巴蜀保送生考試數(shù)學(xué)試卷

巴蜀保送生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，其周期為：

A.$\pi$B.$2\pi$C.$\pi/2$D.$3\pi/2$

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-1,2)關(guān)于直線$x+y=0$的對(duì)稱點(diǎn)分別是：

A.(-3,-2)B.(-2,-3)C.(3,2)D.(2,3)

3.若$a^2+b^2=1$，則$\sin2\alpha\sin2\beta=$：

A.$\cos(\alpha+\beta)$B.$\cos(\alpha-\beta)$C.$\sin(\alpha+\beta)$D.$\sin(\alpha-\beta)$

4.若$a>b>0$，則下列不等式成立的是：

A.$\frac{1}{a}>\frac{1}$B.$\frac{a}>1$C.$a^2>b^2$D.$a^3>b^3$

5.若$|a|<1$，則下列不等式成立的是：

A.$|a^2|<1$B.$|a^3|<1$C.$|a^4|<1$D.$|a^5|<1$

6.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，則$\cos\alpha=$：

A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$-\frac{3}{5}$

7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1+a_3+a_5=9$，則$a_4=$：

A.3B.6C.9D.12

8.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1+a_3+a_5=9$，則$a_4=$：

A.3B.6C.9D.12

9.若$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(x+1)=$：

A.$x^2$B.$x^2-2x$C.$x^2-2x+1$D.$x^2-4x+4$

10.若$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，則$f'(0)=$：

A.0B.1C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，若直線$y=2x+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑。（）

2.若函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$(0,\pi)$上單調(diào)遞增，則$\sinx>\cosx$。（）

3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)$a$，都有$a^2+1\geq0$。（）

4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，則$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。（）

5.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q$滿足$|q|<1$，則數(shù)列$\{a_n\}$單調(diào)遞減。（）

三、填空題

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$，則$a=\_\_\_\_\_\_\_，b=\_\_\_\_\_\_\_，h=\_\_\_\_\_\_\_，k=\_\_\_\_\_\_\_$。

2.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$(2,3)$關(guān)于直線$y=-x$的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為$(x,y)$，則$x=\_\_\_\_\_\_\_，y=\_\_\_\_\_\_\_$。

3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)$a_1=2$，公差$d=3$，則第10項(xiàng)$a_{10}=\_\_\_\_\_\_\_$。

4.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)$a_1=3$，公比$q=\frac{1}{2}$，則第5項(xiàng)$a_5=\_\_\_\_\_\_\_$。

5.若函數(shù)$f(x)=\lnx$在區(qū)間$(0,+\infty)$上的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\_\_\_\_\_\_\_$。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述二次函數(shù)圖像的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸與系數(shù)之間的關(guān)系。

2.如何求解直線與圓的位置關(guān)系？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

3.請(qǐng)解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和的求法，并給出相應(yīng)的公式。

4.請(qǐng)簡(jiǎn)述對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征，并說(shuō)明其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

5.如何求一個(gè)函數(shù)的極值？請(qǐng)給出一般步驟和注意事項(xiàng)。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算定積分$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx$的值。

2.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的極值點(diǎn)，并判斷極值的類型。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和$S_{10}=110$，公差$d=3$，求第5項(xiàng)$a_5$的值。

4.求解方程組$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=2\end{cases}$。

5.求曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程。

六、案例分析題

1.案例分析題：某班級(jí)共有30名學(xué)生，成績(jī)分布如下表所示，請(qǐng)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求出該班級(jí)的平均成績(jī)，并分析成績(jī)的分布特點(diǎn)。

|成績(jī)區(qū)間|人數(shù)|

|----------|------|

|60-70|5|

|70-80|10|

|80-90|12|

|90-100|3|

2.案例分析題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=5x+1000$，其中$x$為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。已知該產(chǎn)品的售價(jià)為每件$150$元，請(qǐng)根據(jù)以下情況進(jìn)行分析：

（1）求出該工廠的利潤(rùn)函數(shù)$P(x)$；

（2）若工廠希望利潤(rùn)最大化，請(qǐng)求出最佳的生產(chǎn)數(shù)量$x$；

（3）分析當(dāng)$x$增加時(shí)，工廠的利潤(rùn)變化趨勢(shì)。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠計(jì)劃在5個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)一批產(chǎn)品，如果每月生產(chǎn)120件，則能按時(shí)完成；如果每月生產(chǎn)140件，則能提前1個(gè)月完成。求該批產(chǎn)品的總生產(chǎn)量。

2.應(yīng)用題：一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為$a$，求該正方體的表面積和體積。

3.應(yīng)用題：一家公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品A和產(chǎn)品B。生產(chǎn)產(chǎn)品A的成本為每件10元，生產(chǎn)產(chǎn)品B的成本為每件15元。公司計(jì)劃每月生產(chǎn)成本不超過(guò)1200元，且每月至少生產(chǎn)10件產(chǎn)品A和5件產(chǎn)品B。求公司每月能生產(chǎn)的產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的最大數(shù)量。

4.應(yīng)用題：某城市計(jì)劃修建一條長(zhǎng)為10公里的高速公路，已知每公里高速公路的修建成本為100萬(wàn)元。若采用傳統(tǒng)施工方法，則整個(gè)工程需要3年時(shí)間完成；若采用新施工技術(shù)，則整個(gè)工程可以在2.5年內(nèi)完成。求兩種施工方法下，平均每公里高速公路的年成本。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.B

2.A

3.A

4.D

5.A

6.A

7.A

8.B

9.C

10.B

二、判斷題答案

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

三、填空題答案

1.$a>0$，$b$可以是任意實(shí)數(shù)，$h=-\frac{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

2.$x=-3$，$y=2$

3.$a_5=2+4\times3=14$

4.$a_5=3\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{3}{16}$

5.$f'(x)=\frac{1}{x}$

四、簡(jiǎn)答題答案

1.二次函數(shù)圖像的開口方向由系數(shù)$a$決定，$a>0$時(shí)開口向上，$a<0$時(shí)開口向下。頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$，其中$h=-\frac{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$。對(duì)稱軸為直線$x=h$。

2.直線與圓的位置關(guān)系可以通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離與圓的半徑之間的關(guān)系來(lái)判斷。若距離小于半徑，則直線與圓相交；若距離等于半徑，則直線與圓相切；若距離大于半徑，則直線與圓相離。

3.等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$（$q\neq1$）。

4.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征為：隨著$x$的增加，$y$值單調(diào)遞增；當(dāng)$x=1$時(shí)，$y=0$；圖像在$x$軸右側(cè)，$x$值趨近于無(wú)窮大時(shí)，$y$值趨近于無(wú)窮大。對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1}{x}$。

5.求函數(shù)的極值的一般步驟為：求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點(diǎn)，判斷極值的類型。注意事項(xiàng)包括：極值點(diǎn)可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)不存在或?qū)?shù)為0的點(diǎn)。

五、計(jì)算題答案

1.$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1=(1-1+1)-(0-0+0)=1$

2.$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$，$f''(x)=6x$，$f''(1)=6>0$，故$x=1$為極小值點(diǎn)。

3.$a_5=2+(5-1)\times3=14$

4.$2x+3y=8$，$x-y=2$，解得$x=2$，$y=0$。

5.$f'(x)=e^x$，$f'(0)=e^0=1$，切線斜率為1，切線方程為$y-1=1(x-0)$，即$y=x+1$。

七、應(yīng)用題答案

1.設(shè)總生產(chǎn)量為$N$，則$\frac{N}{5}=120$，$N=600$。

2.表面積$A=6a^2$，體積$V=