高中數(shù)理化知識點(diǎn)總結(jié)

焉中散孽羯鑰點(diǎn)總偌

1、對于集合,一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},C={（x,y）|y=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸與文氏圖解集合問題。

空集就是一切集合的子集，就是一切非空集合的真子集。

如：集合A=卜|*2-2x—3=0},B={x|ax=l}

若BuA,則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

(答：4—1,0,)

3、注意下列性質(zhì)：

（1）集合{a-a2,……，an}的所有子集的個數(shù)是2、

（2）若AqB=AnB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AHB）=（CuA）U（CuB）

4、您會用補(bǔ)集思想解決問題不？（排除法、間接法）

如：已知關(guān)于x的不等式笠三<0的解集為M,若3GM且5史M,求實(shí)數(shù)a

x-a

的取值范圍。

（V3eM,二<0

=>ae1,目U（9,25））

a?5-5L

:5位M,/>0

52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且”（A）和

“非”（「）.

說Aq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若pvq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個為真

若「p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6、命題的四種形式及其相互關(guān)系就是什么？

(互為逆否關(guān)系的命題就是等價命題。)

原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。

7、對映射的概念了解不？映射f:A-B,就是否注意到A中元素的任意性與B中與之對應(yīng)

元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

(一對一,多對一，允許B中有元素?zé)o原象。)

8、函數(shù)的三要素就是什么？如何比較兩個函數(shù)就是否相同？

(定義域、對應(yīng)法則、值域)

9、求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)y業(yè)g2的定義域是

lg(x-3)-

(答：(0，2)U(2,3)U(3,4))

10、如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的定

義域就是。

(答：[a,-a])

11、求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了不？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令t=Jx+1,貝！Jt>0

x=t—-1

.?.f(t)=e'2-1+t2-l

.,.f(x)=ex<1+x2-l(x>0)

12、反函數(shù)存在的條件就是什么？

(---對應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟掌握了不？

(①反解x;②互換x、y;③注明定義域)

1+x(x>0)

如：求函數(shù)f(X)=2)(的反函數(shù)

x-1(x>1)

(答：fT(X)=<

(x<0)

13、反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,aeA,beC,貝ijf(a)=bof(b)=a

.?.f'[f(a)]=fi(b)=a,f[f-'(b)]=f(a)=b

14、如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

(y=f(u),u=(p(x),則丫=.中小)]

(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、夕卜層函數(shù)單調(diào)性相同時f[(p(x)]為增函數(shù)，否則斗(p(x)]為減函數(shù)。)

如：求y=log](—x?+2x)的單調(diào)區(qū)間

2

(設(shè)u=—x?+2x,由u>0貝ij0<x<2

且log]uJ,u=-(x-l)2+1,如圖：

當(dāng)xe(O,1]時，uT,又log】uJ,.,.yJ

2

當(dāng)xe[l,2)時，uJ,又log】uJ,.,.yT

2

……)

15、如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f<x"0則f(x)為增函數(shù)。(在個別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若f，(x)WO呢？

如：已知a>0,函數(shù)f(x)=x3-ax在[1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，貝如的最大

值就是()

A、0B、1C、2D、3

(令『(x)=3x2-a=3(x+以x-臥0

則xW—

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則,|<1，即a<3

，a的最大值為3)

16、函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件就是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立=f(x)為奇函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi):兩個奇函數(shù)的乘積就是偶函數(shù);兩個偶函數(shù)的乘積就是偶函數(shù);一個

偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積就是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，貝肝(0)=0。

如：若=為奇函數(shù)'則實(shí)數(shù)”一

(Tf(x)為奇函數(shù),XGR,又OeR,Af(0)=0

nna,20+a—2

即----n-------0,.".a=1)

2°+l

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,1)時，f(x)=-----,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

(令X0),則一X￡(0,1),f(-x)=~-

又f(x)為奇函數(shù)，，f(x)=-匕二=-上q

4-+11+4

2Xxe(-l,0)

4X+1v-n

又f(0)=0,.?、涛?

2X

-----XG(0,1)

l4x+1I'

17、您熟悉周期函數(shù)的定義不？

(若存在實(shí)數(shù)T(TWO),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù),T就是一個周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答：f(x)是周期函數(shù)，1=22為￡儀)的一個周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(o)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

18、您掌握常用的圖象變換了不？

f(x)與f(-X)的圖象關(guān)于y軸對稱

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱

f(x)與-f(-X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

f(x)與ft(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱

將y=心)圖象左移止。)個單位,丫=矽+.

