2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)講義文蘇教版

§2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是

＝

(a>0，m，n∈N*，且n>1).正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定

＝

(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于

；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

.(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中s，t∈Q，a>0，b>0.知識(shí)梳理0沒有意義2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象定義域(1)___值域(2)__________(0，＋∞)R幾何畫板展示性質(zhì)(3)過定點(diǎn)_______(4)當(dāng)x>0時(shí)，

；當(dāng)x<0時(shí)，______(5)當(dāng)x>0時(shí)，

；當(dāng)x<0時(shí)，____(6)在(－∞，＋∞)上是_______(7)在(－∞，＋∞)上是_______(0，1)y>10<y<10<y<1y>1增函數(shù)減函數(shù)知識(shí)拓展1.指數(shù)函數(shù)圖象畫法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，(－1，).2.

指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(4)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù).(

)(5)函數(shù)y＝(a>1)的值域是(0，＋∞).(

)(6)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù).(

)××××××考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)若函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，)，則f(－1)＝____.答案解析2.(2016·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax－2＋2的圖象恒過定點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為________.由a0＝1知，當(dāng)x－2＝0，即x＝2時(shí)，f(2)＝3，即圖象必過定點(diǎn)(2，3).答案解析(2，3)3.已知

則a，b，c的大小關(guān)系是_______.答案解析c<b<a∴即a>b>1，∴c<b<a.2原式＝

×1＋

＝2.答案解析5.若函數(shù)y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________________.由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，得0<a2－1<1，答案解析題型分類深度剖析題型一指數(shù)冪的運(yùn)算例1化簡下列各式：(1) －

－π0；解答原式＝

(2)解答原式＝(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運(yùn)算的先后順序.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練1化簡

＝_____.答案解析原式＝2×＝21＋3×10－1＝.題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2已知f(x)＝|2x－1|.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解答因此函數(shù)f(x)在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增.(2)比較f(x＋1)與f(x)的大??；解答在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)、f(x＋1)的圖象如圖所示.由圖象知，當(dāng)

，即x0＝log2時(shí)，兩圖象相交，由圖象可知，當(dāng)x<log2時(shí)，f(x)>f(x＋1)；當(dāng)x＝log2時(shí)，f(x)＝f(x＋1)；當(dāng)x>log2時(shí)，f(x)<f(x＋1).幾何畫板展示(3)試確定函數(shù)g(x)＝f(x)－x2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解答將g(x)＝f(x)－x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與y＝x2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|和y＝x2的圖象(圖略)，有四個(gè)交點(diǎn)，故g(x)有四個(gè)零點(diǎn).(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除.(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)＝

設(shè)a>b≥0，若f(a)＝f(b)，則b·f(a)的取值范圍是________.答案解析函數(shù)的圖象如圖所示.因?yàn)閍>b≥0，f(a)＝f(b)，所以0.5≤b<1且1.5≤f(a)<2.所以0.75≤bf(a)<2.幾何畫板展示題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3

(1)(2016·徐州模擬)下列各式比較大小正確的是________.①1.72.5>1.73；

②0.6－1>0.62；③0.8－0.1>1.250.2；

④1.70.3<0.93.1.②中，∵y＝0.6x是減函數(shù)，∴0.6－1>0.62.答案解析②(2)設(shè)函數(shù)f(x) ＝若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.答案解析(－3，1)當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為()a－7<1，又a<0，∴－3<a<0.當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f(a)<1可化為<1.所以0≤a<1，所以a>－3.綜上，a的取值范圍為(－3，1).幾何畫板展示命題點(diǎn)2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例4

(1)已知函數(shù)f(x)＝(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是___________.答案解析令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間[，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－∞，]上單調(diào)遞減.而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有

≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4].(－∞，4](2)函數(shù)

的單調(diào)減區(qū)間為__________.答案解析(－∞，1]設(shè)u＝－x2＋2x＋1，∵y＝

u在R上為減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝

的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間.又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]，∴f(x)的減區(qū)間為(－∞，1].引申探究函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)增區(qū)間是__________.設(shè)t＝2x，則y＝t2－2t的單調(diào)增區(qū)間為[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，∴函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)增區(qū)間是[0，＋∞).答案解析[0，＋∞)命題點(diǎn)3函數(shù)的值域(或最值)例5

(1)函數(shù)y＝

＋1在區(qū)間[－3，2]上的值域是________.答案解析因?yàn)閤∈[－3，2]，(2)如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為______.答案解析令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以t∈[，a]，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在

上單調(diào)遞增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負(fù)值舍去).當(dāng)0<a<1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以t∈[a，]，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在[a，]上單調(diào)遞增，則ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(負(fù)值舍去).綜上，a＝3或a＝.(1)在利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)綜合問題時(shí)，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，要化歸于指數(shù)函數(shù)來解.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)＝

的值域是[－8，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.答案解析[－3，0)當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)∈[－8，1]，當(dāng)a≤x＜0時(shí)，f(x)∈[－()a，－1)，所以[－

，－1)

[－8，1]，即－8≤－

＜－1，即－3≤a＜0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3，0).幾何畫板展示1(2)(2015·福建)若函數(shù)f(x)＝2|x－a|(a∈R)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于____.答案解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的對(duì)稱軸為x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增區(qū)間為[1，＋∞)，∵[m，＋∞)?[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值為1.典例(2016·南京模擬)已知函數(shù)(a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1)在區(qū)間[，0]上有最大值3，最小值

，

則a，b的值分別為________.與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題，要對(duì)底數(shù)進(jìn)行討論.

