《函數(shù)極限說》課件

《函數(shù)極限說》函數(shù)極限的定義1定義當(dāng)自變量x趨近于某個值a時，函數(shù)值f(x)無限接近于某個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨近于a時的極限2符號lim(x→a)f(x)=A3條件該定義意味著無論x有多接近a，只要x不等于a，f(x)的值都可以無限接近A函數(shù)極限的幾何解釋函數(shù)極限的幾何解釋是指當(dāng)自變量無限接近某一點時，函數(shù)值無限接近一個定值。具體而言，當(dāng)自變量x無限接近a時，函數(shù)f(x)無限接近L，則稱L為函數(shù)f(x)在x=a處的極限，記為limx->af(x)=L。從圖形上來看，可以將x=a點視為函數(shù)圖像上的一個點，而L則代表該點在y軸上的投影。當(dāng)x無限接近a時，函數(shù)圖像上的點無限接近該點，而其在y軸上的投影也無限接近L。函數(shù)極限的代數(shù)性質(zhì)和的極限如果函數(shù)f(x)和g(x)在x趨近于a時分別存在極限A和B，則函數(shù)f(x)+g(x)在x趨近于a時也存在極限，且極限值為A+B。積的極限如果函數(shù)f(x)和g(x)在x趨近于a時分別存在極限A和B，則函數(shù)f(x)g(x)在x趨近于a時也存在極限，且極限值為A*B。商的極限如果函數(shù)f(x)和g(x)在x趨近于a時分別存在極限A和B，且B≠0，則函數(shù)f(x)/g(x)在x趨近于a時也存在極限，且極限值為A/B。函數(shù)極限的運算規(guī)則加法lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)減法lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)乘法lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)除法lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x),其中l(wèi)img(x)≠0單側(cè)極限與雙側(cè)極限左極限當(dāng)自變量x從左側(cè)無限接近a時，函數(shù)f(x)無限接近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于a時的左極限，記作limx→a-f(x)=A右極限當(dāng)自變量x從右側(cè)無限接近a時，函數(shù)f(x)無限接近于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于a時的右極限，記作limx→a+f(x)=A極限的存在條件左極限等于右極限當(dāng)函數(shù)在某點處左右極限都存在，且相等時，該點的極限才存在。函數(shù)有界如果函數(shù)在某點附近有界，則該點的極限可能存在。無窮小量及其性質(zhì)無窮小量是指當(dāng)自變量趨于某一極限值時，函數(shù)的值也趨于零的量。兩個無窮小量的和仍為無窮小量。無窮小量與有界量的積仍為無窮小量。等價無窮小替換定義當(dāng)自變量趨近于某個值時，兩個無窮小量之比的極限為1，則稱這兩個無窮小量是等價無窮小量。應(yīng)用等價無窮小替換可以簡化極限計算，尤其在涉及復(fù)雜函數(shù)或表達式時。洛必達法則條件當(dāng)兩個函數(shù)的極限都趨向于零或無窮大時，可以使用洛必達法則。步驟對兩個函數(shù)分別求導(dǎo)，然后計算導(dǎo)函數(shù)的極限。應(yīng)用洛必達法則可以簡化極限的計算，特別是在遇到無法直接計算的極限時。自然對數(shù)的底e自然對數(shù)的底e是無理數(shù)，約為2.71828。它是一個非常重要的數(shù)學(xué)常數(shù)，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。函數(shù)連續(xù)性的定義連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)，函數(shù)圖像沒有間斷，也就是說，沒有跳躍、斷裂或孔洞。不連續(xù)函數(shù)函數(shù)圖像存在間斷，例如跳躍、斷裂或孔洞。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可加性若f(x)和g(x)在點x0處連續(xù)，則f(x)+g(x)在點x0處連續(xù)。可乘性若f(x)和g(x)在點x0處連續(xù)，則f(x)g(x)在點x0處連續(xù)?？沙匀鬴(x)在點x0處連續(xù)，且g(x)在點x0處連續(xù)且g(x0)≠0，則f(x)/g(x)在點x0處連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的運算規(guī)則1和差積商兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是連續(xù)函數(shù)。2復(fù)合函數(shù)若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)，g(x)在點f(x0)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)g[f(x)]在點x0連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大值最小值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得最大值和最小值。介值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在該區(qū)間上取遍介于函數(shù)值之間的所有值。