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)

上移b(b〉0)個單位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”變換:

f(x)——>|f(x)|

f(x)—>f(|x|)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=gg2(x+1)及y=k>g2|x+1|的圖象

y=log2x

19、您熟練掌握常用函數(shù)的圖象與性質(zhì)了不？

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kwo)

VV

(2)反比例函數(shù)：y=—(kw0)推廣為y=b+----(kwO)是中心O，(a,b)

xx-a

的雙曲線。

(3)二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aH0)=a(x+穿圖象為拋物線

2

頂點(diǎn)坐標(biāo)為卜A4ac-b,對稱軸x=-2

4a

h?

開口方向：a>0,向上，函數(shù)丫皿認(rèn)=------

4ac-b2

a<0,向下,y

max4a

應(yīng)用:①“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系一一二次方程

ax2+bx+c=O,△>()時，兩根X］、X2為二次函數(shù)y=a\2+bx+c的圖象與x軸

的兩個交點(diǎn)，也是二次不等式ax?+bx+c>0(<0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程ax?

一根大于k,一根小于kof(k)<0

(4)才旨數(shù)函數(shù)：y=aX(a>0,a^l)

(5)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,awl)

由圖象記性質(zhì)！(注意底數(shù)的限定！)

(6)“對勾函數(shù)"y=x+1(k>0)

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別就是什么？

20、您在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯誤不？

指數(shù)運(yùn)算：a°=l(a*0),a-P=J(a*0)

a

an=Va?*(a>0),an=—(a>0)

Vam

對數(shù)運(yùn)算：log：,M,N=logaM+k)gaN(M>0,N>0)

loga或=logaM-logaN,loga由=-logaM

Nn

對數(shù)恒等式：2幅*=*

10gcbn

對數(shù)換底公式：logab==>lograb=—logab

a

logcam

21、如何解抽象函數(shù)問題？

(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

如：⑴XGR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=—t=f[(—1)(—t)]=f(t,t)

/.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

Af(-t)=f(t)……)

(3)證明單調(diào)性:f(x2)=f[(x2-x,)+x2]=...

22、掌握求函數(shù)值域的常用方法了不？

(二次函數(shù)法(配方法)，反函數(shù)法,換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法

等。)

如求下列函數(shù)的最值：

(1)y=2x—3+J13—4x

2Vx-4

(2)y=V77T

(3)x>3,y=&^

(4)y=x+4+，9-x?(設(shè)x=3cos。,0e[0,可)

/、9

(5)y=4x+—,xe(0,1]

x

23、您記得弧度的定義不？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式與扇形面積公式不？

(Z=|a|?R,S扇=g/?R=Ja|?RD

24、熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

…JT

如：若---<0<0,則sin。，cos0,tan。的大小順序是

8

71

又如：求函數(shù)y=1-V^cos------X的定義域和值域。

2,

(V1-V2)-1—V2sinx>0

6

/.sinx<——，如圖:

2

2k兀-<x42k7r+：(keZ),0<y<Jl+叵

25、您能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象不？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、

對稱軸不？

|sinx|<1,|cosx|<1

對稱點(diǎn)為(k二,0),keZ

y=sinx的增區(qū)間為2kjr-,2卜兀+曰(keZ)

減區(qū)間為2k兀+二,2kn+—(k〃)

22

圖象的對稱點(diǎn)為(km0),對稱軸為*=1＜兀+5化62)

y=cosx的增區(qū)間為［2k7i,2k兀+兀］(kGZ)

減區(qū)間為［2k兀+兀，2k兀+27t］(kGZ)

圖象的對稱點(diǎn)為3兀+叁，0j,對稱軸為x=k兀(k$Z)

y=tanx的增區(qū)間為(k兀一］,ku4-kGZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin(cox+(p)的圖象和性質(zhì)要熟記。[或y=Acos((ox+(p)]

2TC

(1)振幅|A|,周期T=

|w|

若f(X。)=土A,則x=x0為對稱軸。

若f(Xo)=O,則(X。，0)為對稱點(diǎn)，反之也對。

TT3TT

(2)五點(diǎn)作圖：令cox+(p依次為0,—,71,一，2兀，求出x與y,依點(diǎn)

