高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列本章整合課件新人教版A

本章整合第二章數(shù)列專題一專題二專題三專題四專題一

等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算在等差(或等比)數(shù)列中,首項(xiàng)a1與公差d(或公比q)是兩個(gè)基本量,一般的等差(或等比)數(shù)列的計(jì)算問題,都可以設(shè)出這兩個(gè)量求解.在等差數(shù)列中的五個(gè)量a1,d,n,an,Sn(或等比數(shù)列中的五個(gè)量a1,q,n,an,Sn)中,可通過列方程組的方法知三求二.專題一專題二專題三專題四應(yīng)用已知{an}為等差數(shù)列,且a3=-6,a6=0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n項(xiàng)和公式.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.∴an=-10+(n-1)·2=2n-12.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.∵b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,∴-8q=-24,即q=3.專題一專題二專題三專題四專題二

以數(shù)陣為背景的數(shù)列問題所謂數(shù)陣是指將某些數(shù),按一定的規(guī)律排成若干行和列,形成圖表,也稱之為數(shù)表.數(shù)陣不僅有正方形、三角形,還有長(zhǎng)方形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形,甚至幾種圖形的組合,變幻多樣、對(duì)稱性強(qiáng),很能吸引人.在我們平常解題中最常見的是前兩種.數(shù)陣中的數(shù)是按一定的規(guī)律排成若干行和列,比較多見的是排成等差數(shù)列或等比數(shù)列,它重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)其他類型的數(shù)列.解決此類問題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律,這就要求考生具有較強(qiáng)的觀察分析、歸納猜想以及對(duì)數(shù)列知識(shí)融合遷移的能力.下面看一下幾種題型.專題一專題二專題三專題四應(yīng)用1如圖所示的數(shù)陣,第n行最右邊的數(shù)是

.

解析:設(shè)第n行左邊第一個(gè)數(shù)為an,則a1=1,a2=3=a1+2×1,a3=7=a2+2×2,…,an=an-1+2(n-1),把這些式子左右兩邊分別相加,得an=n2-n+1.又每一行都是公差為2的等差數(shù)列,且第n行有n個(gè)數(shù),則第n行最右邊的數(shù)是(n2-n+1)+(n-1)×2=n2+n-1.答案:n2+n-1專題一專題二專題三專題四應(yīng)用2德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形(單位分?jǐn)?shù)是分子為1、分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù))稱為萊布尼茨三角形.根據(jù)前5行的規(guī)律,寫出第6行的數(shù)從左到右依次是

.

專題一專題二專題三專題四應(yīng)用3自然數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列,則2016是第

行第

個(gè)數(shù).

解析:設(shè)第n行最右邊的數(shù)即第n行第n個(gè)數(shù)是an,則a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,a5=15=1+2+3+4+5,…,an=1+2+3+…+n則2

016是第63行第63個(gè)數(shù).答案:63

63專題一專題二專題三專題四應(yīng)用4給定81個(gè)數(shù)排成數(shù)陣如圖所示,若每一行,每一列都構(gòu)成等差數(shù)列,且正中間一個(gè)數(shù)a55=5,則此數(shù)陣中所有數(shù)之和為

.

a11

a12

…

a19

a21

a22 … a29 … … … …

a91

a92 … a99專題一專題二專題三專題四解析:由于每一行都成等差數(shù)列,同理可得,a21+a22+…+a29=9a25,…,a91+a92+…+a99=9a95.又每一列都成等差數(shù)列,則此數(shù)陣中所有數(shù)之和S=(a11+a12+…+a19)+(a21+a22+…+a29)+…+(a91+a92+…+a99)=9(a15+a25+…+a95)=9(9a55)=81a55=81×5=405.答案:405專題一專題二專題三專題四專題三

數(shù)列的綜合問題數(shù)列是高中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容,它始終處在知識(shí)的交匯點(diǎn)上,如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識(shí)交匯進(jìn)行命題.另外,等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用也是高考的熱點(diǎn)之一,對(duì)公式的變形應(yīng)用是考查的重點(diǎn),一般多以解答題的形式考查,有時(shí)作為壓軸題,難度較大.專題一專題二專題三專題四應(yīng)用1已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q.依題意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8.專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四應(yīng)用2已知a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n=1,2,3,…(1)證明:數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列;(2)設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng);專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四專題四