指數(shù)函數(shù)底數(shù)的討論現(xiàn)場糾錯(cuò)系列2錯(cuò)解展示現(xiàn)場糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵－

≤x≤0，∴－1≤t≤0.答案2，2返回解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵x∈[－

，0]，∴t∈[－1，0].①若a>1，函數(shù)f(x)＝at在[－1，0]上為增函數(shù)，②若0<a<1，函數(shù)f(x)＝at在[－1，0]上為減函數(shù)，返回課時(shí)作業(yè)12345678910111213141.(2016·蘇州模擬)設(shè)2x＝8y＋1，9y＝3x－9，則x＋y的值為______.答案解析27∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.2.函數(shù)f(x)＝2|x－1|的圖象是______.答案解析②∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除③、④.又x＝1時(shí)，|f(x)|min＝1，排除①.12345678910111213143.已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，則a，b，c的大小關(guān)系為______.由0.2<0.8，底數(shù)0.4<1知，y＝0.4x在R上為減函數(shù)，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b，綜上，a>b>c.答案解析a>b>c12345678910111213144.函數(shù)y＝

的值域是_______.答案解析[0，4)1234567891011121314因?yàn)?x>0，所以16－4x<16.又因?yàn)?6－4x≥0，所以0≤16－4x<16，5.(2015·山東改編)若函數(shù)f(x)＝

是奇函數(shù)，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為_______.答案解析(0，1)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；當(dāng)x<0時(shí)，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，無解.∴x的取值范圍為(0，1).12345678910111213146.(2016·浙江改編)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)≥2x，x∈R.若f(a)≤2b，則a，b的大小關(guān)系為______.依題意得f(a)≥2a，若f(a)≤2b，則2a≤f(a)≤2b，∴2a≤2b，又y＝2x是R上的增函數(shù)，∴a≤b.答案解析a≤b12345678910111213147.(2016·鹽城模擬)不等式>()x＋4的解集為_________.答案解析(－1，4)1234567891011121314原不等式等價(jià)為>2－x－4，又函數(shù)y＝2x為增函數(shù)，∴－x2＋2x>－x－4，即x2－3x－4<0，∴－1<x<4.8.若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_______.(數(shù)形結(jié)合法)由圖象可知0<2a<1，∴0<a<.答案解析12345678910111213149.(2016·鎮(zhèn)江模擬)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝

，則此函數(shù)的值域?yàn)開________.答案解析∵y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，123456789101112131410.已知函數(shù)f(x)＝2ax＋2(a為常數(shù))，(1)求函數(shù)f(x)的定義域；函數(shù)f(x)＝2ax＋2對(duì)任意實(shí)數(shù)都有意義，所以定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.解答1234567891011121314(2)若a>0，試證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；任取x1，x2∈R，且x1<x2，由a>0，得ax1＋2<ax2＋2.因?yàn)閥＝2x在R上是增函數(shù)，所以有

，即f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).解答1234567891011121314(3)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)，x∈(－1，3]的值域.由(2)知，當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝2x＋2在(－1，3]上是增函數(shù).所以f(－1)<f(x)≤f(3)，即2<f(x)≤32.所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?2，32].解答123456789101112131411.已知函數(shù)f(x)＝()|x|－a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解答令t＝|x|－a，則f(x)＝()t，不論a取何值，t在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又y＝()t是單調(diào)遞減的，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0]，單調(diào)遞減區(qū)間是[0，＋∞).1234567891011121314(2)若f(x)的最大值等于

，求a的值.解答所以g(x)＝|x|－a應(yīng)該有最小值－2，即g(0)＝－2，從而a＝2.123456789101112131412.已知函數(shù)f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解答當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝

，令t＝－x2－4x＋3，由于函數(shù)t＝－x2－4x＋3在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝

t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2).1234567891011121314(2)若f(x)有最大值3，求a的值.解答令g(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝

g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值－1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值為1.1234567891011121314解答1234567891011121314*13.已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x∈[－3，0]的值域；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范圍.解答12345678910111213141234567891011121314關(guān)于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，設(shè)2x＝m>0，等價(jià)于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解.記g(m)＝2am2－m－1，當(dāng)