2025年湘師大新版高一數學上冊階段測試試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘師大新版高一數學上冊階段測試試卷266考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、已知函數的定義域為的定義域為（）A.B.C.D.2、已知向量如果∥那么實數k的值為（）

A.-1

B.1

C.

D.

3、已知平面和直線具備下列哪一個條件時（）A.B.C.D.4、【題文】網格紙中的小正方形邊長為1；一個正三棱錐的側視圖如圖所示，則這個正三棱錐的體積為()

A.B.3C.D.5、定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2-x）=f（x），且在[-3，-2]上是減函數，α，β是銳角三角形的兩個內角，下列不等式正確的是（）A.f（sinα）＞f（cosβ）B.f（sinα）＜f（cosβ）C.f（cosα）＜f（cosβ）D.f（sinα）＞f（sinβ）6、設x0是方程lnx+x=4的解，則x0屬于區(qū)間（）A.（3，4）B.（2，3）C.（1，2）D.（0，1）評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)7、在平面直角坐標系XOY中，設），則與的夾角為____．8、圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側面積是____．9、【題文】若直線與圓相切，則實數的值是_________.10、【題文】一個空間幾何體的正視圖、側視圖是兩個邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，則這個幾何體的體積等于_______________11、【題文】若集合有且僅有2個子集，則滿足條件的實數的個數是____．12、用二分法求方程x3+4=6x2的一個近似解時，已經將一根鎖定在區(qū)間（0，1）內，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為____．13、知函數f（x）=若f（2a+1）＞f（a-2），則實數a的取值范圍是______．14、設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|對一切x∈R恒成立，則以下結論正確的是______（寫出所有正確結論的編號）．

①

②|≥|；

③f（x）的單調遞增區(qū)間是（kπ+kπ+）（k∈Z）；

④f（x）既不是奇函數也不是偶函數．15、已知婁脕,婁脗隆脢(3婁脨4,婁脨),sin(婁脕+婁脗)=鈭?35sin(婁脗鈭?婁脨4)=1213

則cos(婁脕+婁脨4)=

______．評卷人得分三、證明題(共7題，共14分)16、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．17、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．18、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．19、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．20、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．22、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．評卷人得分四、作圖題(共2題，共8分)23、畫出計算1++++的程序框圖．24、已知簡單組合體如圖；試畫出它的三視圖（尺寸不做嚴格要求）

評卷人得分五、計算題(共3題，共18分)25、解答下列各題：（1）計算：

（2）解分式方程：．26、x1，x2是方程2x2-3x+m=0的兩個實數根，8x1-2x2=7，則m=____．27、已知A={x|x3+3x2+2x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞﹣2}，求a、b的值．評卷人得分六、綜合題(共2題，共14分)28、在直角坐標系xoy中，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點B和點A，點C的坐標是（0，1），點D在y軸上且滿足∠BCD=∠ABD．求D點的坐標．29、已知y=ax2+bx+c（a≠0）圖象與直線y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）兩點，與x軸交于原點及點C．

（1）求直線和拋物線解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出點D坐標，如果不存在，說明理由．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、A【分析】試題分析：由題意解得考點：函數定義域【解析】【答案】A2、A【分析】

因為∥

所以6=-6k；

解得k=-1；

故選A．

【解析】【答案】本題是一個向量共線問題；兩個向量使用坐標來表示的，根據向量平行的充要條件的坐標形式，寫出成立的條件，得到關于k的方程，解方程即可得到結果．

3、D【分析】【解析】

垂直于同一個平面的兩直線平行。因此D正確。A中平行于同一平面的兩直線的位置關系，有三種，B中，垂直于同一直線的兩直線也有3種位置關系C中，舉例排除不成立。【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】該三棱錐的底面三角形的高為3，故底面邊長a滿足a＝3，即a＝2又三棱錐的高為3，則體積為××2×3×3＝3【解析】【答案】B5、A【分析】解：∵定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2-x）=f（x）；∴函數f（x）為周期函數，周期T=2；

