《矩陣及線型方程組》課件

矩陣及線型方程組歡迎來到《矩陣及線型方程組》課程。本課程將深入探討線性代數(shù)的核心概念，幫助您掌握解決復(fù)雜問題的強大工具。課程導(dǎo)入1矩陣基礎(chǔ)了解矩陣的定義、運算和性質(zhì)2線性方程組探索線性方程組的幾何解釋和解法3向量空間學(xué)習(xí)向量空間的概念和應(yīng)用4特征值與特征向量掌握矩陣的特征值和特征向量預(yù)備知識回顧向量運算回顧向量加法、標量乘法和點積行列式復(fù)習(xí)行列式的計算和性質(zhì)線性代數(shù)基本定理回顧線性代數(shù)的基本定理和概念矩陣的定義和運算矩陣定義矩陣是由m×n個數(shù)按照m行n列排列成的矩形數(shù)表矩陣表示A=(aij)m×n，其中aij表示第i行第j列的元素矩陣維度m×n矩陣有m行n列，稱為m行n列矩陣矩陣的基本運算矩陣加法同型矩陣對應(yīng)元素相加矩陣減法同型矩陣對應(yīng)元素相減數(shù)乘矩陣數(shù)與矩陣每個元素相乘矩陣乘法的特性不滿足交換律AB≠BA（一般情況下）滿足分配律A(B+C)=AB+AC滿足結(jié)合律(AB)C=A(BC)逆矩陣的定義和計算1定義若存在矩陣B，使得AB=BA=I，則稱B為A的逆矩陣2性質(zhì)逆矩陣唯一，記作A^(-1)3計算方法使用初等行變換或伴隨矩陣法計算逆矩陣線性方程組的幾何解釋二維平面兩個方程表示兩條直線，交點為解三維空間三個方程表示三個平面，交點為解線性方程組的解的存在性和唯一性1唯一解行列式不為零2無窮多解行列式為零，增廣矩陣秩等于系數(shù)矩陣秩3無解增廣矩陣秩大于系數(shù)矩陣秩線性方程組的解法克拉默法則適用于系數(shù)矩陣為方陣且非奇異的情況高斯消元法通過初等行變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣求逆法當系數(shù)矩陣可逆時，直接求解X=A^(-1)B高斯消元法1化為階梯形通過初等行變換2回代求解從下往上依次求解未知數(shù)3檢驗結(jié)果將解代入原方程驗證向量空間的定義加法封閉性任意兩個向量的和仍在該空間中數(shù)乘封閉性向量與標量的乘積仍在該空間中其他性質(zhì)包括結(jié)合律、交換律、分配律等子空間的概念定義向量空間V的非空子集W，滿足向量空間的所有性質(zhì)平凡子空間僅包含零向量的子空間和整個向量空間本身生成子空間由給定向量集合線性組合生成的子空間線性相關(guān)與線性獨立線性相關(guān)存在非全零系數(shù)，使得向量組的線性組合為零向量線性獨立只有全零系數(shù)才能使向量組的線性組合為零向量矩陣的秩1列秩矩陣列向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)2行秩矩陣行向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)3秩定理矩陣的行秩等于列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩單位矩陣和對角陣單位矩陣主對角線元素為1，其余元素為0的方陣對角陣非主對角線元素全為0的方陣相似矩陣1定義若存在可逆矩陣P，使得B=P^(-1)AP，則稱A與B相似2性質(zhì)相似矩陣有相同的特征值和秩3應(yīng)用在矩陣對角化和Jordan標準型中廣泛應(yīng)用特征值和特征向量特征值滿足Ax=λx的標量λ特征向量對應(yīng)特征值λ的非零向量x特征方程|A-λI|=0對角化條件n階方陣有n個線性無關(guān)的特征向量過程構(gòu)造特征向量矩陣P和對角陣Λ結(jié)果A=PΛP^(-1)正交矩陣定義滿足A^TA=AA^T=I的方陣A性質(zhì)A^T=A^(-1)，|A|=±1應(yīng)用在坐標變換和旋轉(zhuǎn)中廣泛應(yīng)用二次型定義形如x^TAx的實值函數(shù)，其中A為對稱矩陣標準型對角化后的二次型形式正定性二次型的正定、負定和不定性質(zhì)正定二次型1正定對所有非零x，有x^TAx>02半正定對所有x，有x^TAx≥03負定對所有非零x，有x^TAx<04不定既不是正定也不是負定二次型的主軸變換對角化求解特征值和特征向量構(gòu)造正交矩陣用單位化的特征向量構(gòu)造正交矩陣P坐標變換x=Py，得到標準型y^TΛy廣義逆矩陣1定義滿足AGA=A，GAG=G的矩陣G稱為A的廣義逆2Moore-Penrose逆滿足更多條件的唯一廣義逆3應(yīng)用解決不適定問題和最小二乘問題矩陣微分定義研究矩陣函數(shù)對矩陣變量的導(dǎo)數(shù)鏈式法則復(fù)合函數(shù)的矩陣微分應(yīng)用優(yōu)化問題和機器學(xué)習(xí)中的梯度計算矩陣的應(yīng)用圖論鄰接矩陣表示圖的結(jié)構(gòu)計算機圖形學(xué)變換矩陣實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)和縮