22

(x,y)作圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、3、＜p值)

(B(X］)+(p=0

如圖列出，兀

(O(X2)+(p=-

、乙

解條件組求8、中值

A正切型函數(shù)y=Atan(cox+(p),T=-j—j

27、在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面一一先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的

范圍。如：cosfx+—,xe7t,—,求x值。

.7兀兀5K

?-----<X4------<----，??X4------=

6364

28、在解含有正、余弦函數(shù)的問題時,您注意(到)運(yùn)用函數(shù)的有界性了不？

如：函數(shù)y=sinx+sin|x|的值域是

(xNO時，y=2sinxe[-2,2],x<0時，y=0,.*.ye[-2,2p

29、熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了不？

(平移變換、伸縮變換)

平移公式：

(1)點(diǎn)P(x,y)>P'(x'，y'),則

平移至[y'=y+k

(2)曲線f(x,丫)=0沿向量:=(3k)平移后的方程為f(x-h,y-k)=O

如：函數(shù)y=2sin(2x-三)-1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的

圖象？

=2sin(2x--B1橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,,=2sin2|

縱坐標(biāo)縮短到原來的上倍

--------------------------2----->y=sinx)

30、熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系與誘導(dǎo)公式了不？

如：1=sin-a+cos-a=sec"a-tan-a=tana?cota=cosa?seca=tan—

4

TT

=sin—=cosO=......稱為1的代換。

2

“k?巴士a”化為a的三角函數(shù)一一“奇變，偶不變，符號看象限”，

2

“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

,9兀(?一V)+sin(21兀)

如rl：cos—+tan|

dai?皿sina+tana加

又如：函數(shù)y=-----------------，貝叼的值為

cosa+cota----------------

A、正值或負(fù)值B、負(fù)值C、非負(fù)值D、正值

.sina

sina+sin2a(cosa+1)八..八、

(y=----------強(qiáng)*L=_-----------^>0,Va^O)

…~?cosacos-a(sina+1)

cosa+------'，

sina

31、熟練掌握兩角與、差、倍、降幕公式及其逆向應(yīng)用了不？

理解公式之間的聯(lián)系：

令a=B

sin(a±p)=sinacosp±cosasin0>sin2a=2sinacosa

令a邛

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp->cos2a=cos2a-sin2a

taK”tana±tanj

=2cos2a-1=1-2sin2a=>

1+tana?tanp

2l+cos2a

Vcosa=-------------

2tana2

tan2a=

1-tan2a.1-cos2a

sin-2a=-------------

2

asina+bcosa=7a2+b2sin(a+(p),tan(p=—

sina+cosa=V2sin^a+—

sina+V3cosa=2sin[a+]

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求:項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角

函數(shù)，能求值,盡可能求值。)

具體方法：

(1)角的變換：如p=(a+B)-a,巴生

(2)名的變換:化弦或化切

(3)次數(shù)的變換:升、降基公式

(4)形的變換:統(tǒng)一函數(shù)形式,注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。

如：已知；naco;a_tan(a-[3)=-2,求tan(p-2a)的值。

sinacosacosa2

（由已知得:1,tana

2sin2a2sina2

2

又tan(p-a)

3

2」

?'一2。)=-?)-?]=

,21

1+—?

32

32、正、余弦定理的各種表達(dá)形式您還記得不？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形?

u2.2_2

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=>cosA=-----------------

2be

（應(yīng)用:已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。）

a=2RsinA

b

正弦定理：———=2R<=><b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S.=-a,bsinC

A2

'/A+B+C=7t>/.A+B=7t-C

A+BC

sin(A+B)=sinC,sin=cos一

22

A+B

如AABC中，2sin2--------+cos2c=1

2

（1）求角C；

c

(2)若a?=b?+—，求cos2A-cos2B的值。

2

((1)由已知式得：1—8S(A+B)+2COS2C—1=1

XA+B=兀-C,.*.2cos2C+cosC-1=0

???cosC='或cosC=—l(舍)

2

IT

又0<C<7T,.*.C=-

3

(2)由正弦定理及a2=b?+」c2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—=—

34

3

1—cos2A—1+cos2B——

4

，cos2A-cos2B=——)

