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文檔簡介
第三節(jié)合情推理與演繹推理總綱目錄教材研讀1.合情推理考點突破2.演繹推理考點二歸納推理
考點一類比推理
考點三演繹推理教材研讀1.合情推理類型定義特點歸納推理根據(jù)一類事物的①
部分
對象具有某種性質(zhì),推出這類事物的②
全部
對象都具有這種性質(zhì)的推理由③
部分
到④
整體
、由⑤
個別
到⑥
一般
類比推理根據(jù)兩類事物之間具有某些類似(一致)性,推測一類事物具有另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理由⑦
特殊
到⑧
特殊
2.演繹推理(1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理稱為
演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:(i)大前提——已知的一般原理;(ii)小前提——所研究的特殊情況;(iii)結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況作出的判斷.1.下面幾種推理是合情推理的是
()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì);②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°,歸納出所
有三角形的內(nèi)角和都是180°;③某次考試張軍成績是100分,由此推出全班同學成績都是100分;④三角形的內(nèi)角和是180°,四邊形的內(nèi)角和是360°,五邊形的內(nèi)角和是540°,由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°.A.①②
B.①③
C.①②④
D.②④C答案
C①是類比推理,②④是歸納推理,③是非合情推理.2.“因為指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)是增函數(shù)(大前提),又y=
是指數(shù)函數(shù)(小前提),所以函數(shù)y=
是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯誤在于
()A.大前提錯誤導致結(jié)論錯B.小前提錯誤導致結(jié)論錯C.推理形式錯誤導致結(jié)論錯D.大前提和小前提錯誤導致結(jié)論錯A答案
A當a>1時,y=ax為增函數(shù);當0<a<1時,y=ax為減函數(shù),故大前提
錯誤.B3.(2017北京朝陽期末,8)某校高三(1)班32名學生全部參加跳遠和擲實
心球兩項體育測試,跳遠和擲實心球兩項測試成績合格的分別為26人和
23人,這兩項成績都不合格的有3人,則這兩項成績都合格的人數(shù)是
()A.23
B.20
C.21
D.19B答案
B設(shè)跳遠和擲實心球測試都合格的為x人,則26+23-x+3=32,解
得x=20,所以選B.B4.(2017北京東城二模,8)據(jù)統(tǒng)計,某超市兩種蔬菜A和B連續(xù)n天的價格分
別為a1,a2,a3,…,an和b1,b2,b3,…,bn,令M={m|am<bm,m=1,2,…,n},若M中的元
素個數(shù)大于
n,則稱蔬菜A在這n天的價格低于蔬菜B的價格,記作A?B,現(xiàn)有三種蔬菜A,B,C,下列說法正確的是
()A.若A?B,B?C,則A?CB.若A?B,B?C同時不成立,則A?C不成立C.A?B,B?A可同時不成立D.A?B,B?A可同時成立C答案
C若M中的元素個數(shù)大于
n且小于
n,則A?B,B?A可同時不成立.故選C.B5.觀察下列不等式:1+
<
,1+
+
<
,1+
+
+
<
,……照此規(guī)律,第五個不等式為1+
+
+
+
+
<
.答案1+
+
+
+
+
<
解析先觀察左邊,第一個不等式為2項相加,第二個不等式為3項相加,
第三個不等式為4項相加,則第五個不等式應為6項相加,右邊分子為分
母的2倍減1,分母即為所對應項數(shù),故應填1+
+
+
+
+
<
.考點一類比推理考點突破典例1(1)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實數(shù)集,C為
復數(shù)集):①由“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;②由“若a,b,c,d∈R,則復數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d
∈Q,則a+b
=c+d
?a=c,b=d”;③由“若a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”;④由“若x∈R,則|x|<1?-1<x<1”類比推出“若z∈C,則|z|<1?-1<z<1”.其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是
()A.1
B.2
C.3
D.4(2)在平面幾何中,△ABC的∠C的平分線CE分AB所成的線段的比為
=
(如圖1).把這個結(jié)論類比到空間,在三棱錐A-BCD中(如圖2),面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E,則類比得到的結(jié)論是
.
