2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第5節(jié)直線(xiàn)平面垂直的判定與性質(zhì)教學(xué)案含解析新人教A版

PAGE1-第5節(jié)直線(xiàn)、平面垂直的判定與性質(zhì)考試要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為動(dòng)身點(diǎn)，相識(shí)和理解空間中線(xiàn)面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題.知識(shí)梳理1.直線(xiàn)與平面垂直(1)直線(xiàn)和平面垂直的定義假如一條直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的隨意直線(xiàn)都垂直，就說(shuō)直線(xiàn)l與平面α相互垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線(xiàn)和平面所成的角(1)定義：一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角，一條直線(xiàn)垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線(xiàn)和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定義：從一條直線(xiàn)動(dòng)身的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面相互垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理假如兩個(gè)平面相互垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α[常用結(jié)論與微點(diǎn)提示]1.兩個(gè)重要結(jié)論(1)若兩平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)(證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的一個(gè)重要方法).2.運(yùn)用線(xiàn)面垂直的定義和線(xiàn)面垂直的判定定理，不要誤會(huì)為“假如一條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的多數(shù)條直線(xiàn)，就垂直于這個(gè)平面”.3.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化診斷自測(cè)1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線(xiàn)都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.()(4)若平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面β內(nèi)的多數(shù)條直線(xiàn)，則α⊥β.()解析(1)直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線(xiàn)都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯(cuò)誤.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤.(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤.(4)若平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面β內(nèi)的全部直線(xiàn)，則α⊥β，故(4)錯(cuò)誤.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(新教材必修其次冊(cè)P162T3改編)設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，直線(xiàn)l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析依題意，由l⊥β，l?α，可以推出α⊥β；反過(guò)來(lái)，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β，因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，故選A.答案A3.(老教材必修2P67練習(xí)T2改編)在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心.解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.圖1(2)如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.因?yàn)镻C⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以PC⊥AB，因?yàn)镻O⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，所以AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高.同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心.圖2答案(1)外(2)垂4.(2024·安徽江南十校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線(xiàn)，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中肯定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m?α B.m⊥n且n∥βC.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β解析由線(xiàn)線(xiàn)平行性質(zhì)的傳遞性和線(xiàn)面垂直的判定定理，可知C正確.答案C5.(2024·湖南湘東南五校聯(lián)考)已知兩個(gè)平面垂直，有下列命題：①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線(xiàn)；②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線(xiàn)；③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面；④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，則此垂線(xiàn)必垂直于另一個(gè)平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.3 B.2 C.1 D.0解析如圖，①在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，BD?平面ABCD，但A1D與BD不垂直，故①錯(cuò)；②在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1內(nèi)隨意一條直線(xiàn)，l與平面ABCD內(nèi)和AB平行的全部直線(xiàn)垂直，故②正確；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D?平面ADD1A1，但A1D與平面ABCD不垂直，故③錯(cuò)；④在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，過(guò)交線(xiàn)AD上的任一點(diǎn)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)l，則l可能與平面ABCD垂直，也可能與平面ABCD不垂直，故④錯(cuò).