2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十四章選考部分14.1幾何證明選講第二課時圓的進一步認(rèn)識講義理蘇教版

§14.1

幾何證明選講第2課時圓的進一步認(rèn)識基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.圓周角與圓心角定理(1)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于

.(2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對弧的度數(shù)的

.推論1：同弧(或等弧)所對的圓周角

.同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角等于

.反之，90°的圓周角所對的弧為半圓(或弦為直徑).知識梳理其所對弧的度數(shù)一半相等90°2.圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的

.(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的

.推論1：經(jīng)過圓心且與切線垂直的直線必經(jīng)過

.推論2：經(jīng)過切點且與切線垂直的直線必經(jīng)過

.3.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，切線長

.4.弦切角定理弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的

.切線半徑切點圓心相等度數(shù)的一半5.與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB，CD相交于圓內(nèi)點P(1)PA·PB＝

；(2)△ACP∽______(1)在PA，PB，PC，PD四線段中知三求一；(2)求弦長及角割線定理PAB，PCD是⊙O的割線(1)PA·PB＝

；(2)△PAC∽_______(1)求線段PA，PB，PC，PD；(2)應(yīng)用相似求AC，BDPC·PD△BDPPC·PD△PDB切割線定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線(1)PA2＝

；(2)△PAB∽_____(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切線長定理PA，PB是⊙O的切線(1)PA＝

；(2)∠OPA＝_____(1)證明線段相等，已知PA求PB；(2)求角PB·PC△PCAPB∠OPB6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角

.(2)判定定理：如果四邊形的對角互補，則此四邊形內(nèi)接于圓.互補考點自測1.(2016·南通二模)如圖，從圓O外一點P引圓的切線PC及割線PAB，C為切點.求證：AP·BC＝AC·CP.證明因為PC為圓O的切線，所以∠PCA＝∠PBC，又∠CPA＝∠BPC，故△CAP∽△BCP，2.(2015·重慶)如圖，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的長.首先由切割線定理得PA2＝PC·PD，CD＝PD－PC＝9，又CE∶ED＝2∶1，因此CE＝6，ED＝3，解答3.(2017·揚州質(zhì)檢)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若AC＝2AE，求EF的長.∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，解答4.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，求DE的長.解答在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∵CD為切線，∴∠BCD＝∠A＝60°.由切割線定理得DC2＝DE·DB，∴DE＝5.題型分類深度剖析題型一圓周角、弦切角和圓的切線問題例1

(2016·全國乙卷)如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O(shè)為圓心，

OA為半徑作圓.(1)證明：直線AB與⊙O相切；證明設(shè)E是AB的中點，連結(jié)OE.因為OA＝OB，∠AOB＝120°，所以O(shè)E⊥AB，∠AOE＝60°，在Rt△AOE中，OE＝

AO，即O到直線AB的距離等于⊙O的半徑，所以直線AB與⊙O相切.(2)點C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點共圓，證明：AB∥CD.證明因為OA＝2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點所在圓的圓心.設(shè)O′是A，B，C，D四點所在圓的圓心，作直線OO′.由已知得O在線段AB的垂直平分線上，又O′在線段AB的垂直平分線上，所以O(shè)O′⊥AB.同理可證，OO′⊥CD，所以AB∥CD.(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小.(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2016·無錫模擬)如圖所示，⊙O的兩條切線PA和PB相交于點P，與⊙O相切于A，B兩點，C是⊙O上的一點，若∠P＝70°，求∠ACB的大小.解答如圖所示，連結(jié)OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB.(2)如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，且滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，求PA的長.解答如圖，連結(jié)OA，由圓周角定理知∠AOC＝60°，題型二四點共圓問題例2

如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點.證明(1)證明：A，P，O，M四點共圓；如圖，連結(jié)OP，OM，因為AP與⊙O相切于點P，所以O(shè)P⊥AP，因為M是⊙O的弦BC的中點，所以O(shè)M⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓.(2)求∠OAM＋∠APM的大小.由(1)得，A，P，O，M四點共圓，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因為圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.解答(1)如果四點與一定點距離相等，那么這四點共圓.(2)如果四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓.(3)如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓.思維升華證明跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；由題設(shè)知，A，B，C，D四點共圓，所以∠D＝∠CBE，由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.證明(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形.如圖，設(shè)BC的中點為N，連結(jié)MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故點O在直線MN上.又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形.題型三與圓有關(guān)的比例線段例3