4

33、用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

反正弦：arcsinxG--,],xG[-1,1]

反余弦：arccosx40,可，xe[-L1]

反正切：arctanx小，(xE^)

34、不等式的性質(zhì)有哪些？

,、c>00ac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b-i-d

(3)a>b>0,c>d>0=>ac>bd

(4)a>b>0=>—<—,a<b<0=>—>—

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)|x|<a(a>0)o-a<x<a,|x|>aoxv-a或x>a

如：若工<L<0,則下列結(jié)論不正確的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

ab

C.|a|+|b|>|a+b|D.-+->2

ba

答案:C

35、利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,beR')；a+b>2Vab;abW1a:‘求最值時，你是否注

意到“a,beR+”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a+b)其中之一為定

值？(一正、二定、三相等)

注意如下結(jié)論：

忙j等2配篝(a，b，R+)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。

a2+b2+c2>ab-l-be+ca(a,beR)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號。

a>b>0,m>0,n>0,貝lj

bb+m.a+na

—<----<1<----<—

aa+mb+nb

如：若x>0,2-3x-&的最大值為

X------------------

(設(shè)y=2—卜x+±)W2—2^=2—4g

2V3

當(dāng)且僅當(dāng)3x=3,又x>0,...x=時，丫皿=2-46）

x3

又如：x+2y=L則2*+4丫的最小值為

（V2X+22y>2亞通=26,：.最小值為2班）

36、不等式證明的基本方法都掌握了不？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

如：證明l+[y+3+…+斗<2

2232n2

(1+1+4+……+』<一+，+……+-1_

2232n21x22x3(n-l)n

=1+1-……+

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式*>a（aH0）的一般步驟是什么？

（移項(xiàng)通分,分子分母因式分解,x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。）

38、用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

1是偶重根

12

如：(x+l)(x-1)2(x-2)3<0

39、解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

如：對數(shù)或指數(shù)的底分a>1或0<a<1討論

40、對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號,最后取各段的并集。）

例如:解不等式|x-3-|x+l|<l

4

如：若x>0,2-3x-一的最大值為

x---------

（設(shè)y=2—（3x+4142-2疝=2—

當(dāng)且僅當(dāng)3x=±又x>0,.?0=空時，=2-473)

又如：x+2y=l,則2*+4，的最小值為

(V2X+22y>26西=2廳，最小值為20)

36、不等式證明的基本方法都掌握了不？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

如：證明1+4+[+…+二<2

八111,111

(1+F+F+H亍〈Id-----1------F...+7---\-

2232n~1x22x3(n-l)n

.11111

1+1——+---++-------

223n-1n

2—<2)

n

37.解分式不等式怒〉a（a#0）的一般步驟是什么？

（移項(xiàng)通分,分子分母因式分解,x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。）

38、用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

如：(X+l)(x-1)2(X_2)3<0

39、解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

如：對數(shù)或指數(shù)的底分a>1或0<a<1討論

40、對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號,最后取各段的并集。）

例如:解不等式|x-3-|x+l|<l

⑴若m+n=p+q,貝!Ja,”+a,,=ap+aq；

（2）數(shù)列包1｝，包/阿+b｝仍為等差數(shù)列;

Sn,S2n-Sn,S3n—S2n……仍為等差數(shù)列；

（3）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d；

（4）若a”,bn是等差數(shù)列［為前11項(xiàng)和，則9=2叱L;

Dm12m-I

（5）,11｝為等差數(shù)歹（］0511=0112+加（a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為

0的二次函數(shù)）

S”的最值可求二次函數(shù)S,,=an2+bn的最值；或者求出｛a0｝中的正、負(fù)分界

項(xiàng)，即:

la>0

當(dāng)為〉0,d<0,解不等式組廣一八可得S”達(dá)到最大值時的n值。

1amW0

a<0

當(dāng)為<0,d>0,由“-可得S”達(dá)到最小值時的n值。

如：等差數(shù)列｛aj,Sn=18,an+an_1+an_2=3,S3=1,貝!Jn二

+a

（由+%-1n-2=3=>3an_）=3,..an_）=1

又S3=?；的）?3=3a2=1,/.a2=

.?.n=27)

44、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：殳叱=4（q為常數(shù)，q。0）,a_=a|q"T

an

等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列=>G?=xy,或6=±m(xù)^

na1(q=1)