故選C.答案C6.(2024·全國(guó)Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案C考點(diǎn)一線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)【例1】(2024·廣州一模)在五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2eq\r(5)，∠EAD＝30°.(1)求證：AB⊥平面ADE.(2)求該五面體的體積.(1)證明因?yàn)樵谖迕骟wABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，所以EF∥CD，CD⊥DE.因?yàn)镋F?平面ABCD，CD?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.因?yàn)镋F?平面ABFE，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB.又EF∥CD，所以CD∥AB.因?yàn)镃D＝4，AD＝2，AC＝2eq\r(5)，∴AD2＋CD2＝AC2，所以CD⊥AD.又因?yàn)镃D⊥DE，AD∩DE＝D，AD，DE?平面ADE，所以CD⊥平面ADE.又CD∥AB，所以AB⊥平面ADE.(2)解因?yàn)椤螮AD＝30°，AD＝DE＝2，所以∠ADE＝120°，則S△ADE＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).如圖，延長(zhǎng)AB到G，使得AB＝BG，連接GF，GC，則S△GCF＝S△ADE＝eq\r(3)，所以VGCF－ADE＝eq\r(3)×4＝4eq\r(3)，VB－GCF＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2＝eq\f(2\r(3),3)，所以VABCDEF＝VGCF－ADE－VB－GCF＝4eq\r(3)－eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(10\r(3),3).規(guī)律方法1.證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).2.證明線(xiàn)面垂直的核心是證線(xiàn)線(xiàn)垂直，而證明線(xiàn)線(xiàn)垂直則需借助線(xiàn)面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線(xiàn)面垂直的基本思路.【訓(xùn)練1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】(2024·江西百所名校模擬)如圖，幾何體是由半個(gè)圓柱及eq\f(1,4)個(gè)圓柱拼接而成，其中G，H分別為eq\o(CD,\s\up8(︵))與eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形.(1)證明：平面DFB⊥平面GCBH；(2)若AB＝2eq\r(2)，求三棱錐E－ABG的體積.(1)證明由題意知∠ABF＝eq\f(π,4)，因?yàn)镠為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，所以∠ABH＝eq\f(π,4)，故∠HBF＝eq\f(π,2)，即BF⊥BH.又因?yàn)锽C⊥平面ABF，BF?平面ABF，所以BC⊥BF，又因?yàn)锽C∩BH＝B，所以BF⊥平面GCBH，因?yàn)锽F?平面DFB，所以平面DFB⊥平面GCBH.(2)解連接AH，AE，BE，EG，F(xiàn)H，如圖所示，由圖知，幾何體的體積是VE－ABG＝VA－EFHG＋VB－EFHG－VF－ABE－VH－ABG＝VA－EFHG＋VB－EFHG－VE－ABF－VG－ABH，因?yàn)锳B＝2eq\r(2)，所以BF＝4，BH＝2，由(1)知BF⊥BH，所以FH＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作FH的垂線(xiàn)，垂足分別為A1，B1，則AA1⊥平面EFHG，BB1⊥平面EFHG.計(jì)算得AA1＝eq\f(AF·AHsin\f(3π,4),FH)＝eq\f(2\r(5),5)，BB1＝eq\f(BH·BF,FH)＝eq\f(4\r(5),5)，所以VA－EFHG＋VB－EFHG＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×2eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)＋\f(4\r(5),5)))＝8eq\r(2)，又VE－ABF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝eq\f(8\r(2),3)，VG－ABH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)，所以VE－ABG＝8eq\r(2)－eq\f(8\r(2),3)－eq\f(4\r(2),3)＝4eq\r(2).規(guī)律方法1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理.2.已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直.【訓(xùn)練2】(2024·長(zhǎng)沙模擬)在多面體C－ABDE中，△ABC為等邊三角形，四邊形ABDE為菱形，平面ABC⊥平面ABDE，AB＝2，∠DBA＝eq\f(π,3).(1)求證：AB⊥CD；(2)求點(diǎn)B到平面CDE的距離.(1)證明如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接CO，DO，DA.∵△ABC為等邊三角形，∴CO⊥AB.∵四邊形ABDE為菱形，∠DBA＝eq\f(π,3)，∴△DAB為等邊三角形，∴DO⊥AB.又∵CO∩DO＝O，∴AB⊥平面DOC.∵DC?平面DOC，∴AB⊥CD.(2)解∵平面ABDE⊥平面ABC，CO⊥AB，平面ABDE∩平面ABC＝AB，CO?平面ABC，∴CO⊥平面ABDE.∵OD?平面ABDE，∴CO⊥OD.∵AB＝2，O為AB的中點(diǎn)，∴BO＝1.在Rt△COD中，∵OD＝OC＝eq\r(3)，∴CD＝eq\r(OD2＋OC2)＝eq\r(6).由(1)得AB⊥CD，又ED∥AB，∴ED⊥DC，∴S△CDE＝eq\f(1,2)CD·ED＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×2＝eq\r(6).由題意可得S△BDE＝eq\f(1,2)×2×2×sin120°＝eq\r(3).設(shè)點(diǎn)B到平面CDE的距離為h.由VB－CDE＝VC－BDE，得eq\f(1,3)S△CDE·h＝eq\f(1,3)S△BDE·CO，即eq\f(1,3)×eq\r(6)h＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)，解得h＝eq\f(\r(6),2).故點(diǎn)B到平面CDE的距離為eq\f(\r(6),2).考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題多維探究角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例3－1】(2024·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因?yàn)锳BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.規(guī)律方法1.