∵f（x）在[-3；-2]上為減函數；

∴f（x）在[-1；0]上為減函數；

∵f（x）為偶函數；根據偶函數在對稱區(qū)間上單調性相反；

∴f（x）在[0；1]上為單調增函數．

∵在銳角三角形中，則π-α-β＜

∴α+β＞

∴＞α＞-β＞0；

∴sinα＞sin（-β）=cosβ；

∵f（x）在[0；1]上為單調增函數．

∴f（sinα）＞f（cosβ）．

故選A．

由定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2-x）=f（x）得函數的周期為2；然后利用函數的周期和奇偶性進行轉化，確定函數f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調性，即可判斷得到答案．

本題主要考查了函數的奇偶性和周期性的應用，三角函數的圖象和性質，綜合考查了函數的奇偶性、周期性和單調性的應用，綜合性較強，涉及的知識點較多．屬于中檔題．【解析】【答案】A6、B【分析】解：設f（x）=lnx+x-4，由于x0是方程lnx+x=4的解，則x0是函數f（x）的零點．

再由f（2）=ln2-2＜0；f（3）=ln3-1＞0，f（2）f（3）＜0；

可得x0屬于區(qū)間（2；3）；

故選B．

設f（x）=lnx+x-4，則由題意可得x0是函數f（x）的零點，再由f（2）f（3）＜0得到x0所在的區(qū)間．

本題考查零點與方程的根的關系，以及函數零點判定定理的應用，屬于基礎題．【解析】【答案】B二、填空題(共9題，共18分)7、略

【分析】

取=（x；0），（x＞0）

∵）；

∴=1，||=|x|

cos＜＞===-sin15°

∵＜＞∈[0；π]

∴cos＜＞=-sin15°=cos105°

則與的夾角為105°

故答案為：105°

【解析】【答案】取=（x，0）（x＞0），然后利用兩個向量的夾角公式表示出與的夾角，根據＜＞∈[0；π]，可求出所求．

8、略

【分析】

∵圓錐的底面半徑r=3；高h=4；

∴圓錐的母線l=5

則圓錐的側面積S=πrl=15π

故答案為：15π

【解析】【答案】由已知中圓錐的底面半徑是3，高是4，由勾股定理，我們可以計算出圓錐的母線長，代入圓錐側面積公式S=πrl；即可得到答案．

9、略

【分析】【解析】

試題分析：將圓的方程化為標準形式則圓心到直線的距離等于半徑可以得到解得

考點：1、圓的切線的性質及判定定理；2、直線與圓的位置關系.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】解：

解：由題意可知三視圖復原的幾何體是一個直放的三棱柱；

三棱柱的底面是邊長為1的等腰直角三角形；高為1的三棱柱．

所以幾何體的體積為【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】要使得一個集合有且僅有2個子集，則須使集合有且僅有1個元素.因此方程要么有且僅有一個實根，即要么有且僅有兩個相等的實根.由得或因此滿足條件的實數的個數是3.

【命題意圖】本題考查集合的子集個數，方程的解與集合元素關系等知識，意在考查靈活運用有關的基礎知識解決問題的能力.【解析】【答案】312、（1）【分析】【解答】解：令f（x）=x3﹣6x2+4；

