2015年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點(diǎn)33 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

高考試題分類解析.11.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ文科·T18)(12分)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE⊥平面ABCD,(1)證明:平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為63【解題指南】(1)先證明AC⊥平面BED,再證明平面AEC⊥平面BED.(2)利用三棱錐E-ACD的體積為63求出AB的值,然后求出△EAC,△EAD,△【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=32x,GB=GD=x因?yàn)锳E⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=32由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形,可得BE=22由已知得,三棱錐E-ACD的體積故x=2.從而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面積為3,△EAD的面積與△ECD的面積均為5.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+25.12.(2015·江蘇高考·T16)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1求證:(1)DE∥平面AA1C(2)BC1⊥AB1.【解題指南】(1)通過(guò)證明DE∥AC證明DE∥平面AA1C1C.(2)通過(guò)證明BC1⊥平面AB1C證明BC1【解析】(1)由題意知,E是B1C的中點(diǎn).在三角形AB1C中,D是AB1的中點(diǎn),所以DE是三角形AB1C的中位線,所以DE∥AC.又因?yàn)锳C?平面AA1C1C,DE?平面AA(2)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BB1C1C,所以AC⊥BC1.又因?yàn)锽C=CC1,所以BB1C1C是正方形,所以BC1⊥B1C.又B1C∩AC=C,所以BC113.(2015·天津高考文科·T17)(本小題滿分13分)如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,點(diǎn)E,F分別是BC,A1C的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面A1B1BA.(2)求證:平面AEA1⊥平面BCB1.(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小.【解題指南】(1)要證明EF∥平面A1B1BA,只需證明EF∥BA1且EF?平面A1B1BA.(2)要證明平面AEA1⊥平面BCB1,可證明AE⊥BC,BB1⊥AE.(3)取B1C中點(diǎn)N,連接A1N,則∠A1B1N就是直線A1B1與平面BCB1所成角,在Rt△A1NB1中,由sin∠A1B1N=A1NA1B=12,得直線A1B【解析】(1)如圖,連接A1B,在△A1BC中,因?yàn)镋和F分別是BC,A1C的中點(diǎn),所以EF∥BA1,又因?yàn)镋F?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)因?yàn)锳B=AC,E為BC中點(diǎn),所以AE⊥BC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,從而BB1⊥AE,又BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,又因?yàn)锳E?平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1.(3)取BB1的中點(diǎn)M和B1C的中點(diǎn)N,連接A1M,A1N,NE.因?yàn)镹和E分別為B1C,BC的中點(diǎn),所以NE∥BB1,NE=12BB1,故NE∥AA1,NE=AA1,所以A1N∥AE,A1又因?yàn)锳E⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,從而∠A1B1N就是直線與平面所成的角.在△ABC中可得AE=2,所以A1N=AE=2,因?yàn)锽M∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB.又由AB⊥BB1得A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中可得A1B1=4.在Rt△A1NB1中因此∠A1B1N=30°,所以直線A1B1與平面BCB1所成的角為30°.14.(2015·湖北高考理科·T19)《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由.(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為QUOTE,求QUOTE的值.【解題指南】（Ⅰ）由側(cè)棱底面易知，；而底面為長(zhǎng)方形，有，由線面垂直的判定定理知平面，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)定理可得；在中，易得，再由線面垂直的判定定理即可得出結(jié)論.由平面，平面，進(jìn)一步可得四面體的四個(gè)面都是直角三角形，（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）證明結(jié)論，并根據(jù)棱錐的體積公式分別求出，即可得出所求結(jié)果.【解析】方法一:(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD為長(zhǎng)方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD,所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體DBEF的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體DBEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如圖,在面PBC內(nèi),延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角,設(shè)，，有，在Rt△PDB中,由,得,則,解得.所以故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，.