前n項(xiàng)和：S（要注意?。?/p>

(qw1)

性質(zhì)：｛a0｝是等比數(shù)列

⑴若m+n=p+q,貝％?an=ap,aq

(2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等比數(shù)列

45.由Sn求a”時應(yīng)注意什么？

(n=l時，a,=S,,nN2時，an=Sn—Sn_,)

46、您熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法不？

例如:⑴求差(商)法

如：｛aj滿足+5a2+.....+^7an-2n+5<1>

解：n=l口寸，—a.=2x1+5,/.a,=14

2

nN2時，ya,+p-a2+....+^^”1=211-1+5<2>

<1>—<2>得：—a,、=2

2"

14(n=1)

2n+l(n>2)

［練習(xí)］

數(shù)列{aj滿足S0+Sn+i=gan+"a1=4,求a”

（注意到2向=5用-511代入得：》=4

又勒=4,...{Sj是等比數(shù)列，Sn=4n

n>2Bj-,an=Sn-Sn_,=3?4

(2)疊乘法

例如：數(shù)列｛aj中，a,=3,生旦=」一,求丁

ann+1

a

解.阻.阻....n_j_.2.........n-],.an_1

H|a2an_j23nn

.3

?乂a[=3，??3—

nn

(3)等差型遞推公式

由-a「i=f(n)，a(=a0,求用迭加法

nN2時,a2-aj=f(2)

%一22T⑶,兩邊相加，得:

an-an-!=f(n).

an-a,=f(2)+f(3)+……+f(n)

/.an=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)

[練習(xí)]

n_1

數(shù)列｛aj,at=l,an=3+an.,(n>2),施口

(an=l(3"-l))

(4)等比型遞推公式

an=can_1+dd為常數(shù)，c#0,crl,d#O)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)a。+x=c(an_,+x)

na”=cae+(c-l)x

令(c-l)x=d,x=—-

c-1

...八+旦］是首項(xiàng)為由+a,c為公比的等比數(shù)列

Ic-1c-1

.,dd?Cn-1

,?a”Fa,+c^l

［練習(xí)］

數(shù)列｛a,,｝滿足a1=9,3an+1+an=4,求3門

(5)倒數(shù)法

2a

例如：a,=1,a=—^7，求a“

n+la”+2

I__.>1U+211

由已知得：——=—n—=-+—

^n+l2an2Hn

1_____

an+|an2

.一,為等差數(shù)列，-=1,公差為1

lan]2

J1+("1)?g=g(n+l)

a.

.2

??an=---7

n+1

47、您熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)與的常用方法不？

例如：(1)裂項(xiàng)法:把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之與，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。

如：｛a/是公差為d的等差數(shù)列，求￡」一

k=l^k^k+l

解:由~~7=-［-———(dH0)

ak-ak+1ak(ak+d)d<akak+1；

k=ldkdk+lk=luVdkdk+R

平」)

dva,an+l；

［練習(xí)］

求和：1+」一+——-——++---------------

1+21+2+31+2+3+....+n

(2)錯位相減法：

若｛a0｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛a,,bn｝(差比數(shù)列)前n項(xiàng)

和，可由Sn-qS”求S。，其中q為｛bj的公比。

23n-1

如：Sn=l+2x+3x+4x+....+nx<1>

234n-111

x,Sn=x+2x+3x+4x4-....+(n—l)x4-nx<2>

2n-1n

<l>-<2>:(1-X)Sn=1+X+X+....+x-nx

,n(n+1)

x=l時，Sn=1+2+3+...+n=-^——

n2

(3)倒序相加法:把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加。

S?=a,+a+...+a?,+a.

11'22nn｝相加

Sn=an+an-l+.............+a2+ai.

2Sn=(a,+an)+(a2+an_I)+....+(a,+an)....

