2025年春新湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)課件 1.2 乘法公式

1.2乘法公式第一章整式的乘法逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平方差公式完全平方公式應(yīng)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算知1－講感悟新知知識(shí)點(diǎn)平方差公式11.平方差公式：(x+y)(x－y)

=x2－y2.即多項(xiàng)式x+y

與x-y

的乘積，等于多項(xiàng)式x2-y2.感悟新知知1－講特別解讀?公式的特征：1.等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).2.等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.3.理解字母x，y的意義，平方差公式中的x，y既可代表一個(gè)單項(xiàng)式，也可代表一個(gè)多項(xiàng)式.感悟新知2.平方差公式的推導(dǎo)(1)代數(shù)運(yùn)算證明法：(a+b)(a–b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.知1－講感悟新知(2)幾何圖形證明法：圖1.2-1①中陰影部分的面積為a2-b2，把它分割并拼接成圖1.2-1②中的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為(a+b)，寬為(a–b)，故陰影部分的面積為(a+b)(a–b).故(a+b)(a–b)=a2-b2.知1－講感悟新知3.平方差公式的幾種常見變化形式及應(yīng)用：知1－講變化形式應(yīng)用舉例位置變化(b+a)(－b+a)=(a+b)(a－b)=a2－b2符號(hào)變化(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b)2－a2=b2－a2感悟新知知1－講系數(shù)變化(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2指數(shù)變化(a3+b2)(a3－b2)=(a3)2－(b2)2=a6－b4增項(xiàng)變化(a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2連用公式(a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4知1－練感悟新知易錯(cuò)警示1.平方差公式的右邊是平方差，不是差的平方，不要把x2-y2

與(x-y)2混淆.2.只要多項(xiàng)式的乘法符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式簡(jiǎn)化計(jì)算.知1－練感悟新知

例1考向：利用平方差公式進(jìn)行乘法計(jì)算題型1平方差公式在整式運(yùn)算中的應(yīng)用知1－練感悟新知解：(1)

(5m－3n)

(5m+3n)=

(

5m

)

2－(3n

)

2=25m2

－9n2.(2)

(－2a2+5b)

(－2a2－5b)=

(－2a2

)

2

－(

5b

)

2=4a4

－25b2.解題秘方：先確定公式中的“x”和“y”，然后根據(jù)平方差公式(x+y)(

x－y)

=x2－y2

進(jìn)行計(jì)算.知1－練感悟新知

先把原式調(diào)整為(x+y

)

(x－

y)的形式，再用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.知1－練感悟新知解法提醒運(yùn)用平方差公式計(jì)算的三個(gè)關(guān)鍵步驟：第1步：利用加法的交換律調(diào)整兩個(gè)二項(xiàng)式中項(xiàng)的位置，使之與公式左邊相對(duì)應(yīng)，已對(duì)應(yīng)的就不需調(diào)整，如(3)(4)就必須調(diào)整.第2步：找準(zhǔn)哪個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式分別代表公式中的“x”和“y”.第3步：套用公式計(jì)算，注意將底數(shù)帶上括號(hào).如(1)中(5m

)2不能寫成5m2.知1－練感悟新知計(jì)算：(1)10.3×9.7；(2)2024×2026－20252.例2

解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.題型2平方差公式在數(shù)的巧算中的應(yīng)用知1－練感悟新知解：(1)

10.3×9.7=

(

10+0.3

)×

(

10－0.3

)=102

－0.32=100－0.09=99.91.(2)2024×2026－20252=

(

2025－1

)×

(2025+1

)－20252=20252

－1－20252=－1.知1－練感悟新知方法運(yùn)用平方差公式計(jì)算兩數(shù)乘積時(shí)，關(guān)鍵是找到這兩個(gè)的平均數(shù)，再將原數(shù)與這個(gè)平均數(shù)進(jìn)行比較，變成兩數(shù)的和與差的積的形式.感悟新知知2－講知識(shí)點(diǎn)完全平方公式21.完全平方公式：完全平方公式1：(

x+y

)

2=x2+2xy+y2.即多項(xiàng)式x+y的平方等于x與y的平方和加上x與y的積的2倍.完全平方公式2：(x－y)

2=x2

－2xy+y2.即多項(xiàng)式x-y的平方等于x與y的平方和減去x與y的積的2倍.感悟新知知2－講2.完全平方公式的推導(dǎo)：(1)代數(shù)運(yùn)算證明法(a+b)

2=(a+b)

(a+b)

=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)

2=(a-b)

(a-b)

=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2感悟新知知2－講(2)幾何圖形證明法（數(shù)形結(jié)合思想）圖1.2-2①：大正方形的面積為(a+b)

2=

a2+b2+2ab；圖1.2-2②：左下角正方形的面積為(a-b)

2=a2+b2-2ab.感悟新知知2－講3.完全平方公式的幾種常見變形公式：(1)a2+b2=(a+b)

2

－2ab=(

a－b)

2+2ab；(2)(a+b)

2=(a－b)

2+4ab；(3)(a-b)

2=(a+b)

2

－4ab；(4)(a+b)

2+(a－b)

2=2(

a2+b2)；(5)(a+b)

2

－(a－b)