三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作協(xié)助線(xiàn)進(jìn)行線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)留意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.角度2空間位置關(guān)系與幾何體的度量計(jì)算【例3－2】(2024·浙江卷)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn).(1)證明：EF⊥BC；(2)求直線(xiàn)EF與平面A1BC所成角的余弦值.(1)證明如圖，連接A1E.因?yàn)锳1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，又BC?平面ABC，則A1E⊥BC.又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.又A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F?平面A1EF，所以BC⊥平面A1EF.又EF?平面A1EF，因此EF⊥BC.(2)解如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，GF，則四邊形EGFA1是平行四邊形.由于A1E⊥平面ABC，EG?平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1，又BC?平面A1BC，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線(xiàn)A1G上.連接A1G交EF于點(diǎn)O，則∠EOG是直線(xiàn)EF與平面A1BC所成的角(或其補(bǔ)角).不妨設(shè)AC＝4，則在Rt△A1EG中，A1E＝2eq\r(3)，EG＝eq\r(3).由于O為A1G的中點(diǎn)，故EO＝OG＝eq\f(A1G,2)＝eq\f(\r(15),2)，所以cos∠EOG＝eq\f(EO2＋OG2－EG2,2EO·OG)＝eq\f(3,5).因此，直線(xiàn)EF與平面A1BC所成角的余弦值是eq\f(3,5).規(guī)律方法利用綜合法求空間線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、二面角肯定留意“作角、證明、計(jì)算”是完整統(tǒng)一過(guò)程，缺一不行.(1)線(xiàn)面角的求法：找出斜線(xiàn)在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線(xiàn)，找垂足，要把線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角來(lái)度量.平面角的作法常見(jiàn)的有：①定義法；②垂面法.留意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì).【訓(xùn)練3】如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線(xiàn)段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)證明：PE⊥FG.(2)求二面角P－AD－C的正切值.(3)求直線(xiàn)PA與直線(xiàn)FG所成角的余弦值.(1)證明因?yàn)镻D＝PC且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，所以PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE?平面PDC，所以PE⊥平面ABCD，又FG?平面ABCD，所以PE⊥FG.(2)解由(1)知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又AD⊥CD，PE∩CD＝E，∴AD⊥平面PDC，又PD?平面PDC，∴AD⊥PD，∴∠PDC為二面角P－AD－C的平面角，在Rt△PDE中，PD＝4，DE＝3，∴PE＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，∴tan∠PDC＝eq\f(PE,DE)＝eq\f(\r(7),3).故二面角P－AD－C的正切值為eq\f(\r(7),3).(3)解如圖，連接AC，∵AF＝2FB，CG＝2GB，∴AC∥FG.∴直線(xiàn)PA與FG所成角即直線(xiàn)PA與AC所成角∠PAC.在Rt△PDA中，PA2＝AD2＋PD2＝25，∴PA＝5.又PC＝4.AC2＝CD2＋AD2＝36＋9＝45，∴AC＝3eq\r(5).又cos∠PAC＝eq\f(PA2＋AC2－PC2,2PA·AC)＝eq\f(25＋45－16,2×5×3\r(5))＝eq\f(9\r(5),25).所以直線(xiàn)PA與直線(xiàn)FG所成角的余弦值為eq\f(9\r(5),25).直觀想象——立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題1.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與改變，利用空間形式特殊是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).2.立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的推斷，求軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等.3.一般是依據(jù)線(xiàn)、面垂直，線(xiàn)、面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線(xiàn)的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡.【例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M、N分別是直線(xiàn)CD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界)，記直線(xiàn)D1P與MN所成角為θ，若θ的最小值為eq\f(π,3)，則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線(xiàn)的一部分 D.雙曲線(xiàn)的一部分解析把MN平移到平面A1B1C1D1中，直線(xiàn)D1P與MN所成角為θ，直線(xiàn)D1P與MN所成角的最小值是直線(xiàn)D1P與平面A1B1C1D1所成角，即原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：直線(xiàn)D1P與平面A1B1C1D1所成角為eq\f(π,3)，點(diǎn)P在平面A1B1C1D1的投影為圓的一部分，因?yàn)辄c(diǎn)P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界)，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選B.答案B【例2】如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與P，B重合)，過(guò)點(diǎn)M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得圖形的面積為y，若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()解析過(guò)M作MN⊥AB，交AB于N，則MN⊥平面ABCD，過(guò)N作NQ∥AD，交CD于Q，過(guò)Q作QH∥PD，交PC于H，連接MH，則平面MNQH是所作的平面α，由題意得eq\f(2－x,2)＝eq\f(MN,4)，解得MN＝4－2x，由eq\f(CQ,CD)＝eq\f(QH,PD).即eq\f(2－x,2)＝eq\f(QH,2\r(5))，解得QH＝eq\r(5)(2－x)，過(guò)H作HE⊥NQ，在Rt△HEQ中，EQ＝eq\r(HQ2－HE2)＝2－x，∴NE＝2－(2－x)＝x，∴MH＝x.