［練習(xí)］

已知f(X)=,則f(1)+f(2)+f(g)+f(3)+f(g)+f(4)+f(j=

(MA、/nx2IxJ_x2

_L_=1

1x71+x2i+(l)1+x1+x2

.?.原式=￡⑴+f(2)+f(1]+f(3)+f^+_f(4)+f&)_

=-+l+l+l=3-)

22

48、您知道儲蓄、貸款問題不？

△零存整取儲蓄(單利)本利與計(jì)算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利與為：

卜咂±Dr］……等差問題

S=p(l+r)+p(l+2r)+....+p(l+nr)=pn-

n2

△若按復(fù)利，如貸款問題一一按揭貸款的每期還款計(jì)算模型(按揭貸款一一分期等額歸

還本息的借款種類)

若貸款(向銀行借款)P元，采用分期等額還款方式,從借款H算起，一期(如一年)后為第一

次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r(按復(fù)利),那么每期應(yīng)還x元，滿足

p(l+r)"=x(l+r)"-1+x(l+r)n-2+........+x(l+r)+x

l-(l+r)n

=X

l-O+r)

.、pr(l+r)n

??X—

(l+r)"-1

p----貸款數(shù),r-----利率,n-----還款期數(shù)

49、解排列、組合問題的依據(jù)就是:分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

(1)分類計(jì)數(shù)原理：N=ni]+m2+........+mn

(m1為各類辦法中的方法數(shù))

分步計(jì)數(shù)原理：N=ni]?m2.......mn

(m1為各步驟中的方法數(shù))

⑵排列：從n個不同元素中，任取m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A：：.

Ar=n(n-l)(n-2)......(n-m+1)=-~~n'(m<n)

(n—m)!

規(guī)定：0!=l

(3)組合：從n個不同元素中任取m(mWn)個元素并組成一組，叫做從n個不

同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為C：.

…A：n(n-1)……(n-m+1)n!

C--------------------------------------------------

"A：m!m!(n-m)!

規(guī)定：C：=l

(4)組合數(shù)性質(zhì):

mn-mni1111n,

Cn=Cn，Cn+Cn-=Cn+l,,C0n+Cn++C：=2”

50、解排列與組合問題的規(guī)律就是：

相鄰問題捆綁法;相間隔問題插空法;定位問題優(yōu)先法;多元問題分類法;至多至少問題間

接法;相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

如:學(xué)號為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

Xje{89,90,91,92,93卜(i=l,2,3,4)且滿足x1<x?<X3<X4,

則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況就是()

A、24B、15C、12D、10

解析:可分成兩類：

(1)中間兩個分?jǐn)?shù)不相等，

□□□□

X1<x2<x3<x4

有C；=5(種)

(2)中間兩個分?jǐn)?shù)相等

X]<x2=x3<x4

相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來,分別有3,4,3種,...有10種。

，共有5+10=15(種)情況

51、二項(xiàng)式定理

(a+b)n=C：a"+C>n-'b+C；an-2b2+—+C>n-I'br+-+C^bn

nrr

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1-C>-b(r=0,1……n)

C：為二項(xiàng)式系數(shù)(區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù))

性質(zhì)：

(1)對稱性：C：=C7(r=0,1,2,……，n)

(2)系數(shù)和：c^+c^+-+q=2n

C：+C：+C：+…=C：+C：+C：+…=2^

(3)最值:n為偶數(shù)時,n+1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第

項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為C：；n為奇數(shù)時，(n+1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式

1_u[n-1n+1

系數(shù)最大即第項(xiàng)及第項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為cF=cj

22

如：在二項(xiàng)式(x-l)”的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為(用數(shù)字

表示)

(Vn=ll

共有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，且為第匕=6或第7項(xiàng)

2

由C；H~(T)r，，取T=5即第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最?。?/p>

Y=V=-426

1042()<M

又如：(1-2X)"=a()+a|X+a2X?+....+a20(Mx(xeR),貝U

a

(o+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+....+(a0+a2004)=(用數(shù)字作答)

(令x=0,得：a0=1

令x=L得：a0+a2+....+a2(XM—1

原式=2003a0+(a()+a1+....+a2004^=2003x1+1=2004)

52、您對隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉不？

(1)必然事件Q,P(Q)=1,不可能事件6P(4>)=0

(2)包含關(guān)系：AuB,“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。

(3)事件的和(并)：A+B或AUB“A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B

的與(并)。

(4)事件的積(交)：A-BgKAnB“A與B同時發(fā)生”叫做A與B的積。

(5)互斥事件(互不相容事件)：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

A?B=(|)

AB

(6)對立事件(互逆事件)：

“A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立(逆)事件，A

AljA=dAAA—(j>

(7)獨(dú)立