高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義任意角和弧度制 教師

課題：任意角和弧度制

知識(shí)點(diǎn)：任意角和弧度制

1.任意角、角的分類：

①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

②按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

③終邊相同的角：終邊與角a相同的角可寫成a+》360。（％￡Z）.

2.弧度制：

①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，悶=，，/是以角a作為圓心角時(shí)

所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，「為半徑.

③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.比值;與所取的「的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).

3.弧度與角度的換算：360。=2九弧度；180。=冗弧度.

4.扇形的弧長(zhǎng)及面積公式：

弧長(zhǎng)公式：/=|a|r,扇形面積公式：S小形=；/r=產(chǎn).

【注】

（1）對(duì)與角。終邊相同的角的一般形式a+k360°aeZ）的理解；（1）（2）a任意角；（3）終邊相

同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.

（2）利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,

然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角

（3）已知角a的終邊位置，確定形如此＜,杜。等形式的角終邊的方法：先表示角a的范圍，再寫出履、社a

等形式的角范圍，然后就人的可能取值討論所求角的終邊位置

典型例題

例140°角的弧度數(shù)為（）

>7200

D.-----

兀

【答案】B

IT27r

【解析】依題意，40°=40x旃=§?.故答案為：B

例2下列各角中，與-600。終邊相同的角為（）

A.120°B.160°C.240°D.360°

【答案】C

【解析】與600。終邊相同角為公360。-600。（人2）,而左一1時(shí),360°-240°--240°,其它選項(xiàng)都

不存在整數(shù)2,使之成立。故答案為：C.

例3320°用弧度制表示為（）

27cc8兀-16兀20兀

A.---B.---C.----

999

【答案】C

ir167r

【解析】-320=-320x—=--故答案為：C.

1809o

例4若a是第三象限的角，則乃是（）

2

A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角

C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角

【答案】B

例51130。角的終邊落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】因?yàn)?130=3x360+50,且50角的終邊落在第一象限，所以1130。角的終邊落在第

一象限.故答案為：A

例6以下各角中，是第二象限角的為（）

阮「77r

A.---B.----Dc.——5%

363

【答案】B

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，-絲=”-4萬,三為第三象限角，則-三為第三象限角；

3333

對(duì)于B選項(xiàng)，一:〃=§1—2乃，—為第二象限角，則-為第二象限角；

6666

對(duì)于C選項(xiàng)，g為第三象限角；對(duì)于D選項(xiàng)，孚為第四象限角.故答案為：B.

63

例7已知sin9>0且cosOvO,則角。的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】依據(jù)題設(shè)及三角函數(shù)的定義可知角0終邊上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)大于零，所以終邊在第二

象限，應(yīng)選答案B.

例8一扇形的周長(zhǎng)為20,半徑為5,則該扇形的面積為（）

A.30B.25C.45D.50

【答窠】B

-x!0x5=25

【解析】因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為20,半徑為5,所以扇形的弧長(zhǎng)為10,故該扇形的面積為2。

故答案為：B

例10已知扇形的圓心角為150。，面積為g，則該扇形所在圓的半徑為.

【答案】2

【解析】因?yàn)?50。=學(xué)，所以扇形的面積為1ar=當(dāng)產(chǎn)=巨，所以r=4,即r=2,答案為：2

62123

例11半徑為2cm,中心角為30。的扇形的弧長(zhǎng)為cm.

【答案】v

【解析】圓弧所對(duì)的中心角為30。即為今弧度，半徑為2M弧長(zhǎng)為/=|aP=^x2，（cM.故答案

為：y.

3

舉一反三

1.弧度等于（）

6

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】因?yàn)镮rad-（更，所以工=4x（竺2]-30°.故答案為：B.

\7TJ66V717

2.下列各角中，與60。角終邊相同的角是（）

A.300°B.60°C.150°D.240°

【答案】A

【解析】根據(jù)終邊相同角的表示，可得與60°角終邊相同的角為0=60+kx360,keZ、

當(dāng)％=-1時(shí)，可得0=-300,即300°角與60°角終邊相同.故答案為：A.