∴y＝f(x)＝eq\f(（x＋2）（4－2x）,2)＝－x2＋4(0<x<2).∴函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖.故選C.答案C【例3】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體A－BCD中，E、F分別為直線(xiàn)AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且EF＝eq\r(3).若記EF中點(diǎn)P的軌跡為L(zhǎng)，則|L|等于________(注：|L|表示L的測(cè)度，在本題，L為曲線(xiàn)、平面圖形、空間幾何體時(shí)，|L|分別對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度、面積、體積).解析如圖，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)分別在C，D處，滿(mǎn)意EF＝eq\r(3)，此時(shí)EF的中點(diǎn)P在EC，ED的中點(diǎn)P1，P2的位置上；當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，E分別在A，B處，滿(mǎn)意EF＝eq\r(3)，此時(shí)EF的中點(diǎn)P在BF，AF的中點(diǎn)P3，P4的位置上，連接P1P2，P3P4相交于點(diǎn)O，則四點(diǎn)P1，P2，P3，P4共圓，圓心為O，圓的半徑為eq\f(1,2)，則EF中點(diǎn)P的軌跡L為以O(shè)為圓心，以eq\f(1,2)為半徑的圓，其測(cè)度|L|＝2π×eq\f(1,2)＝π.答案πA級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.已知a，b表示兩條不同的直線(xiàn)，α，β表示兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bB.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，則b∥βD.若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β解析對(duì)于A，若a⊥α，α∥β，則a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正確；對(duì)于B，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，∴存在直線(xiàn)m?α，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正確；對(duì)于C，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，又α∥β，所以b?β或b∥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β，故D正確.答案C2.已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩垂直，有下列結(jié)論：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正確的是()A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①②③④解析如圖，因?yàn)镻A⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB?平面PBC，PC?平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正確.答案A3.(2024·昆明診斷)如圖，AC＝2R為圓O的直徑，∠PCA＝45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A、C重合的點(diǎn)，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，則下列不正確的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC解析∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又AC為圓O直徑，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AN?平面ABP，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又PC?平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，又PC?平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正確，C，D明顯正確，故選B.答案B4.在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝1，AB＝eq\r(3).將△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A轉(zhuǎn)到點(diǎn)P，如圖.若D為BC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，AE＝eq\f(\r(3),2)，則AB與平面ADE所成角的正弦值是()A.eq\f(\r(3),8) B.eq\f(\r(3),6) C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),3)解析因?yàn)镈，E分別是BC和PC的中點(diǎn)，所以DE∥PB，又∠CAB＝90°，所以DE⊥PC，又AC＝1，CE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(\r(3),2)，所以AE2＋CE2＝AC2，即AE⊥PC，又DE∩AE＝E，所以PC⊥平面ADE，如圖，延長(zhǎng)ED至F，使得EF＝PB，連接BF，所以BF⊥平面AED，連接AF，所以∠BAF為AB與平面ADE所成的角，所以sin∠BAF＝eq\f(BF,AB)＝eq\f(\f(1,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),6).答案B5.(2024·全國(guó)Ⅲ卷)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則()A.BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B.BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C.BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D.BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)解析取CD的中點(diǎn)O，連接ON，EO，因?yàn)椤鱁CD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO?平面ECD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過(guò)M作CD的垂線(xiàn)，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以N為BD的中點(diǎn)，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)，故選B.答案B二、填空題6.(多填題)如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線(xiàn)中，與PC垂直的直線(xiàn)有____________；與AP垂直的直線(xiàn)有____________.