零點定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且函數(shù)在區(qū)間兩端點的函數(shù)值異號，則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點。函數(shù)的間斷點定義如果一個函數(shù)在某點處不連續(xù)，則該點稱為函數(shù)的間斷點。分類間斷點可以分為三類：可去間斷點、跳躍間斷點和無窮間斷點。判定通過觀察函數(shù)在間斷點附近的左右極限和函數(shù)值來判斷間斷點的類型。間斷點的分類可去間斷點函數(shù)在該點存在極限，但函數(shù)值不存在或不等于極限值。跳躍間斷點函數(shù)在該點的左右極限存在，但左右極限不相等。無窮間斷點函數(shù)在該點的左右極限至少有一個為無窮大，或者左右極限不存在。間斷點的判定1極限不存在如果函數(shù)在某一點的左右極限不相等，則該點為間斷點。2極限存在但不等于函數(shù)值如果函數(shù)在某一點的極限存在，但函數(shù)值不存在或不等于極限值，則該點為間斷點。3函數(shù)值不存在如果函數(shù)在某一點的函數(shù)值不存在，則該點為間斷點。函數(shù)的一致連續(xù)性定義對于任意小的正數(shù)ε，存在一個正數(shù)δ，使得對于定義域內(nèi)的任意兩個點x1和x2，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε。直觀解釋函數(shù)在整個定義域內(nèi)，其圖形的變化程度是有限的，不會出現(xiàn)局部劇烈的波動。重要性一致連續(xù)性保證了函數(shù)在整個定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及函數(shù)的圖形在整體上的平滑性。一致連續(xù)性的判定1柯西判別法如果對于任意小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x1,x2∈[a,b]且|x1-x2|<δ時，有|f(x1)-f(x2)|<ε，則函數(shù)f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。2閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)的。反函數(shù)的連續(xù)性如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)的并且連續(xù)的，那么它的反函數(shù)在其定義域內(nèi)也是連續(xù)的。反函數(shù)的連續(xù)性可以通過反函數(shù)的圖形來直觀地理解。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，函數(shù)g(y)在點y0=f(x0)處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)g[f(x)]在點x0處也連續(xù)。隱函數(shù)的存在定理函數(shù)圖像隱函數(shù)的存在定理指出，如果一個方程在某個點附近滿足一定條件，那么該方程可以定義一個隱函數(shù)，該函數(shù)的圖像就是方程的解集.偏導(dǎo)數(shù)圖像該定理的關(guān)鍵條件是該方程在該點處的偏導(dǎo)數(shù)不全為零，這意味著該方程在該點處的切平面不垂直于任何一個坐標(biāo)軸.函數(shù)的分類按定義域分類可以分為單值函數(shù)、多值函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)函數(shù)等。按表達式分類可以分為代數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)、分段函數(shù)等。按性質(zhì)分類可以分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)、單調(diào)函數(shù)等。多元函數(shù)的極限定義當(dāng)自變量趨于某個點時，函數(shù)值無限接近于某個常數(shù)，則稱該常數(shù)為函數(shù)在該點的極限.幾何解釋多元函數(shù)的極限可以理解為函數(shù)圖像在自變量趨于某個點時，高度無限接近于某個常數(shù).多元函數(shù)的連續(xù)性定義如果一個多元函數(shù)在某個點處的極限存在且等于該點處的函數(shù)值，則稱該函數(shù)在該點處連續(xù).幾何解釋函數(shù)圖像在該點處沒有“斷裂”或“跳躍”判斷方法判斷函數(shù)在某點是否連續(xù)，需要分別檢查函數(shù)在該點處的極限和函數(shù)值是否相等偏導(dǎo)數(shù)的定義定義多元函數(shù)在一點沿著某個坐標(biāo)軸方向的變化率稱為該點關(guān)于該坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)。符號設(shè)多元函數(shù)為z=f(x,y)，則在點(x0,y0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)記為?z/?x或?f/?x，關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)記為?z/?y或?f/?y。計算計算偏導(dǎo)數(shù)時，將其他變量視為常數(shù)，然后按照一元函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)則進行計算。全微分的概念定義函數(shù)在某點處沿著某個方向的變化量可以用全微分來表示.當(dāng)函數(shù)在某點處可微分時,其在該點的全微分就是該函數(shù)在該點處沿著任意方向的變化量的線性近似.公式設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微分,則其全微分dz為:d