2025屆高考數學一輪復習第10章計數原理概率隨機變量及其分布解答題專項突破六概率與統(tǒng)計的綜合問題創(chuàng)新教學案含解析新人教版

PAGE解答題專項突破(六)概率與統(tǒng)計的綜合問題通過對近幾年高考試題分析，在高考解答題中，概率與回來分析、獨立性檢驗、隨機變量及其分布列相結合的綜合問題既是考查的熱點又是重點，設計成包含概率、隨機變量的數學期望與方差、統(tǒng)計圖表的識別與應用等學問的綜合題，以實際應用問題為載體，考查考生應用數學學問和基本方法分析問題和解決問題的實力．試題難度一般不大，為中、低檔類題目．熱點題型1概率與統(tǒng)計圖表的綜合應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2024·河南模擬)“學習強國”平臺于2019年1月1日上線，它是由中宣部主管以深化學習宣揚習近平新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內容的“PC端＋手機客戶端”兩大終端二合一模式的學習平臺，上線后便成了黨員干部學習的“新助手”．為了調研某地黨員對“學習強國”App的了解程度，探討人員隨機抽取了200名該地的黨員進行調查，將他們三天內在“學習強國”App上所得的分數統(tǒng)計如表所示：分數[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數601002020頻率(1)請完善上表中的數據；(2)若該地區(qū)的黨員在“學習強國”App上的得分聽從正態(tài)分布Z～N(μ，σ2)，其中μ近似為這200名黨員三天內得分的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)，σ2近似為這200名黨員三天內得分的方差，求P(57.4<Z≤83.8)；(3)以表格中的頻率估計概率，若從該地區(qū)全部黨員中隨機抽取4人，記這4人在“學習強國”App三天內的得分不低于80分的人數為X，求X的分布列與數學期望．參考數據：eq\r(5)≈2.2，eq\r(6)≈2.4，eq\r(7)≈2.6.若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.解題思路(1)依據頻率＝eq\f(頻數,樣本容量)計算、填表；(2)先依據平均數和分差的計算公式及提示，求出μ和σ，再利用正態(tài)曲線的對稱性求概率；(3)先依據題意推斷隨機變量X是否聽從二項分布，并確定獨立重復試驗次數和事務發(fā)生的概率；再寫出X的分布列，最終由二項分布的期望公式求值．規(guī)范解答(1)依據題意填寫統(tǒng)計表如下．分數[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數601002020頻率0.30.50.10.1(2)在Z～N(μ，σ2)中，μ＝65×0.3＋75×0.5＋85×0.1＋95×0.1＝75；σ2＝(65－75)2×0.3＋(75－75)2×0.5＋(85－75)2×0.1＋(95－75)2×0.1＝80；∴σ＝4eq\r(5)≈4×2.2＝8.8，∴P(57.4<Z≤83.8)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝1－P(Z≤μ－2σ)－P(Z>μ＋σ)＝1－eq\f(1,2)×(1－0.9544)－eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.8185.(3)由題意知，得分不低于80分的頻率為0.2，則X～B(4,0.2)，計算P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)·0.84＝0.4096，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)·0.2·0.83＝0.4096，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)·0.22·0.82＝0.1536，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)·0.23·0.8＝0.0256，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)·0.24＝0.0016，則X的分布列如下，X01234P0.40960.40960.15360.02560.0016數學期望為E(X)＝4×0.2＝0.8.熱點題型2概率與回來分析的綜合應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2024·安徽省江南十校聯考)某公司生產的某種產品，假如年返修率不超過千分之一，則其生產部門當年考核優(yōu)秀，現獲得該公司2012～2024年的相關數據如表：年份20122013202420242024202420242024年生產臺數x/萬臺2345671011該產品的年利潤y/百萬元2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數/臺2122286580658488部分計算結果：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,x)i＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,y)i＝4，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝72，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝18.045，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝34.5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：年返修率＝\f(年返修臺數,年生產臺數)))(1)從該公司2012～2024年的相關數據中隨意選取3年的數據，用ξ表示3年中生產部門獲得考核優(yōu)秀的次數，求ξ的分布列和數學期望；(2)依據散點圖發(fā)覺2024年數據偏差較大，假如去掉該年的數據，試用剩下的數據求出年利潤y(百萬元)關于年生產臺數x(萬臺)的線性回來方程(精確到0.01)．附：線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解題思路(1)先依據題意確定哪些年份的考核優(yōu)秀，明確ξ全部可能的取值，然后計算有關概率，寫出分布列，最終求數學期望．(2)先依據公式和部分計算結果求原來8組數據中eq\i\su(i＝1,8,x)iyi和eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)，再計算去掉2024年數據之后的eq\o(b,\s\up6(^))和eq\o(a,\s\up6(^)).規(guī)范解答(1)由數據可知該部門2013,2024,2024,2024,2024五個年份的考核優(yōu)秀，故ξ的全部可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(10,56)＝eq\f(5,28)，故ξ的分布列如下，ξ0123Peq\f(1,56)eq\f(15,56)eq\f(15,28)eq\f(5,28)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,56)＋1×eq\f(15,56)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,28)＝eq\f(15,8).(2)由eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝72，得eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋8×eq\o(x,\s\up6(－))2＝360.由eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝34.5，得eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＋8eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝226.5.故去掉2024年的數據之后eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(6×8－6,7)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))′＝eq\f(4×8－3,7)＝eq\f(29,7)，eq\i\su(i≠5,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－))′)2＝eq\i\su(i≠5,7,x)eq\o\al(2,i)－7eq\o(x,\s\up6(－))′2＝360－62－7×62＝72，eq\i\su(i≠5,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－))′)(yi－eq\o(y,\s\up6(－))′)＝eq\i\su(i≠5,7,x)iyi－7eq\o(x,\s\up6(－))′eq\o(y,\s\up6(－))′＝226.5－6×3－7×6×eq\f(29,7)＝34.5，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(34.5,72)≈0.48，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))′－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(29,7)－eq\f(34.5,72)×6≈1.27，所以線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.48x＋1.27.熱點題型3概率與獨立性檢驗的綜合應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2024·淄博試驗中學模擬)隨著科技的發(fā)展，網絡已漸漸融入了人們的生活．網購是特別便利的購物方式，為了了解網購在我市的普及狀況，某調查機構進行了有關網購的調查問卷，并從參加調查的市民中隨機抽取了男、女各100人進行分析，從而得到下表(單位：人)：常常網購間或或不用網購總計男性50100女性70100總計(1)完成上表，并依據以上數據推斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為我市市民網購與性別有關；(2)①現從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人贈送實惠券，求抽取的3人中至少有2人常常網購的概率；②將頻率視為概率，從我市全部參加調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中常常網購的人數為X，求隨機變量X的數學期望和方差．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解題思路(1)先依據2×2列聯表的特點完成表格，再計算K2并作出推斷．(2)①依據第(1)問的2×2列聯表可知，分層抽樣的抽樣比為eq\f(1,10)，進而可確定抽取的10人中常常網購的人數和間或或不用網購的人數，然后用古典概型的概率公式和組合數公式求概率．②確定隨機變量X聽從二項分布，求試驗次數和事務發(fā)生的概率，用二項分布的期望、方差公式求值．規(guī)范解答(1)補全的2×2列聯表如下，常常網購間或或不用網購總計男性5050100女性7030100總計12080200由列聯表可得K2＝eq\f(200×50×30－50×702,100×100×120×80)＝eq\f(25,3)≈8.333>7.879，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為我市市民網購與性別有關．(2)①由題意得所抽取的10名女市民中常常網購的有70×eq\f(10,100