高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1課件新人教版A

§2.5

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)第二章數(shù)列1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路.2.會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．

學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)對(duì)于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的兩邊可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，對(duì)這兩個(gè)式子作怎樣的運(yùn)算能解出S64?答案設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，前n項(xiàng)和Sn可用下面的“錯(cuò)位相減法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①則qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.梳理當(dāng)q＝1時(shí)，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.結(jié)合通項(xiàng)公式可得：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用思考

答案要求等比數(shù)列前8項(xiàng)的和：(1)若已知其前三項(xiàng)，用哪個(gè)公式比較合適？答案(2)若已知a1，a9，q的值．用哪個(gè)公式比較合適？梳理一般地，使用等比數(shù)列求和公式時(shí)需注意：(1)一定不要忽略q＝1的情況；(3)在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)．題型探究命題角度1前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用例1

求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和：類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用

解答

解答求等比數(shù)列前n項(xiàng)和，要確定首項(xiàng)、公比或首項(xiàng)、末項(xiàng)、公比，應(yīng)特別注意q＝1是否成立．反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝___；前n項(xiàng)和Sn＝________.

設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.22n＋1－2答案解析命題角度2通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用例2在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.

由題意，得若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意．此時(shí)，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解答解得q＝－2.此時(shí)，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.綜上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.(1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．(2)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)公式．當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

在等比數(shù)列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.解答

方法二若q＝1，則S3∶S2＝3∶2，而事實(shí)上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.

類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用例3

借貸10000元，月利率為1%，每月以復(fù)利計(jì)息，王老師從借貸后第二個(gè)月開始等額還貸，分6個(gè)月付清，試問(wèn)每月應(yīng)支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051，精確到整數(shù))解答方法一設(shè)每個(gè)月還貸a元，第1個(gè)月后欠款為a0元，以后第n個(gè)月還貸a元后，還剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N*)，則a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由題意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，

故每月應(yīng)支付1739元．

方法二一方面，借款10000元，將此借款以相同的條件存儲(chǔ)6個(gè)月，則它的本利和為S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)，另一方面，設(shè)每個(gè)月還貸a元，分6個(gè)月還清，到貸款還清時(shí)，其本利和為S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a故每月應(yīng)支付1739元．反思與感悟解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，所謂復(fù)利計(jì)息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．跟蹤訓(xùn)練3

一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎？解答

用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，故這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過(guò)125m.當(dāng)堂訓(xùn)練1.等比數(shù)列1，x，x2，x3，…的前n項(xiàng)和Sn等于答案解析

當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝n；1234√

1234答案解析√3.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，若a1＝81，a5＝16，則它的前5項(xiàng)的和是A.179 B.211C.243 D.275

1234答案解析√4.某廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長(zhǎng)10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為___________.去年產(chǎn)值為a，今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).1234答案解析11a(1.15－1)規(guī)律與方法1.在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”.2.