高考數(shù)學(xué)熱點問題練習(xí)-古典概型知識歸納及例題講解

占典概型

一、基礎(chǔ)知識：

1、基本事件:一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個不可再分的結(jié)果稱為一個基本事件。

例如：在扔骰子的試驗中，向上的點數(shù)1點，2點，……，6點分別構(gòu)成一個基

本事件

2、基本事件空間：一次試驗，將所有基本事件組成一個集合，稱這個集合為該

試驗的基本事件空間，用。表示。

3、基本事件特點：設(shè)一次試驗中的基本事件為4人,…

(1)基本事件兩兩互斥

(2)此項試驗所產(chǎn)生的事件必由基本事件構(gòu)成，例如在扔骰子的試驗中，設(shè)A為

“出現(xiàn)i點”，事件A為“點數(shù)大于3”，則事件AUA,UAUA

(3)所有基本事件的并事件為必然事件

由加法公式可得：P(Q)=P(AU&U??,U4)=P(A)+P(4)+???+P(4)

因為P(Q)=I,所以尸(A)+P(4)+…+P(4)=I

4、等可能事件：如果一項試驗由〃個基本事件組成，而且每個基本事件出現(xiàn)的

可能性都是相等的，那么每一個基本事件互為等可能事件。

5、等可能事件的概率：如果一項試驗由〃個基本事件組成，且基本事件為等可

能事件，則基本事件的概率為1

n

證明：設(shè)基本事件為AH，…4,可知P(A)=P(4)=???=P(4)

???尸(A)+P(&)+…+尸(4)=1所以可得P(A)=：

6、古典概型的適用條件：

(1)試驗的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限多個

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等

當(dāng)滿足這兩個條件時.，事件4發(fā)生的概率就可以用事件4所包含的基本事件個

數(shù)〃(4)占基本事件空間的總數(shù)〃(。)的比例進行表示，即P(A)=喘

7、運用古典概型解題的步驟：

①確定基木事件，一般要選擇試驗中不可再分的結(jié)果作為基木事件，一般來說，

試驗中的具體結(jié)果可作為基本事件，例如扔骰子，就以每個具體點數(shù)作為基本事

件；在排隊時就以每種排隊情況作為基本事件等，以保證基本事件為等可能事件

②"（A）,〃（。）可通過計數(shù)原理（排列，組合）進行計算

③要保證4中所含的基本事件，均在C之中，即A事件應(yīng)在C所包含的基本事

件中選擇符合條件的

二、典型例題：

例1：從1-6這6個自然數(shù)中隨機取三個數(shù)，則其中一個數(shù)是另外兩個數(shù)的和的

概率為________

思路：事件。為“6個自然數(shù)中取三個”，所以〃（。）=《=20,事件A為“一個

數(shù)是另外兩個數(shù)的和”，不妨設(shè)a=b+c,則可根據(jù)〃的取值進行分類討論，列

舉出可能的情況：{3,2,1},{4,3,1},{5,4,1},{5,3,2},{6,5,1},{6,4,2},所以〃（A）=6。

例2：從集合A={-1,1,2}中隨機選取一個數(shù)記為3從集合8={-2,1,2}中隨機

選取一個數(shù)記為"，則直線y=丘+人不經(jīng)過第三象限的概率為（）

思路：設(shè)C為“女力的所有組合”，則〃（C）=3x3=9,設(shè)事件4為“直線），=H+8

不經(jīng)過第三象限”，則要求上＜0力＞0,所以〃（A）=lx2=2,從而

必需H

答案：A

例3：袋中共有7個大小相同的球，其中3個紅球，2個白球，2個黑球。若從

袋中任取三個球，則所取3個球中至少有兩個紅球的概率是（）

B,葛C蔡D.II

A.2

思路：設(shè)C為“袋中任取三球”，則〃(。)=仁=35,設(shè)事件A為“至少兩個紅

球”，所以〃(A)=C；C+U=13,從而尸⑷二需堞

答案：B

例4：設(shè)函數(shù)〃x)=ar+上(工＞1),若4是從0,1,2三個數(shù)中任取一個，b是從

x-I

1,2,3,4,5五個數(shù)中任取一個，那么/(力＞6恒成立的概率是()

