《函數(shù)極限的定義》課件

函數(shù)極限的定義本節(jié)課我們將介紹函數(shù)極限的概念，學(xué)習(xí)如何判斷函數(shù)的極限是否存在，以及如何求解函數(shù)的極限值。函數(shù)極限的直觀理解逼近過程函數(shù)值隨著自變量趨向于某一特定值，逐漸靠近某個(gè)特定數(shù)值，就像一輛汽車逐漸駛近目的地。極限值當(dāng)自變量無限接近某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值無限接近的這個(gè)數(shù)值，就像登山者最終到達(dá)山頂，這就是函數(shù)的極限值。極限的形式化定義定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)-A|<ε成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0時(shí)的極限，記作limx→x0f(x)=A。符號(hào)解釋?lim:極限的意思?x→x0:x趨近于x0?f(x):函數(shù)?A:極限值極限定義的必要性精確表達(dá)極限定義提供了精確的語言來描述函數(shù)在某一點(diǎn)附近的趨向性，避免了直觀理解的模糊性。嚴(yán)格證明通過極限定義，我們可以嚴(yán)格證明與極限相關(guān)的各種定理和性質(zhì)，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)研究奠定基礎(chǔ)。深入研究極限定義是微積分的基礎(chǔ)，它為我們打開了通往微積分、分析學(xué)等更深層次數(shù)學(xué)領(lǐng)域的大門。極限存在的充要條件1函數(shù)定義域函數(shù)在點(diǎn)x附近有定義.2左右極限在點(diǎn)x的左右兩側(cè)，函數(shù)的極限都存在且相等.極限性質(zhì)介紹1常數(shù)的極限常數(shù)的極限等于它本身2極限的唯一性如果函數(shù)的極限存在，則該極限是唯一的3極限的線性性質(zhì)兩個(gè)函數(shù)的極限之和等于它們極限的和4極限的乘積性質(zhì)兩個(gè)函數(shù)的極限之積等于它們極限的積左右極限的概念左極限:當(dāng)自變量x從左側(cè)無限接近a時(shí)，函數(shù)f(x)無限接近某個(gè)常數(shù)A，則稱A為f(x)當(dāng)x趨近于a時(shí)的左極限，記作lim_(x→a-)f(x)=A右極限:當(dāng)自變量x從右側(cè)無限接近a時(shí)，函數(shù)f(x)無限接近某個(gè)常數(shù)B，則稱B為f(x)當(dāng)x趨近于a時(shí)的右極限，記作lim_(x→a+)f(x)=B左右極限的存在性極限存在的條件左右極限存在，且相等，則極限存在。極限不存在的條件左右極限存在，但不相等，則極限不存在。極限可能不存在的條件左右極限其中之一或兩者都不存在，則極限可能不存在。極限存在的必要條件1唯一性如果極限存在，它必須是唯一的。2左右極限相等如果極限存在，那么左右極限必須相等。3函數(shù)有界在極限點(diǎn)附近，函數(shù)必須有界。一側(cè)極限不存在的情況當(dāng)函數(shù)在自變量趨近于某一點(diǎn)時(shí)，其函數(shù)值在該點(diǎn)的一側(cè)趨于無窮大或無窮小，而另一側(cè)趨于有限值或無窮大時(shí)，則該點(diǎn)的一側(cè)極限不存在。例如，函數(shù)f(x)=1/x在x趨近于0的右側(cè)時(shí)，其函數(shù)值趨于無窮大，而x趨近于0的左側(cè)時(shí)，其函數(shù)值趨于負(fù)無窮大，因此，f(x)在x=0處的右側(cè)極限不存在。無窮大量的概念無限增大當(dāng)自變量趨于某個(gè)值或無窮大時(shí)，函數(shù)的值也無限增大，稱為無窮大量。無限減小當(dāng)自變量趨于某個(gè)值或無窮大時(shí)，函數(shù)的值也無限減小，稱為無窮大量。一側(cè)極限不存在的判斷1無窮大當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)值趨于無窮大，則該側(cè)極限不存在。2振蕩當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)值在有限范圍內(nèi)振蕩，則該側(cè)極限不存在。3間斷點(diǎn)當(dāng)x趨近于a時(shí)，函數(shù)值在a點(diǎn)存在跳躍，則該側(cè)極限不存在。兩側(cè)極限不存在的情況如果函數(shù)在一點(diǎn)的左右極限不相等，或者其中一個(gè)極限不存在，那么該點(diǎn)的函數(shù)極限也不存在。例如，函數(shù)f(x)=1/x在x=0處，左極限為負(fù)無窮，右極限為正無窮，因此該點(diǎn)函數(shù)極限不存在。極限存在的充要條件總結(jié)左右極限相等當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)x的左右極限都存在且相等時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)x處存在極限極限不存在當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)x的左右極限不存在或存在但不相等時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)x處不存在極限極限定義的應(yīng)用函數(shù)連續(xù)性利用極限定義可以判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù).導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)的概念本質(zhì)上是函數(shù)在某一點(diǎn)的極限.積分定義積分的概念可以通過極限來定義,將曲線下的面積分割成無數(shù)個(gè)小矩形.利用極限定義求極限1步驟1確定函數(shù)和極限點(diǎn)，并設(shè)置ε>0.2步驟2根據(jù)極限定義，找到δ>0使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，|f(x)-L|<ε成立.3步驟3驗(yàn)證所找到的δ是否滿足條件，從而證明極限存在.利用夾逼定理求極限1夾逼定理如果函數(shù)f(x),g(x),h(x)滿足...2證明過程通過比較大小，證明...3應(yīng)用場景解決一些...利用單調(diào)有界原理求極限單調(diào)性數(shù)列單調(diào)遞增或遞減，即對(duì)于任意自然數(shù)n，都有a(n)≤a(n+1)或a(n)≥a(n+1)有界性數(shù)列有界，即存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意自然數(shù)n，都有|a(n)|≤M極限存在如果數(shù)列滿足單調(diào)有界性，則該數(shù)列一定存在極限利用極限運(yùn)算法則求極限1和差法則lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)2積法則lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)3商法則lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)≠0)4常數(shù)倍法則lim(c*f(x))=c*limf(x)無窮大量的性質(zhì)加減無窮大量與有限數(shù)的和或差仍為無窮大量。乘除無窮大量與非零常數(shù)的積或商仍為無窮大量。冪運(yùn)算無窮大量的正整數(shù)次冪仍為無窮大量。無窮小量的概念定義當(dāng)自變量趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的值無限趨近于零，則稱該函數(shù)為無窮小量。符號(hào)通常用符號(hào)α表示無窮小量。性質(zhì)無窮小量不一定是零，但其絕對(duì)值可以任意小。無窮小量的性質(zhì)加法兩個(gè)無窮小量的和仍為無窮小量。乘法無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量。除法無窮小量除以非零常數(shù)仍為無窮小量。單調(diào)有界原理的證明1單調(diào)性證明序列單調(diào)遞增或遞減2有界性證明序列存在上界和下界3極限存在結(jié)論：單調(diào)有界序列必有極限夾逼定理的證明1假設(shè)假設(shè)存在三個(gè)數(shù)列：{an},{bn},{cn}，且滿足以下條件：an≤bn≤cn，以及l(fā)iman=limcn=a。2證明根據(jù)極限的定義，對(duì)于任意ε>0，存在正整數(shù)N1和N2，使得當(dāng)n>N1時(shí)，|an-a|<ε/2，當(dāng)n>N2時(shí)，|cn-a|<ε/2。3結(jié)論取N=max{N1,N2}，則當(dāng)n>N時(shí)，有|bn-a|≤|bn-an|+|an-a|<ε/2+ε/2=ε，即limbn=a。極限的四則運(yùn)算1加法如果limf(x)=A且limg(x)=B,則lim[f(x)+g(x)]=A+B。2減法如果limf(x)=A且limg(x)=B,則lim[f(x)-g(x)]=A-B。3乘法如果limf(x)=A且limg(x)=B,則lim[f(x)*g(x)]=A*B。4除法如果limf(x)=A且limg(x)=B,且B≠0，則lim[f(x)/g(x)]=A/B。極限的合成運(yùn)算合成函數(shù)極限如果lim_(x→a)f(x)=b且lim_(y→b)g(y)=c，那么lim_(x→a)g(f(x))=c。復(fù)合函數(shù)極限當(dāng)函數(shù)g的自變量是函數(shù)f的值，且函數(shù)f的極限存在時(shí)，復(fù)合函數(shù)g(f(x))的極限可以通過對(duì)內(nèi)層函數(shù)f的極限進(jìn)行計(jì)算得出。極限的保號(hào)性質(zhì)正數(shù)極限當(dāng)函數(shù)f(x)的極限為正數(shù)時(shí)，存在一個(gè)鄰域，使得該鄰域內(nèi)的函數(shù)值也為正數(shù)。負(fù)數(shù)極限當(dāng)函數(shù)f(x)的極限為負(fù)數(shù)時(shí)，存在一個(gè)鄰域，使得該鄰域內(nèi)的函數(shù)值也為負(fù)數(shù)。零極限當(dāng)函數(shù)f(x)的極限為零時(shí)，存在一個(gè)鄰域，使得該鄰域內(nèi)的函數(shù)值的絕對(duì)值小于任何給定的正數(shù)。極限的存在性判斷單調(diào)有界準(zhǔn)則若數(shù)列{an}單調(diào)遞增且有上界，則該數(shù)列收斂。夾逼定理若{an}、{bn}、{cn}為三個(gè)數(shù)列，且an≤bn≤cn，且liman=limcn=