答案(1)B(2)
=
解析(1)類比結(jié)論正確的只有①②.(2)由平面中線段的比類比空間中面積的比可得
=
.易錯警示在進行類比推理時,不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比,且要
注意以下兩點:(1)找兩類對象的對應元素,如:三角形對應三棱錐,圓對應
球,面積對應體積;(2)找對應元素的對應關(guān)系,如:兩條邊(直線)垂直對應
線面垂直或面面垂直,邊相等對應面積相等.1-1把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形,則矩形的對
角線長即為直角三角形外接圓直徑,以此可求得外接圓半徑r=
(其中a,b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側(cè)棱長分別為
a,b,c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R=
.答案
解析由平面類比到空間,把矩形類比為長方體,從而可得出外接球半
徑.考點二歸納推理命題方向一與數(shù)字有關(guān)的推理典例2觀察下列等式:1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規(guī)律,第n個等式為
.
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
答案
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
解析由前4個等式可知,第n個等式的左邊第一個數(shù)為n,且連續(xù)2n-1個
整數(shù)相加,右邊為(2n-1)2,故第n個等式為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.命題方向二與式子有關(guān)的推理典例3觀察下列等式:
+
=
×1×2;
+
+
+
=
×2×3;
+
+
+…+
=
×3×4;
+
+
+…+
=
×4×5;……照此規(guī)律,
+
+
+…+
=
n(n+1)
.答案
n(n+1)解析通過觀察已給出等式的特點,可知等式右邊的
是個固定數(shù),
后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個括號內(nèi)分數(shù)的分子中π的系數(shù)的一半,
后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù),所以所求結(jié)果為
·n·(n+1),即
n(n+1).命題方向三與圖形變化有關(guān)的推理典例4蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似地
看作一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢,
第二個圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以f(n)表示第n個圖
蜂巢總數(shù).
則f(4)=
37
,f(n)=3n2-3n+1
.答案37;3n2-3n+1解析因為f(1)=1,f(2)=7=1+6,f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.規(guī)律總結(jié)(1)歸納推理的一般步驟:①通過對某些個體的觀察、分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化規(guī)
律;②由發(fā)現(xiàn)的相同性質(zhì)或變化規(guī)律推出一個明確表達的一般性命題.(2)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推出一般現(xiàn)象,因而由歸納所得的結(jié)論超越了
前提所包含的范圍.(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確,有待進一步證明,但對數(shù)學結(jié)論和科學
的發(fā)現(xiàn)很有用.2-1有一個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下:1371321
…591523
…
…111725
…
…
…1927
…
…
…
…29
…
…
…
…
……
…
…
…
…
…則第30行從左到右第3個數(shù)是1051
.答案1051解析觀察每一行的第一個數(shù),由歸納推理可得第30行的第1個數(shù)是1+
4+6+8+10+…+60=
-1=929.又第n行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大2n,第3個數(shù)比第2個數(shù)大2n+2,所以第30行從左到右的第2個數(shù)比
第1個數(shù)大60,第3個數(shù)比第2個數(shù)大62,故第30行從左到右第3個數(shù)是929+60+62=1051.2-2已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+
≥2,x+
=
+
+
≥3,x+
=
+
+
+
≥4,……,歸納得x+
≥n+1(n∈N*),則a=
.答案
nn
解析第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,
此時a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.nnB考點三演繹推理典例5數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=
Sn(n=1,2,3,…).求證:(1)數(shù)列
是等比數(shù)列;(2)Sn+1=4an.證明(1)因為an+1=Sn+1-Sn,an+1=
Sn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn,所以
=2·
,又∵
≠0,∴
≠0,∴
÷
=2.
(小前提)故
是以2為公比的等比數(shù)列.
(結(jié)論)(2)由(1)知
=4·
(n≥2),于是Sn+1=4(n+1)·
=4·
·Sn-1=4an(n≥2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此對于任意正整數(shù)n≥1,都有Sn+1=4an.方法技巧(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應用三段論
解決問題時,應當首先明確什么是大前提和小前提,如果大前提是顯然
的,則可以省略,本題中,等比數(shù)列的定義在解題中是大前提,由于它是顯
然的,因此省略不寫.(2)在推理論證過程中,一些稍復雜一點的證明題常常要利用幾個三段
論才能完成.3-1已知函數(shù)f(x)=
(x∈R).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)判斷
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