面體的體積；(3)試問：在線段上是否存在一點(diǎn)，使面面？若存在，指出的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)四練透核心考點(diǎn)1．（2023·北京東城·高三專題練習(xí)）設(shè)l是直線，，是兩個(gè)不同的平面（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中點(diǎn)，下列敘述正確的是（）A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PADC．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知底面是菱形，且對(duì)角線與相交于點(diǎn).若，求證：平面平面.

4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，，，，，為等邊三角形，．(1)證明：平面平面PBC；(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，是上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件①，②，③中的______時(shí)，平面平面（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件序號(hào)即可）.6．（2022春·高一單元測(cè)試）已知中，，，平面，，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求證：不論為何值，總有平面平面；（2）為何值時(shí)，平面平面？7．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，若平面，，，．(1)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面，請(qǐng)說明理由；(2)求多面體的體積．高頻考點(diǎn)五：面面垂直的性質(zhì)典型例題例題1．（2023·四川成都·川大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示多面體中，平面平面，平面，是正三角形，四邊形是菱形，，，

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．例題2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，，且，是的中點(diǎn)．求證：平面；練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面平面，求證：.

2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖甲，已知在長(zhǎng)方形中，，，M為DC的中點(diǎn).將沿折起，如圖乙，使得平面平面，求證：平面.

3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是AC的中點(diǎn).

(1)求證：平面高頻考點(diǎn)六：直線與平面所成角（傳統(tǒng)法）典型例題例題1．（2023春·北京·高一北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱中，，，直線與平面所成的角_________．

例題2．（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，.(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的余弦值.例題3．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別是、的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，得到四棱錐.(1)若，證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且.

(1)求證平面.；(2)求與平面所成角的大?。?．（2023春