第三章 基本幾何體的投影

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠掌握常見的基本幾何體三面投影的作圖方法2.能夠掌握常見基本幾何體切口投影的作圖方法3.具有二維平面和三維空間互相轉(zhuǎn)換的想象能力第3章

基本幾何體的投影工程制圖基礎(chǔ)

工程上的建筑物、構(gòu)筑物，都具有外形各異的立體形狀，但是無論其外形多么復(fù)雜，都可以看成是由一些簡(jiǎn)單的幾何形體組成的，如圖所示。這些最簡(jiǎn)單的具有一定規(guī)則的幾何形體稱為基本幾何體。換言之，建筑形體是一個(gè)組合體，都可以由若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本幾何體組成。

基本幾何體是構(gòu)成組合體的基本單元?；編缀误w可分為平面立體和曲面立體兩大類，其中平面立體包括棱柱、棱錐、棱臺(tái)等，他們都是由平面圍成的；曲面立體包括圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、環(huán)體等，它們都是由曲面或曲面和平面圍成的。常見的基本幾何體如圖所示。3.1平面立體的投影3.2曲面立體的投影第3章

基本幾何體的投影工程制圖基礎(chǔ)由平面所圍成的立體稱為平面立體。本章主要介紹棱柱體和棱錐體的投影。3.1.1棱柱體的投影1.四棱柱的投影2.三棱柱的投影3.1.2棱錐體的投影3.1.3平面立體的切口投影1.棱柱體的切口投影2.棱錐體的切口投影3.1平面立體的投影3.1.1棱柱體的投影棱柱體包括三棱柱、四棱柱、多棱柱等，最簡(jiǎn)單的棱柱體是長方體（即四棱柱）。1.四棱柱的投影如圖3.3所示，以正四棱柱為例，假設(shè)將其放置成上、下底面與水平投影面平行，并有兩個(gè)棱面平行于正投影面（如圖3.3a所示）。3.1.1棱柱體的投影在H面：六個(gè)棱面中的上、下兩個(gè)均為水平面，它們?cè)贖面投影重合并反映實(shí)形，其余四個(gè)面均與H面垂直，在H面投影積聚為兩兩相互平行的直線。在V面：六個(gè)棱面中的前、后兩個(gè)均為正平面，它們的V面投影重合并反映實(shí)形，其余四個(gè)面均與V面垂直，在V面投影積聚為兩兩相互平行的直線。在W面：六個(gè)棱面中的左、右兩個(gè)均為側(cè)平面，它們的W面投影重合并反映實(shí)形，其余四個(gè)面均與W面垂直，在W面投影積聚為兩兩相互平行的直線。因此，四棱枝的三面投影如圖3.3b所示。3.1.1棱柱體的投影2.三棱柱的投影如圖3.4所示，三棱柱共有五個(gè)平面，上、下兩個(gè)平面互相平行，其余三個(gè)側(cè)面均與上、下兩面垂直。假設(shè)將其放置成上、下底面與水平投影面平行，后側(cè)面平行于V投影面（如圖3.4a所示）。在H面：五個(gè)棱面中的上、下兩個(gè)均為水平面，它們?cè)贖面投影重合并反映實(shí)形，其余三個(gè)側(cè)面均與H面垂直，在H面投影積聚為三條直線。在V面：三個(gè)側(cè)面中的左右兩個(gè)側(cè)面與V面相交，在V投影為小于實(shí)形的類似圖形；后側(cè)面與V面平行，在V面投影反映實(shí)形。左、右兩個(gè)側(cè)面在V面投影面積之和等于后側(cè)面在V面的投影面積。在W面：上、下兩個(gè)水平面在W面投影積聚成兩條直線；后側(cè)面垂直于W面，在W面也積聚成一條直線；左右兩側(cè)面與W面相交，在w面投影反映小于實(shí)行的類似圖形并重合。因此，三棱枝的三面投影如圖3.4b所示。3.1.2棱錐體的投影棱錐體包括三棱錐、四棱錐、五棱錐等，最簡(jiǎn)單的棱錐體是三棱錐。如圖3.6所示，以正三棱柱為例，假設(shè)將其放置成下底面與水平投影面平行，AC與OX平行。正三棱錐SABC，共有四個(gè)表面，其中△ABC是水平面，△SAB和△SBC是一般位置平面，△SAC是側(cè)垂面。在V面：△s′a′b′、△s′b′c′、△s′a′c′是三棱錐的三個(gè)側(cè)面的投影。