解析因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以PC垂直于直線(xiàn)AB，BC，AC.因?yàn)锳B⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因?yàn)锳P?平面PAC，所以AB⊥AP，與AP垂直的直線(xiàn)是AB.答案AB，BC，ACAB7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿(mǎn)意________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可).解析連接AC，BD，則AC⊥BD，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào)).①A′C⊥BD；②∠BA′C＝90°；③四面體A′BCD的體積為eq\f(1,6).解析∵BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，又A′D?平面A′BD，∴CD⊥A′D.∵AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，∴A′C＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，∴A′B2＋A′C2＝BC2，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°，四面體A′BCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,6).答案②③三、解答題9.(2024·石家莊摸底)如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn).(1)求證：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中點(diǎn)，求證：BD⊥平面AOF.證明(1)如圖，取PD的中點(diǎn)為G，連接FG，AG.∵F是CE的中點(diǎn)，∴FG是梯形CDPE的中位線(xiàn)，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，F(xiàn)G∥CD.∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四邊形ABFG是平行四邊形，∴BF∥AG，又BF?平面ADP，AG?平面ADP，∴BF∥平面ADP.(2)延長(zhǎng)AO交CD于M，連接BM，F(xiàn)M.∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn)，∴四邊形ABMD是正方形，則BD⊥AM，MD＝2PE，∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴FM⊥BD，∵AM∩FM＝M，∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.10.(2024·濰坊調(diào)研)如圖，四棱錐E－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，CD＝2AD，EC⊥底面ABCD.(1)求證：平面ADE⊥平面ACE；(2)(一題多解)若AD＝CE＝2，求三棱錐C－ADE的高.(1)證明∵在?ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝2AD，∴在△ACD中，由余弦定理，得AC＝eq\r(AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC)＝eq\r(AD2＋4AD2－2AD·2AD×\f(1,2))＝eq\r(3)AD，∴AD2＋AC2＝CD2，∴∠DAC＝90°，故AD⊥AC.∵EC⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴EC⊥AD.又∵EC∩AC＝C，AC，EC?平面ACE，∴AD⊥平面ACE.∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACE.(2)解∵AD＝2，∴CD＝4.由(1)知AC＝eq\r(3)AD，∴AC＝2eq\r(3)，∴AE＝eq\r(AC2＋CE2)＝4.法一設(shè)三棱錐C－ADE的高為h.由(1)知AD⊥平面ACE，∴由VD－ACE＝VC－ADE，得eq\f(1,3)·AD·S△ACE＝eq\f(1,3)·h·S△ADE，即eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝eq\f(1,3)·h·eq\f(1,2)×2×4，解得h＝eq\r(3).∴三棱錐C－ADE的高為eq\r(3).法二在△ACE內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為F.由(1)知，平面AED⊥平面ACE，又平面ADE∩平面ACE＝AE，∴CF⊥平面ADE，∴CF為三棱錐C－ADE的高.在Rt△ACE中，CF·AE＝AC·CE，即CF×4＝2eq\r(3)×2，解得CF＝eq\r(3).∴三棱錐C－ADE的高為eq\r(3).B級(jí)實(shí)力提升11.(2024·南昌二中月考)在空間四邊形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，則對(duì)角線(xiàn)AC與BD的位置關(guān)系為()A.相交但不垂直 B.垂直但不相交C.不相交也不垂直 D.無(wú)法推斷解析如圖所示，作AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AO⊥CD，又知AB⊥CD，AB∩AO＝A，∴CD⊥平面ABO.又OB?平面ABO，∴CD⊥OB，同理可得OD⊥BC，∴O為△BCD的垂心，∴OC⊥BD.又知AO⊥BD，AO∩OC＝O，∴BD⊥平面AOC.又AC?平面AOC，∴BD⊥AC.又AC與BD是異面直線(xiàn)，所以AC與BD垂直但不相交，故選B.答案B12.(2024·大連一中月考)如圖，正三角形ABC的中線(xiàn)AF與中位線(xiàn)DE相交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△ADE繞直線(xiàn)DE翻折過(guò)程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題：①恒有直線(xiàn)BC∥平面A′DE；②恒有直線(xiàn)DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE，其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3解析對(duì)于①，∵DE為△ABC的中位線(xiàn)，∴DE∥BC，又知DE?平面A′DE，BC?平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故①正確；對(duì)于②，∵△ABC為等邊三角形，AF為BC邊上的中線(xiàn)，∴BC⊥AF，又知DE∥BC，∴DE⊥AF，∴DE⊥FG，依據(jù)翻折的性質(zhì)可知，DE⊥A′G，又A′G∩FG＝G，∴DE⊥平面A′FG，故②正確；對(duì)于③，由②知DE⊥平面A′FG，又知DE?平面A′DE，∴平面A′FG⊥平面A′DE，故③正確.綜上，正確的命題為①②③.答案D13.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E，要使AB1⊥平面C1DF，則線(xiàn)段B1F的長(zhǎng)為_(kāi)_______.解析設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF，由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\f(1,2)×heq\r(22＋（\