數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,數(shù)列中含有豐富的數(shù)學(xué)思想,了解數(shù)學(xué)思想對(duì)我們的解題大有益處.1.函數(shù)思想數(shù)列是特殊的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列和處理數(shù)列問題,既有利于理解和掌握數(shù)列的基本概念和性質(zhì),又有利于解決問題,比如求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí),常轉(zhuǎn)化為求關(guān)于n的二次函數(shù)的最值或用數(shù)形結(jié)合或利用函數(shù)圖象來求值的方法.專題一專題二專題三專題四應(yīng)用1在等差數(shù)列{an}中,3a8=5a13,a1>0,若Sn為{an}的前n項(xiàng)和,則S1,S2,…,Sn中有沒有最大值?請(qǐng)說明理由.解∵3a8=5a13,a1>0,∴此等差數(shù)列不是常數(shù)列,∴其前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),我們可以利用配方法,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,故當(dāng)n=20時(shí),Sn最大,即該數(shù)列前20項(xiàng)之和最大.專題一專題二專題三專題四2.分類討論思想當(dāng)數(shù)列問題所給的對(duì)象不宜進(jìn)行統(tǒng)一研究或推理時(shí),需通過分類討論解決,如運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí),需對(duì)q分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論;an與Sn的關(guān)系需分n=1和n≥2兩種情況討論;等差數(shù)列的單調(diào)性需分d>0,d=0和d<0三種情況討論;等比數(shù)列的單調(diào)性就要分二重討論,在a1>0(或a1<0)的條件下,再分q>1,q=1,0<q<1,q<0四種情況討論.專題一專題二專題三專題四應(yīng)用2數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.又S1=a1=1,∴數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,Sn=3n-1(n∈N*).當(dāng)n≥2時(shí),an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2),專題一專題二專題三專題四(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當(dāng)n=1時(shí),T1=1;當(dāng)n≥2時(shí),Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,②①-②,得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1專題一專題二專題三專題四3.化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想就是把待解決的問題或未知解的問題轉(zhuǎn)化歸納為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)列中一些很復(fù)雜的問題往往可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決.專題一專題二專題三專題四應(yīng)用3已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=4an+2(n∈N*),求{an}的通項(xiàng)公式.解當(dāng)n≥2時(shí),Sn+1=4an+2,Sn=4an-1+2.兩式相減,得an+1=Sn+1-Sn=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1),可見數(shù)列{an+1-2an}是公比為2的等比數(shù)列.又a1+a2=S2=4a1+2,a1=1,得a2=5,則a2-2a1=3.因此an+1-2an=3·2n-1.123456789101112131(2015·課標(biāo)全國Ⅰ高考)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=(

).答案:B123456789101112132(2015·課標(biāo)全國Ⅱ高考)已知等比數(shù)列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(

).A.21 B.42 C.63 D.84答案:B123456789101112133(2015·課標(biāo)全國Ⅱ高考)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=(

).A.5 B.7 C.9 D.11答案:A12345678910111213答案:C123456789101112135(2016·北京高考)已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=

.

解析:∵{an}是等差數(shù)列,∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0.∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2.∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.答案:6123456789101112136(2016·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=

,S5=

.

解析:由題意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因?yàn)閍2=3a1,所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.答案:1

12112345678910111213解析:由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3?d=3,a9=2+3×6=20.答案:20123456789101112138(2016·上海高考)無窮數(shù)列{an}由k個(gè)不同的數(shù)組成,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n∈N*,Sn∈{2,3},則k的最大值為

.

解析:由于對(duì)任意n∈N*,Sn∈{2,3},所以當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2或a1=S1=3.即數(shù)列{an}的首項(xiàng)是2或3.當(dāng)n≥2時(shí),由an=Sn-Sn-1及題意知有下列幾種情況:①an=2-2=0,②an=3-3=0,③an=3-2=1,④an=2-3=-1.由上可知組成這個(gè)數(shù)列{an}的數(shù)為-1,1,0,2,3這5個(gè)數(shù)或只有這5個(gè)數(shù)中的一部分.12345678910111213下面說明2和3不能同時(shí)出現(xiàn)在{an}中.當(dāng)a1=2時(shí),假設(shè)an=3,n≥2,則Sn=an+Sn-1=3+Sn-1,由于Sn-1∈{2,3},所以Sn?{2,3},不符合題意,同理,a1=3時(shí),{an}中也不會(huì)出現(xiàn)2.所以{an}中只可能出現(xiàn)-1,1,0,2或-1,1,0,3,故k的最大值為4.答案:4123456789101112139(2015·課標(biāo)全國Ⅰ高考)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=126,則n=

.

∴{an}是以2為公比的等比數(shù)列.又a1=2,∴2n=64,∴n=6.答案:61234567891011121310(2016·全國甲高考)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,S7=28.記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和