高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第七章-§7-3-二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

§7.3二元一次不等

式(組)與簡單的

線性規(guī)劃問題第七章不等式、推理與證明1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C>0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括_____Ax＋By＋C≥0包括_____不等式組各個(gè)不等式表示的平面區(qū)域的________邊界邊界公共部分2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的___________線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的

解析式不等式(組)一次一次可行解滿足線性約束條件的解________可行域所有可行解組成的_______最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得

或

的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的

或______問題(x，y)集合最大值最小值最大值最小值判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集.(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方.(

)(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)(4)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.(

)√×√×1.某校對(duì)高三美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式表示就是√“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以x≥95，y>380，z>45.√將點(diǎn)(0,0)代入x－y＋1<0不成立，則點(diǎn)(0,0)不在不等式x－y＋1<0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，將點(diǎn)(0,0)代入x＋y－3≥0不成立，則點(diǎn)(0,0)不在不等式x＋y－3≥0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以表示的平面區(qū)域不包括原點(diǎn)，排除A，C；x－y＋1<0不包括邊界，用虛線表示，x＋y－3≥0包括邊界，用實(shí)線表示，故選D.A.－1B.5C.8D.7√作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，此時(shí)zmax＝0＋2×4＝8.第二部分探究核心題型例1

(1)(2022·成都模擬)在坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組

所表示的平面區(qū)域的面積為A.B.3C.1D.2題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域√由不等式組可得其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所示，又OC⊥BC，OA∥BC，(2)(2023·西安模擬)已知不等式組

表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.(－1,2)直線kx－y＋2＝0與y軸的交點(diǎn)為(0,2)，要使平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，由圖得k∈(－1,2).平面區(qū)域的形狀問題主要有兩種題型(1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先作出滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀.(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時(shí)通常先作出滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行必要的討論.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)設(shè)x，y∈R，則“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√x2＋y2－2x－2y＋1≤0可表示為(x－1)2＋(y－1)2≤1，即(x，y)在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上及其內(nèi)部，x＋y≤4表示(x，y)在直線x＋y＝4上及其左下方，如圖所示，由圖象知，“x2＋y2－2x－2y＋1≤0”是“x＋y≤4”的充分不必要條件.(2)(2022·西安模擬)若不等式組

所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋2分成面積相等的兩個(gè)部分，則實(shí)數(shù)k的值為A.1B.2C.3D.4√作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示.由圖可知，可行域?yàn)椤鰽BC及其內(nèi)部，因?yàn)橹本€y＝kx＋2過△ABC的頂點(diǎn)C(0,2)，所以要使直線y＝kx＋2將可行域分成面積相等的兩部分，則直線y＝kx＋2必過線段AB的中點(diǎn)D.將D的坐標(biāo)代入直線y＝kx＋2，例2

(2022·全國乙卷)若x，y滿足約束條件

則z＝2x－y的最大值是A.－2B.4C.8D.12題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題√命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值方法一由題意作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y為y＝2x－z，上下平移直線y＝2x－z，可得當(dāng)直線過點(diǎn)(4,0)時(shí)，直線截距最小，z最大，所以zmax＝2×4－0＝8.故選C.此時(shí)z＝2×0－2＝－2；此時(shí)z＝2×2－0＝4；此時(shí)z＝2×4－0＝8.綜上所述，z＝2x－y的最大值為8.例3

(1)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

則z＝

的取值范圍是A.[－3,1)B.(－∞，－3]∪(1，＋∞)C.[－3,3]D.(－∞，－3]∪[3，＋∞)√命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值目標(biāo)函數(shù)z＝

表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)P(0，－3)確定的直線l的斜率k，過點(diǎn)P的直線l0平行于直線x－y－2＝0，其斜率為1，過點(diǎn)P的直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)，其斜率為－3，直線l從直線l0(不含直線l0)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線l1(含直線l1)的位置，則k≤－3或k>1，所以z＝

的取值范圍是(－∞，－3]∪(1，＋∞).(2)若變量x，y滿足約束條件

則(x－1)2＋y2的最小值為√結(jié)合題意作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，而(x－1)2＋y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與(1,0)的距離的平方，命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍例4

若實(shí)數(shù)x，y滿足

且z＝3x＋y的最大值為8，則實(shí)數(shù)m的值為A.0B.1C.2D.3√由圖中直線斜率關(guān)系知，當(dāng)直線y＝－3x＋z向上平移時(shí)，依次經(jīng)過點(diǎn)O，B，A.故經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z有最大值4m，由4m＝8，得m＝2.常見的三類目標(biāo)函數(shù)(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝

.跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2021·全國乙卷)若x，y滿足約束條件

則z＝3x＋y的最小值為A.18B.10C.6D.4√方法一(數(shù)形結(jié)合法)作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，作出直線y＝－3x，并平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝－3x＋z在y軸上的截距最小，即z最小.解方程組

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3).從而z＝3x＋y的最小值為3×1＋3＝6.方法二(代點(diǎn)比較法)畫圖易知，題設(shè)不等式組對(duì)應(yīng)的可行域是封閉的三角形區(qū)域，所以只需要比較三角形區(qū)域三個(gè)頂點(diǎn)處的z的大小即可.易知直線x＋y＝4與y＝3的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，直線x＋y＝4與x－y＝2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)，直線x－y＝2與y＝3的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,3)，將這三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入z＝3x＋y可得z的值分別為6,10,18，所以比較可知zmin＝6.方法三

(巧用不等式的性質(zhì))因?yàn)閤＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①因?yàn)閥≤3，所以－2y≥－6.于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3時(shí)不等式取等號(hào)，易知此時(shí)不等式x－y≤2成立.②(2)(2022·西寧模擬)如果點(diǎn)P(x，y)在平面區(qū)域

上，則x2＋y2＋2y的最小值是√如圖，作出

表示的可行域，即圖中△ABC區(qū)域(包含邊界)，而x2＋y2＋2y＝x2＋(y＋1)2－1，設(shè)點(diǎn)Q(0，－1)，則x2＋y2＋2y表示的是點(diǎn)P(x，y)和點(diǎn)Q(0，－1)的距離的平方減去1，所以當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ最小，(3)(2023·呼和浩特模擬)已知x，y滿足

若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a的值為________.－1或2作出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，作直線l：y－ax＝0，由z＝y(tǒng)－ax，得y＝ax＋z，a是斜率，z是縱截距，直線向上平移，z增大，因此要使最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線l與AB或AC平行，所以a＝－1或a＝2.例5

(2022·銀川模擬)快遞行業(yè)的高速發(fā)展極大地滿足了人們的購物需求，也提供了大量的就業(yè)崗位，出現(xiàn)了大批快遞員.某快遞公司接到甲、乙兩批快件，基本數(shù)據(jù)如表：題型二實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題

體積(立方分米/件)重量(千克/件)快遞員工資(元/件)甲批快件20108乙批快件102010快遞員小馬接受派送任務(wù)，小馬的送貨車載貨的最大容積為350立方分米，最大載重量為250千克，小馬一次送貨可獲得的工資最多為A.150元

B.170元C.180元

D.200元√設(shè)一次派送甲批快件x件、乙批快件y件，小馬派送完畢獲得的工資z＝8x＋10y(元)，畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，易知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)M(15,5)處取得最大值，故zmax＝8×15＋10×5＝170(元).所以小馬一次送貨可獲得的工資最多為170元.解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)轉(zhuǎn)化——設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題；(2)求解——解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題；(3)作答——將線性規(guī)劃問題的答案還原為實(shí)際問題的答案.跟蹤訓(xùn)練3

某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車，甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次，乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次，甲型車每天的費(fèi)用為320元，乙型車每天的費(fèi)用為504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌?，則通過合理調(diào)配車輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為A.2400元