方法二:(1)如圖,以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=DC=1,BC=λ,則D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以,,于是,即PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因?yàn)?,則DE⊥PC,PB∩PC=P,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體DBEF的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體DBEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)由PD⊥平面ABCD,所以是平面ABCD的一個(gè)法向量;由(1)知,PB⊥平面DEF,所以是平面DEF的一個(gè)法向量.若平面DEF與平面ABCD所成二面角的大小為，則，解得.所以故當(dāng)平面與平面所成二面角的大小為時(shí)，.15.(2015·湖北高考文科·T20)《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),連接DE,BD,BE.(1)證明:DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)記陽(yáng)馬P-ABCD的體積為V1,四面體EBCD的體積為V2,求QUOTE的值.【解題指南】(1)由側(cè)棱PD⊥底面ABCD易知,PD⊥BC;而底面ABCD為長(zhǎng)方形,有BC⊥CD,由線面垂直的判定定理知BC⊥平面PCD,進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥DE;在△PCD中,易得DE⊥PC,再由線面垂直的判定定理即可得出結(jié)論.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,進(jìn)一步可得四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形,即可得出結(jié)論;(2)結(jié)合(1)證明結(jié)論,并根據(jù)棱錐的體積公式分別求出V1,V2,即可得出所求結(jié)果.【解析】(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD為長(zhǎng)方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.DE?平面PCD,所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(2)由已知,PD是陽(yáng)馬P-ABCD的高,所以V1=QUOTESABCD·PD=QUOTEBC·CD·PD;由(1)知,DE是鱉臑D-BCE的高,BC⊥CE,所以V2=QUOTES△BCE·DE=QUOTEBC·CE·DE.在Rt△PDC中,因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE=CE=QUOTECD,于是16.（2015·重慶高考文科·Ｔ20）如題（20）圖，三棱錐中，平面平面，在線段上，且點(diǎn)F在線段AB上，且(1)證明：平面；（2）若四棱錐的體積為，求線段的長(zhǎng).【解題指南】（1）直接利用等腰三角形的性質(zhì)及線面垂直的定義證明即可（2）設(shè)出邊的長(zhǎng)度為，用表示出的體積，進(jìn)而可求出的長(zhǎng).【解析】（1）證明：如答（20）圖，由知，為等腰中邊的中點(diǎn)，故平面平面，平面平面，平面所以平面，從而因?yàn)楣蕪亩c平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面（2）解：設(shè)則在直角中，從而由知，得故即由從而四邊形的面積為由（1）知，平面，所以為四棱錐的高在直角中，體積故得解得或，由于可得或所以，或17.(2015·福建高考文科·T20)(本小題滿分12分)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D為線段AC的中點(diǎn),求證:AC⊥平面PDO.(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值.(3)若BC=2,點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE的最小值.【解題指南】(1)證出PO⊥AC即可.(2)只需△ABC的面積最大,當(dāng)CO⊥AB時(shí),△ABC的面積最大.(3)在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至與平面PAB共面.【解析】方法一:(1)在△AOC中,因?yàn)镺A=OC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DO.又PO垂直于圓O所在的平面,所以PO⊥AC.因?yàn)镻O∩DO=O,所以AC⊥平面PDO.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上,所以當(dāng)CO⊥AB時(shí),C到AB的距離最大,且最大值為1.又AB=2,所以△ABC面積的最大值為12×2×又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1,故三棱錐P-ABC體積的最大值為13×1×1=1(3)在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以PB=12+1同理PC=2,所以PB=PC=BC,在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P,使之與平面ABP共面,如圖所示.當(dāng)O,E,C′共線時(shí),CE+OE取得最小值,又因?yàn)镺P=OB,C′P=C′B,所以O(shè)C′垂直平分PB,即E為PB中點(diǎn).從而OC′=OE+EC′=22+=2+亦即CE+OE的最小值為2+方法二:(1)(2)同方法一.(3)在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以∠OPB=45°,PB=12+12=所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°,在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BC′P,使之與平面ABP共面,如圖所示,19.(2015·陜西高考文科·T18)(本小題滿分12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn),將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置,得到四棱錐A(1)證明:CD⊥平面A1OC.(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為362,求a的值.【解題指南】(1)運(yùn)用E是AD的中點(diǎn),判斷得出BE⊥AC,BE⊥面A1OC,考慮CD∥BE,即可判斷CD⊥面A1OC.(2)運(yùn)用好折疊之前、之后的圖形得出A1O是四棱錐A1-BCDE