則f（0）=4＞0，f（1）=﹣1＜0，f（）=＞0；

由f（）f（1）＜0知根所在區(qū)間為（1）．

故答案為：（1）．

【分析】構造函數，旅游零點存在定理，即可得出結論．13、略

【分析】解：函數f（x）=可知函數是單調減函數；

f（2a+1）＞f（a-2）；

可得2a+1＜a-2；

解得a＜-3．

故答案為：（-∞；-3）．

判斷分段函數的單調性；利用函數的單調性轉化不等式求解即可．

本題考查分段函數的應用，利用函數的單調性轉化不等式求解，考查計算能力．【解析】（-∞，-3）14、略

【分析】解：由f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+φ）．

∵f（x）≤|f（）|對一切x∈R恒成立。

∴當x=時，函數取得最大值，即2×+φ=解得：φ=．

故得f（x）=sin（2x+）．

則f（）=sin（2×+）=0；∴①對．

②f（）=sin（2×+）=

f（）=sin（2×+）=∴|≥|；∴②對．

由2x+（k∈Z）

解得：+kπ≤x≤+kπ；（k∈Z）

∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（kπkπ+）（k∈Z）；∴③不對。

f（x）的對稱軸2x+=+kπ；（k∈Z）；∴③

解得：x=kπ+不是偶函數；

當x=0時，f（0）=不關于（0，0）對稱；

∴f（x）既不是奇函數也不是偶函數．

故答案為①②④．

利用輔助角公式化簡f（x），根據f（x）≤|f（）|可得，a，b的值．然后對個結論依次判斷即可．

本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，f（x）≤|f（）|對一切x∈R恒成立，確定φ的一個值時解題的關鍵，屬于中檔題．【解析】①②④15、略

【分析】解：已知婁脕,婁脗隆脢(3婁脨4,婁脨),sin(婁脕+婁脗)=鈭?35

sin(婁脗鈭?婁脨4)=1213婁脕+婁脗隆脢(3婁脨2,2婁脨)婁脗鈭?婁脨4隆脢(婁脨2,3婁脨4)

隆脿cos(婁脕+婁脗)=45cos(婁脗鈭?婁脨4)=鈭?513

隆脿cos(婁脕+婁脨4)=cos[(婁脕+婁脗)鈭?(婁脗鈭?婁脨4)]

=cos(婁脕+婁脗)cos(婁脗鈭?婁脨4)+sin(婁脕+婁脗)sin(婁脗鈭?婁脨4)

=45鈰?(鈭?513)+(鈭?35)鈰?1213=鈭?5665

故答案為：鈭?5665

婁脕+婁脨4=(婁脕+婁脗)鈭?(婁脗鈭?婁脨4)

進而通過正弦函數的兩角和公式得出答案．

本題主要考查正弦函數兩角和公式的運用.

注意熟練掌握公式．【解析】鈭?5665

三、證明題(共7題，共14分)16、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據三角形的外角性質推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．17、略

【分析】【分析】延長AM，過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．根據平行線分線段成比例的性質和逆定理可得CF∥BE，根據平行四邊形的判定和性質即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．19、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結論；

（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．20、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】（1）關鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．22、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、作圖題(共2題，共8分)23、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據題意，設計的程序框圖時需要分別設置一個累加變量S和一個計數變量i，以及判斷項數的判斷框．24、

解：幾何體的三視圖為：

【分析】【分析】利用三視圖的作法，畫出三視圖即可．五、計算題(共3題，共18分)25、略

【分析】【分析】（1）本題涉及零指數冪；負指數冪、二次根式化簡、絕對值4個考點．在計算時；需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．

（2）根據解分式方程的步驟計算：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論．【解析】【解答】解：（1）

=2-1+2+-1

=3；

（2）原方程可變形為：=2；

去分母得：1-x=2（x-3）；

去括號移項得：3x=7；

系數化為1得：x=；

經檢驗，x=是原方程的根．26、略

【分析】【分析】由于x1，x2是方程2x2-3x+m=0的兩個實數根，根據各能與系數的關系可以得到x1+x2=，而8x1-2x2=7，聯立兩個等式解方程組即可求出方程的兩根，然后利用兩根之積即可求解．【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程2x2-3x+m=0的兩個實數根；

∴x1+x2=①；

而8x1-2x2=7②；

聯立①②解之得：x1=1，x2=；

∴x1?x2==；

∴m=1．

故答案為：1．27、解：A={x|﹣2＜x＜﹣1或x＞0}，設B=[x1，x2]，由A∩B={x|0＜x≤2}，知x2=2，且﹣1≤x1≤0，①由A∪B={x|x＞﹣2}，知﹣2≤x1≤﹣1．②由①②知x1=﹣1，x2=2，∴a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣2，答：a=﹣1，b=﹣2．【分析】【分析】根據題意，設B=[x1，x2]，由A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞﹣2}，分析可