B.2560元C.2816元

D.4576元√設(shè)甲型車x輛，乙型車y輛，運(yùn)送這批水果的費(fèi)用為z元，則

畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示.目標(biāo)函數(shù)z＝320x＋504y，作直線320x＋504y＝0并平移，結(jié)合實(shí)際情況分析可得當(dāng)直線過點(diǎn)(8,0)時(shí)，z取得最小值，即zmin＝8×320＋0×504＝2560(元).課時(shí)精練第三部分1.(2023·銅川模擬)已知點(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)在直線x＋2y－b＝0的同側(cè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為A.b>－3 B.b<－3或b>7C.－3<b<7 D.b<3或b>712345678910111213141516基礎(chǔ)保分練√因?yàn)辄c(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)在直線x＋2y－b＝0的同側(cè)，所以(1－4－b)(－1＋8－b)>0，即(b＋3)(b－7)>0，解得b<－3或b>7.2.已知x2－y2＝1的兩條漸近線與直線x＝4圍成三角形區(qū)域，那么表示該區(qū)域的不等式組是12345678910111213141516√12345678910111213141516由于x2－y2＝1的兩條漸近線方程為x＋y＝0和x－y＝0，故表示與直線x＝4圍成的三角形區(qū)域?yàn)锳.6B.7C.12D.1412345678910111213141516√12345678910111213141516作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示.12345678910111213141516A.z有最大值，也有最小值B.z有最大值，無最小值C.z有最小值，無最大值D.z既無最大值，也無最小值√12345678910111213141516作出可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，為一個(gè)開放區(qū)域.由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x并平移，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值，無最大值.123456789101112131415165.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的√12345678910111213141516即不等式表示的區(qū)域是同時(shí)在兩直線的上方部分或同時(shí)在兩直線的下方部分，只有選項(xiàng)C符合題意.123456789101112131415166.不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，直線y＝kx－1與區(qū)域Ω有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為A.(0,3] B.[－1,1]C.(－∞，3] D.[3，＋∞)√12345678910111213141516直線y＝kx－1過定點(diǎn)M(0，－1)，由圖可知，當(dāng)直線y＝kx－1經(jīng)過直線y＝x＋1與直線x＋y＝3的交點(diǎn)C(1,2)時(shí)，k最小，此時(shí)kCM＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞).12345678910111213141516√12345678910111213141516如圖所示，12345678910111213141516A.0B.1C.－1D.212345678910111213141516√12345678910111213141516畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示，令z＝2x－y，則y＝2x－z.因?yàn)?x－y的最大值為－1，所以2x－y＝－1與陰影部分的交點(diǎn)為陰影區(qū)域的一個(gè)頂點(diǎn)，由圖象可知，當(dāng)直線2x－y＝－1經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值，故a＝－1.9.已知點(diǎn)(1,1)在直線x＋2y＋b＝0的下方，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

____________.12345678910111213141516(－∞，－3)因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在直線x＋2y＋b＝0的下方，所以1＋2＋b<0，解得b<－3.10.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

則z＝x2＋y2的最大值為_____.123456789101112131415161012345678910111213141516根據(jù)約束條件

畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，z＝x2＋y2是指可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(0,0)之間的距離的平方，由圖可知，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的平方最大，故zmax＝12＋32＝10.11.(2022·銀川模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足條件

則|x－3y|的最大值為_____.12345678910111213141516512345678910111213141516由約束條件作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，令z＝x－3y，即y＝

，由圖可知，當(dāng)直線y＝

過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值4；過點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值－5.所以|x－3y|的最大值為5.12.現(xiàn)某小型服裝廠鎖邊車間有鎖邊工10名，雜工15名，有7臺(tái)電腦機(jī)，每臺(tái)電腦機(jī)每天可給12件衣服鎖邊；有5臺(tái)普通機(jī)，每臺(tái)普通機(jī)每天可給10件衣服鎖邊.如果一天至少有100件衣服需要鎖邊，用電腦機(jī)每臺(tái)需配鎖邊工1名，雜工2名，用普通機(jī)每臺(tái)需要配鎖邊工1名，雜工1名，用電腦機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利8元，用普通機(jī)給一件衣服鎖邊可獲利6元，則該服裝廠鎖邊車間一天最多可獲利_____元.1234567891011121314151678012345678910111213141516設(shè)每天安排電腦機(jī)和普通機(jī)各x，y臺(tái)，則一天可獲利z＝12×8x＋10×6y＝96x＋60y，線性約束條件

為畫出可行域(圖略)，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(5,5)時(shí)，zmax＝780.13.(2023·西寧模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足

且z＝kx＋y(k為常數(shù))取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則k的值為A.1B.－1C.2D.－212345678910111213141516√綜合提升練12345678910111213141516要使z＝kx＋y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則該平行直線系的斜率－k＝kAB＝1，故k＝－1.14.某校準(zhǔn)備采用導(dǎo)師制成立培養(yǎng)各學(xué)科全優(yōu)尖子生培優(yōu)小組A，B，在培優(yōu)小組A中，每1名學(xué)生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導(dǎo)師；在培優(yōu)小組B中，每1名學(xué)生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導(dǎo)師.若學(xué)?，F(xiàn)有14名理科教師和9名文科教師積極支持，則兩培優(yōu)小組能夠成立的學(xué)生人數(shù)和最多為_____.12345678910111213141516512345678910111213141516根據(jù)題意，設(shè)培優(yōu)小組A，B能夠成立的學(xué)生人數(shù)分