第二十七章++相似++數(shù)學活動++教學設計+++2023-2024學年人教版九年級數(shù)學下冊

教學設計

課程基本信息學科初中數(shù)學年級九年級學期春季課題數(shù)學活動教科書書名：《數(shù)學》教材出版社：人民教育出版社教學目標1.了解分形產生的背景．2.通過科赫曲線產生過程，理解分形的概念；觀察科赫曲線的特點，掌握分形最基本的性質——“自相似性”.3.經歷簡單分形圖（謝爾賓斯基三角形）的制作過程，進一步理解并掌握分形的概念及特征．4.通過分形圖片的欣賞，感受數(shù)學的應用價值以及數(shù)學的美．教學內容教學重點：1.分形的概念以及它的自相似性．教學難點：1.通過觀察現(xiàn)實生活中不規(guī)則的事物對象，抽象出數(shù)學模型——分形，體會建模的思想．教學過程一、情境引入起伏不平的地形地貌，彎彎曲曲的海岸線，裊裊升騰的炊煙變幻飄忽的白云雜亂無章的粉塵等……它們不如我們在課堂里所學的三角形、圓形那么規(guī)則，和有序，它們具有難以想象的，復雜的結構。我們無法用，已學過的幾何圖形，來描述和刻畫它們。那么，我們到底該用什么數(shù)學知識來描述它們呢？二、形成概念問題我們先一起來了解一下數(shù)學史上一條典型曲線的構造．（如圖）追問現(xiàn)在來觀察一下這條曲線的局部細節(jié)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？師生活動將其細微部分放大后，其結構看起來仍與原先的一樣，這種現(xiàn)象叫做自相似，自相似的過程可以無限的繼續(xù)下去．像這樣得到一種圖形就是分形．這條曲線是瑞典數(shù)學家科赫于1904年制作的，于是又叫科赫曲線．三、探索性質問題科赫曲線有多長呢？師生活動假設一開始的線段的長度為1．第一次變形后長度為，第n次變形后長度為，無限次這樣操作下去，n會無限大，會隨著變得無限大，即科赫曲線的長度會變得無限長．追問1既然科赫曲線不可求長，我們從另一個角度來觀察科赫曲線，它看上去是一個漂亮的平面圖形，那么是不是可以算算它的面積是多少呢？師生活動科赫曲線的另一種構造方法：作一個頂角為120°的等腰三角形，將其底邊三等分，以其中間的三分之一邊為底邊與原圖形的頂角的頂點作一個等邊三角形，并將其挖去。如此重復……既得科赫曲線。設原圖形的面積為1，第一次挖去的面積為，第二次挖去的面積為，第三次挖去的面積為，第n次挖去的面積.所以，這n次挖去的面積之和為＋＋＋···＋＝1－.所以，當n無限增大時，挖去的面積之和就無限接近1，換言之，科赫曲線的面積無限的接近0.追問2科赫曲線還有什么奇特的性質嗎？師生活動三條科赫曲線首尾順次相接可以圍成一個漂亮的圖案——科赫雪花．它圍成的面積有限，但卻有著無限的周長．師生活動科赫曲線是典型的分形，它所具備的特征是分形所具有的共性．四、應用性質問題你想自己去制作一個分形圖嗎？師生活動師生共畫謝爾賓斯基三角形.謝爾賓斯基三角形除了用來描述物理系統(tǒng)中的分形結構外，也被用于數(shù)據壓縮和密碼學中的隨機數(shù)生成器等。追問用類似的方法，嘗試構造謝爾賓斯基地毯.師生活動一起來欣賞以曼德布羅特名字命名的“曼德布羅特集”（觀看視頻）.課堂小結分形就是研究，無限復雜，具備，自相似結構的幾何學，是大自然復雜表面下的，內在的數(shù)學秩序。有人說：“為什么世界這么美麗，因為，我眼睛看到的都是分形”，大到海岸線、山川的形狀、天空的云朵，小到一片樹葉、一片雪花、皮蛋里的花紋，分形無處不在，無處不有。從此以后，我們看到的數(shù)學，不再只有，那些枯燥的數(shù)學公式和推理演算，更有了它美輪美奐的另一面。正如曼德布羅特所言，“無邊的奇跡，源