3.若sinatanavO,且cosa則角。是（）

tana

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

4.已知扇形的周長(zhǎng)是4cm,則扇形面積最大時(shí)，扇形的中心角的弧度數(shù)是（)

A.2B.1C.2D.3

【答案】A

5.20200是（）

A.笫一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【解析】2020。=5x360。+220。，且180°<220°<270°,所以角2020°是第三象限角.

故答窠為：C.

6.若。為第一象限角，則三是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

【答案】D

【解析】因?yàn)?。為第一象限角?/p>

元Ct7E

所以2k兀<a<2k兀+—,ksZ,所以krc<——<k冗+—,ksZ,

224

當(dāng)k=0時(shí)，sina=，j='|,屬于第一象限角，排除B；

當(dāng)k=l時(shí)，乃<三〈半，屬于第三象限角，排除AC；

24

a

所以-是第一或第三象限角

2

故答案為：D

7.時(shí)針經(jīng)過四個(gè)小時(shí)，轉(zhuǎn)過了（）

2兀,2n.一5元」

A.——radB.---radC.—radD.-^rad

3366

【答案】B

【解析】時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過一圈（12小時(shí)）的角度為-2兀rad,

A27r

則時(shí)針經(jīng)過四個(gè)小時(shí)，轉(zhuǎn)過了立?（-2竹碗二一7碗。故答案為：B.

8.達(dá)?芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人

迷.某業(yè)余愛好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓

弧，在嘴角AC處作圓弧的切線，兩條切線交于B點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：

AB=6cm,BC=6cm,AC=\0.392cm(其中且^0.866).根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗

2

莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于()

71e兀c兀r2兀

A.-B.-C.-D.—

3423

【答案】A

【解析】依題意AB=3C=6,設(shè)NA3C=2。.則近汕=艮奧=0.866之3.「.0=',20=".

6233

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為a.則a+28=-，。=].故答案為：A.

9.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而

成，設(shè)扇形的面積為Si,圓面中剩余部分的面積為S2,當(dāng)Si與S2的比值為近二1時(shí)，扇面看上去

2

形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為()

A.(3->/5)7tB.(>/5-1)^C.(6+1)元D.(75-2)71

【答案】A

【解析】S1與S2所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，

設(shè)S1與S?所在扇形圓心角分別為a,p,

a_\/5-1

2

則3,又a+B=2兀，解得a=(3-逐)兀故答案為：A

2冗

10.如果圓心角為彳的扇形所對(duì)的弦長(zhǎng)為26，則扇形的面積為.

47r

【答案】I

3

【解析】如下圖所示，作即，AC,已知AC=2j5,ZABC=y,則AF=百，ZABF=^t

AF_V3_

設(shè)扇形的半徑為A,則一Hfi/ABF.兀，

sin—

3

因此，該扇形的面積為S=!X?X22=￥。故答案為：

2333

課后練習(xí)

1.930。=()

31TIc317r八31TI-31兀

A.——B.——C.——D.——

3456

【答案】D

【解析】'.故答案為：D

18006

2.與2020。角的終邊相同的角可以表示為（）

A.200+Rx360（ZeZ）B.140+Ax360（攵EZ）

C.—220+左x360（kwZ）D.220+2x360（左cZ）

【答案】D

【解析】因?yàn)?020=5x360+220,所以2020與220終邊相同,由此可得與2020角的

終邊相同的角可以表示為220+Ax360（ZwZ）o故答案為：D.

Of

3.若a是第三象限的角，則乃-上是（）

2

A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角

C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角

【答案】B

4.2弧度的角的終邊所在的象限是（）

A.笫一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答窠】B

TT

【解析】因?yàn)?<2<^-,故2弧度的角的終邊所在的象限為第二象限，故答案為：B.

2

5.已知角a為銳角，則下列各角中為第四象限角的是（）

A.a+90。B.a+180°C.a—90。D.a-180°

【答案】C

【解析】因?yàn)榻莂為銳角，所以90。<。+90。v180。，。+90。為第二象限角;

180°<a+180°<270°,a+180°為第三象限角;

-90<a-900<0\a—90°為第四象限角;

—180va—180<—90,a—180為第二象限角.

故答窠為：C

6.已知角a=2022,則角a的終邊落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限