372I

A.-B.—C.-D.-

51552

思路：設(shè)事件。為從所給數(shù)中任取一個"，則〃(C)=3x4=12,所求事件

為事件A,要計算4所包含的基本事件個數(shù)，則需要確定。，力的關(guān)系，從恒成立

的不等式入手，/(力>〃恒成立，只需/(力訕>從而

X1

f(x]=ajc+----=?(x-1)+----+〃+1,當(dāng)時，

')x-\V7x-1

—1)H-----FQ+1N(x-1)------F4+1=25/fl+a+1,所以當(dāng)

x-1Vx-1

〃(x-l)=—!—nx=l+J，時，/(x)mjn=2\fa+a+\=^\[a4-1j,所以

x1Va

(&+1/>b,得到關(guān)系后即可選出符合條件的(a⑼：

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(2,5)共8個,當(dāng)。=0時,/(x)=l+—>1,所以(0,1)符合條件,

綜上可得“A)=9,所以P(4)=嚅=|

答案：A

例5：某人射擊10次擊中目標(biāo)3次，則其中恰有兩次連續(xù)命中目標(biāo)的概率為

()

思路：考慮設(shè)C為“10次射擊任意擊中三次”，則〃（。）=%=120,設(shè)事件A為

“恰有兩次連續(xù)命中”，則將命中分為兩次連續(xù)和一次單獨的，因為連續(xù)與單獨

的命中不相鄰，聯(lián)想到插空法，所以〃（A）=C；&=56（剩下七個位置出現(xiàn)八個

空，插入連續(xù)與單獨的，共有C；種，然后要區(qū)分連續(xù)與單獨的順序，所以為）,

從而P（A）=34=2_

答案：A

例6：已知甲袋裝有6個球，1個球標(biāo)0,2個球標(biāo)1,3個球標(biāo)2；乙袋裝有7個

球，4個球標(biāo)0,1個球標(biāo)1,2個球標(biāo)2,現(xiàn)從甲袋中取一個球，乙袋中取兩個球，

則取出的三個球上標(biāo)有的數(shù)碼乘積為4的概率是

思路：設(shè)C為“兩個袋中取出三個球”，則MQ）=C［《=126,事件A為“三

個球標(biāo)記數(shù)碼乘積為4"，因為4=2x2xl,所以三個球中有兩個2號球，1個1

號球，可根據(jù)1號球的來源分類討論，當(dāng)1號球在甲袋時，有C；xC；=2種，當(dāng)

1號球在乙袋時，則乙袋一個1號球，一個二號球，共有有種，即

（A）=8種。則P（4）=駛=34

n

Jv7〃（Q）12663

答案：—

63

例7：四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中任取4個點，則這四個點

不共面的概率為（）

A.3B.2C.二D.”

7103570

思路：設(shè)C為“10個點中取4個點”，則〃（。）=喘=210,設(shè)事件A為“4個點

不共面”，若正面尋找不共面的情況較為復(fù)雜，所以考慮問題的對立面，即久為

“4個點共面”，由圖可得四點共面有以下幾種情況：（1）

四個點在四面體的面上，則面上6個點中任意4個點均共

面，則N1=4.C：=60；（2）由平行線所產(chǎn)生的共面（非

已知面），則有3對，即N2=3；（3）由一條棱上的三點與對棱的中點，即N2=6,

所以共面的情況M（可=60+3+6=69,所以刀（A）=刀（C）一〃（可=210—69=141,

所以尸網(wǎng)=招*

答案：D

例8：袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球，由甲，乙，丙三人依次各抽取

一個球，抽取后不放回，若每顆球被抽到的機會均等，則甲，乙，丙三人所得之

球顏色互異的概率是（）

1123

A.-B.-C.-D.—

43711

思路：事件C為“不放回地抽取3個球”，則〃（。）=其，基本事件為甲，乙，

丙拿球的各種情況，且將這些球均視為不同元素。設(shè)所求事件“甲，乙，丙三人

所得之球顏色互異”為事件A,則先要從白球黑球紅球中各取一個（C；.C；）,

再分給三個人（三個元素全排列），所以〃（田=。卜。卜。卜4,從而

c；GC￡3

尸伊）=

區(qū)11

答案：D

例9：甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為。，再由乙猜甲剛

才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b,其中48￡{1,2,3,4,5,6},若。=6或。=8-1,

就稱甲乙“心有靈犀”現(xiàn)在任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率

為（）

A.—B.-C.—D.—

36