2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第7講對(duì)數(shù)式與對(duì)數(shù)函數(shù)含解析

PAGE5-第7講對(duì)數(shù)式與對(duì)數(shù)函數(shù)1．(2024年吉林模擬)不等式log3(2x－1)≤2的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C．(－∞，5]D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))2．(2024年天津)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．c<a<b3．(2024年安徽肥東中學(xué))若a＝log2.10.6，b＝2.10.6，c＝log0.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a4．(2024年浙江)已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，則()A．(a－1)(b－1)<0B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0D．(b－1)(b－a)>05．(2024年北京)依據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間困難度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與eq\f(M,N)最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)A．1033B．1053C．1073D．10936．(2024年廣西名校模擬)已知奇函數(shù)f(x)滿意f(x＋1)＝－f(x)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝2x，則(log29)的值為()A.eq\f(16,9)B．－eq\f(16,9)C．9D．－97．(2024年天津)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．若a＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,5)))，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．c<a<b8．已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)10．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg－x，x<0，,ex－1，x≥0.))若f(1)＋f(a)＝2，則a的全部可能值為()A．1B．－1C．10D．－1011．已知函數(shù)f(x)＝log(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)在[－1，＋∞)內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(4)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，－1]，求實(shí)數(shù)a的值．12．(2024年上海)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋a)).(1)當(dāng)a＝5時(shí)，解不等式f(x)>0；(2)若關(guān)于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一個(gè)元素，求a的取值范圍；(3)設(shè)a>0，若對(duì)隨意t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值與最小值的差不超過(guò)1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

第7講對(duì)數(shù)式與對(duì)數(shù)函數(shù)1．B解析：∵log3(2x－1)≤2可化為log3(2x－1)≤log39，∴0<2x－1≤9，∴eq\f(1,2)<x≤5.∴原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)).故選B.2．A解析：∵log24＝2<log27<3＝log28，log33＝1<log38<2＝log39,0.30.2<0.30＝1，∴c<b<a.故選A.3．C解析：∵a＝log2.10.6<0，b＝2.10.6>1，c＝log0.50.6<1，∴b>c>a.故選C.4．D解析：logab>logaa＝1，當(dāng)a>1時(shí)，b>a>1，∴b－1>0，b－a>0.∴(b－1)(b－a)>0；當(dāng)0<a<1時(shí)，0<b<a<1.∴b－1<0，b－a<0.∴(b－1)(b－a)>0.故選D.5．D解析：設(shè)eq\f(M,N)＝x＝eq\f(3361,1080)，兩邊取對(duì)數(shù)，得lgx＝lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361×lg3－80≈93.28，∴x≈1093.28，即eq\f(M,N)最接近1093.故選D.6．B解析：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期為2的周期函數(shù)．又3<log29<4，且f(x)為奇函數(shù)，∴f(log29)＝f(log29－4)＝－f(4－log29)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(16,9)))又當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝2x且0<log2eq\f(16,9)<1，∴f(log29)＝－2＝－eq\f(16,9)，故選B.7．C解析：∵f(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，a＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,5)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log2\f(1,5)))＝f(log25)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，20.8<2<log24.1<log25，∴c<b<a.故選C.8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3)))解析：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<eq\f(8,3)；若0<a<1時(shí)，f(x)在[1,2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則f(x)min＝loga(8－a)>1，得8－2a<0，a>4.a不存在．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))).9．C解析：作出f(x)的大致圖象如圖D120.圖D120由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設(shè)a<b<c，則－lga＝lgb＝－eq\f(1,2)c＋6.∴l(xiāng)ga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由圖知10<c<12，∴abc∈(10,12)．10．AD11．解：(1)由f(x)的定義域?yàn)镽，知x2－2ax＋3>0的解集為R，則Δ＝4a2－12<0，解得－eq\r(3)<a<eq\r(3).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－eq\r(3)，eq\r(3))．(2)函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽等價(jià)于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，∴只要umin＝3－a2≤0?a≤－eq\r(3)或a≥eq\r(3).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)內(nèi)有意義，知u(x)＝x2－2ax＋3>0對(duì)x∈[－1，＋∞)恒成立．∵y＝u(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝a，∴當(dāng)a<－1時(shí)，u(x)min＝u(－1)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,2a＋4>0，))解得－2<a<－1；當(dāng)a≥－1時(shí)，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－eq\r(3)<a<eq\r(3)，∴－1≤a<eq\r(3).綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－2，eq\r(3))．(4)∵y＝f(x)≤－1，∴u(x)＝x2－2ax＋3的值域?yàn)閇2，＋∞)．又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，則有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.12．解：(1)由log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋5))>0，得eq\f(1,x)＋5>1.解得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)).(2)eq\f(1,x)＋a＝(a－4)x＋2a－5，即(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0.當(dāng)a＝4時(shí)，x＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)，滿意題意．當(dāng)a＝3時(shí)，x1＝x2＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)，滿意題意．當(dāng)a≠3，且a≠4時(shí)，x1＝eq\f(1,a－4)，x2＝－1，x1≠x2.x1是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋a>0，,\f(1,x2)＋a≤0，))即無(wú)解；x2是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋a>0，,\f(1,x1)＋a≤0，))即1<a≤2.于是滿意題意的a∈(1,2]．綜上所述，a的取值范圍為(1,2]∪{3,4}．(3)當(dāng)0<x1<x2時(shí)，eq\f(1,x1)＋a>eq\f(1,x2)＋a，log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋a))>log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋a))，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值與最小值分別為f(t)，f(t＋1)．f(t)－f(t＋1)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋a))－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t＋1)＋a))≤1，即at2＋(a＋1)t－1≥0，對(duì)隨意t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\a