2=4ab；感悟新知知2－講

知2－講感悟新知特別解讀?1.弄清公式的特征：公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的平方，公式的右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，包括左邊二項(xiàng)式的各項(xiàng)的平方和，另一項(xiàng)是這兩項(xiàng)的乘積的2倍.2.理解字母x，y的意義：公式中的字母x，y可以表示具體的數(shù)，也可以表示含字母的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.3.口訣記憶：頭平方和尾平方，頭(乘)尾兩倍在中央，中間符號(hào)照原樣.感悟新知知2－練計(jì)算：(1)(x+7y

)

2；(2)(－4a+5b

)

2；(3)(－2m

－n

)

2；(4)(2x+3y

)(－2x

－3y

)

.例3兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，若有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)相反，則用平方差公式計(jì)算；若兩項(xiàng)都相同或都相反，則用完全平方公式計(jì)算.考向：利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算題型1完全平方公式在整式運(yùn)算中的應(yīng)用知2－練感悟新知解：(1)原式=x2+2·x·(

7y

)

+

(

7y

)

2=x2+14xy+49y2.(2)原式=

(

5b

－4a

)

2=

(

5b

)

2

－2·(

5b

)

·(

4a

)

+

(

4a

)

2=25b2

－40ab+16a2.解題秘方：先確定公式中的“x”和“y”，再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可.知2－練感悟新知(3)原式=

(2m+n

)

2=

(

2m

)

2+2·(

2m

)

·n+n2=4m2+4mn+n2.(4)原式=－(

2x+3y

)

2=－［(

2x

)

2+2·(

2x

)

·(

3y

)

+

(

3y

)

2］=－(

4x2+12xy+9y2

)=－4x2

－12xy

－9y2.知2－練感悟新知方法?1.利用完全平方公式進(jìn)行整式運(yùn)算的基本步驟：(1)確定公式中的“x”和“y”；(2)確定和差關(guān)系；(3)選擇公式；(4)計(jì)算結(jié)果.2.兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)套用公式時(shí)千萬(wàn)不能漏掉“2xy”

這一項(xiàng)；(2)兩個(gè)平方項(xiàng)的底數(shù)要帶上括號(hào).感悟新知知2－練

例4解題秘方：將原數(shù)轉(zhuǎn)化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計(jì)算即可.題型2完全平方公式在數(shù)的巧算中的應(yīng)用知2－練感悟新知

解：(1)

9992=(

1000－1)

2=10002－2×1000×1+12=1000000－2000+1=998001.知2－練感悟新知方法?利用完全平方公式進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，主要是將底數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和或差，拆分時(shí)主要有兩種形式：一是將與整十、整百或整千接近的數(shù)拆分成整十、整百或整千的數(shù)與相差的數(shù)的和或差；二是將帶分?jǐn)?shù)拆分成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和或差.感悟新知知3－講知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算和推理3遇到多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要先觀察式子的特征，看能否運(yùn)用乘法公式.對(duì)于一些題目，雖然原題不符合公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不能直接運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算，但經(jīng)過整理后能夠運(yùn)用乘法公式.有的可以連續(xù)運(yùn)用公式，有的可部分運(yùn)用公式，但都能起到由繁化簡(jiǎn)、迅速解題的作用.運(yùn)用乘法公式還可以解決代數(shù)推理問題，多為數(shù)學(xué)問題.知3－講感悟新知特別解讀為了體現(xiàn)乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，常運(yùn)用交換律和結(jié)合律進(jìn)行轉(zhuǎn)化.知3－練感悟新知計(jì)算：(1)(

b

－3

)(

b2+9

)(

b+3

)；(2)(x+2y

－3

)(x

－2y+3

)；

(3)(

a+2b+c

)2.例5考向：利用乘法公式計(jì)算和推理題型1乘法公式在計(jì)算中的應(yīng)用知3－講感悟新知方法?三招利用乘法公式簡(jiǎn)化計(jì)算:1.移位置:有時(shí)交換位置，改變運(yùn)算順序，可利用乘法公式簡(jiǎn)化計(jì)算.2.整體

:有時(shí)將其中幾項(xiàng)看成一個(gè)整體，從而構(gòu)造出特殊的結(jié)構(gòu)，利用乘法公式簡(jiǎn)化計(jì)算.3.轉(zhuǎn)化

:將較復(fù)雜的未知問題，經(jīng)過變形，轉(zhuǎn)化為可輕易解決或已解決的問題.知3－練感悟新知解：(1)原式=

(b

－3

)(

b+3

)(

b2+9

)

=(b2

－9

)(

b2+9

)

=b4

－81.解題秘方：緊扣多項(xiàng)式之間的特征，運(yùn)用移位置、整體或轉(zhuǎn)化的方法尋找乘法公式，進(jìn)行計(jì)算.知3－練感悟新知(2)原式=［x+

(2y

－3

)］［x

－(

2y

－3

)］=x2

－(

2y

－3

)

2=x2

－(4y2

－12y+9

)

=x2

－4y2+12y

－9.(3)原式=［(

a+2b

)+c］2=

(

a+2b

)2+2

(

a+2b

)

c+c2=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2.知3－練感悟新知觀察：(2+3)2-22=7×3；(4+3)2-42=11×3.嘉嘉發(fā)現(xiàn)規(guī)律：比任意一個(gè)偶數(shù)大3的數(shù)與此偶數(shù)的平方差能被3整除.驗(yàn)證：(1)(6+3)2-62

的結(jié)果是3的_______倍；(2)設(shè)偶數(shù)為2n，試說明比2n

大3的數(shù)與