(2015·陜西)如圖，AB切⊙O于點B，直線AO

交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C.(1)證明：∠CBD＝∠DBA；因為DE為⊙O的直徑，則∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，從而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于點B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.證明(2)若AD＝3DC，BC＝

，求⊙O的直徑.解答由(1)知BD平分∠CBA，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3.(1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等.(2)相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明.解決問題時要注意相似三角形知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝

，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE與圓相切，求線段CE的長.解答由相交弦定理得AF·FB＝DF·CF，由于AF＝2FB，可解得FB＝1，(2)(2014·湖北)如圖，P為⊙O外一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為A，B.過PA的中點Q作割線交⊙O于C，D兩點.若QC＝1，CD＝3，求PB的長.解答由切割線定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2.由切線長定理得PB＝PA＝2QA＝4.課時作業(yè)1.(2015·江蘇)如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D.證明求證：△ABD∽△AEB.因為AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE為公共角，可知△ABD∽△AEB.123456789102.(2017·蘇北四校聯(lián)考)如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點.證明：∠OCB＝∠D.證明12345678910因為B，C是圓O上的兩點，所以O(shè)B＝OC.故∠OCB＝∠B.又因為C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點，故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.123456789103.(2015·湖南)如圖，在⊙O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：∠MEN＋∠NOM＝180°.證明12345678910如圖所示，因為M，N分別是弦AB，CD的中點，所以O(shè)M⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四邊形的內(nèi)角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.123456789104.如圖，AB是圓O的直徑，直線CE與圓O相切于點C，AD⊥CE于點D，若圓O的面積為4π，∠ABC＝30°，求AD的長.解答由題意可知圓O的半徑為2，在Rt△ABC中，123456789105.(2016·蘇錫常鎮(zhèn)四市聯(lián)考)如圖，已知CB是⊙O的一條弦，A是⊙O上異于B，C的任意一點，過點A作⊙O的切線交直線CB于點P，D為⊙O上一點，且∠ABD＝∠ABP.求證：AB2＝BP·BD.證明12345678910∵AP與⊙O相切于點A，AB為⊙O的弦，∴∠ADB＝∠PAB，又在△DBA和△ABP中，∠DBA＝∠ABP，123456789106.(2016·南京、鹽城聯(lián)考)如圖，過⊙O外一點P作⊙O的切線PA，切點為A，連結(jié)OP與⊙O交于點C，過C作AP的垂線，垂足為D，若PA＝12cm，PC＝6cm，求CD的長.解答12345678910設(shè)⊙O的半徑為r，由切割線定理得AP2＝PC·(PC＋2r)，即122＝6×(6＋2r)，解得r＝9.連結(jié)OA，則有OA⊥AP.又CD⊥AP，所以O(shè)A∥CD.123456789107.(2016·蘇州模擬)如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，分別延長AB，CD相交于點M，點N在⊙O上，AN＝AC.證明：∠MDN＝2∠ACO.證明12345678910如圖，連結(jié)ON，因為AN＝AC，ON＝OC，OA是公共邊，所以△ANO≌△ACO，故∠OAC＝∠OAN.又∠OAC＝∠ACO，所以∠NAC＝∠OAC＋∠OAN＝∠ACO＋∠OAC＝2∠ACO.因為A，C，D，N四點共圓，所以∠MDN＝∠NAC，所以∠MDN＝2∠ACO.123456789108.(2016·徐州模擬)如圖，PA是圓O的切線，切點為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB＝1，求圓O的半徑R.解答12345678910由切割線定理可得PA2＝PB·PC，所以BC＝PC－PB＝3，因為AC是圓O的直徑，所以∠ABC＝90°，所以AB2＝BC·BP＝3，所以AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，123456789109.如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求線段CF的長.解答12345678910設(shè)EB＝x，則ED＝x＋5，由切割線定理