底面△ABC投影積聚成一條水平線；在H面：底面△ABC投影反映實(shí)形；錐頂S投影位于△ABC的中心，它與三個(gè)角點(diǎn)的連線分別是：sa、sb、sc。△SAB、△SBC、△SAC三個(gè)投影面積之和等于△ABC的投影面積。在W面：△SAC是側(cè)垂面，在W面投影積聚成一條直線s″a″，△ABC是水平面在W面投影積聚成一條水平線a″b″。兩個(gè)側(cè)面△SAB、△SBC在W面投影重合。3.1.3平面立體的切口投影平面立體的切口，如圖3.8所示。三棱錐被一個(gè)截平面切割，切割后的截?cái)嗝婢褪瞧矫媪Ⅲw的切口。如要求出平面立體的切口投影，實(shí)際是要先求出平面立體與截平面的交點(diǎn)（即截交點(diǎn)）的投影，然后連線各個(gè)截交點(diǎn)。三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的連線稱為棱線，三棱錐各個(gè)平面稱為棱面。3.1.3平面立體的切口投影1.棱柱體的切口投影例題3-3：如圖3.9a所示，五棱柱被一截平面P切割，已知切割后五棱柱的V投影，截平面P為正錘面，求五棱柱三面的切口投影。分析：要求出五棱柱的切口投影，只要求出五棱柱的5個(gè)截交點(diǎn)的投影，然后按照順序把“同一棱面上的截交點(diǎn)”連線，并判斷截交線的可見性，可見的截交線以實(shí)線表示，不可見的截交線以虛線表示。3.1.3平面立體的切口投影1.棱柱體的切口投影例題3-3：如圖3.9a所示，五棱柱被一截平面P切割，已知切割后五棱柱的V投影，截平面P為正錘面，求五棱柱三面的切口投影。分析：要求出五棱柱的切口投影，只要求出五棱柱的5個(gè)截交點(diǎn)的投影，然后按照順序把“同一棱面上的截交點(diǎn)”連線，并判斷截交線的可見性，可見的截交線以實(shí)線表示，不可見的截交線以虛線表示。解：（1）在V面：按照順序標(biāo)注上5個(gè)截交點(diǎn)1′、2′、3′、4′、5′，其中2′與5′以及3′與4′在V面是重影點(diǎn)。因截平面P是正錘面，在V面積聚成一條直線，因此，V面的切口投影為一條直線，且為可見直線。（2）在H面：根據(jù)“長對(duì)正”求出5個(gè)截交點(diǎn)1、2、3、4、5，因五條截交線1-2、2-3、3-4、4-5、5-1均在5個(gè)垂直于H面的棱面上，5個(gè)棱面投影在H面有積聚性，因此，五條截交線與棱面投影重合，且均為可見。（3）在W面：根據(jù)“寬相等，高平齊”分別求出1″、2″、3″、4″、5″。按照1″-2″-3″-4″-5″-1″順序連線，從左往右看W面上的五條截交線均為可見。（4）在W面：豎向五條棱線和底平面加粗，其中間一條棱線從左往右看，為不可見，所以用虛線表示。說明：棱柱體切口投影的各條截交線要加粗，切割體各條棱線也要加粗，詳見如3.9b所示。3.1.3平面立體的切口投影2.棱錐體的切口投影例題3-4：如圖3.10a所示，四棱錐被一截平面P切割，已知切割后四棱錐的V投影，截平面P為正錘面，求四棱錐三面的切口投影。分析：四棱錐切口投影的解題思路同前五棱柱的切口投影。3.1.3平面立體的切口投影2.棱錐體的切口投影例題3-4：如圖3.10a所示，四棱錐被一截平面P切割，已知切割后四棱錐的V投影，截平面P為正錘面，求四棱錐三面的切口投影。分析：四棱錐切口投影的解題思路同前五棱柱的切口投影。解：（1）在V面：按照順序標(biāo)注上4個(gè)截交點(diǎn)1′、2′、3′、4′，其中2′與4′在V面是重影點(diǎn)。因截平面P是正錘面，在V面積聚成一條直線，因此，V面的切口投影為一條直線，且為可見直線。（2）在H面：根據(jù)“長對(duì)正”求出2個(gè)截交點(diǎn)3、1，根據(jù)“高平齊”在W面上求出4″、2″，再根據(jù)“長對(duì)正，寬相等”在H面求出4、2，按照1-2-3-4-1順序連線，從上往下看在H面四條截交線均為可見。（3）在W面：根據(jù)“高平齊”分別求出1″、3″。按照1″-2″-3″-4″-1″順序連線，從左往右看W面上的四條截交線均為可見。（4）在W面：過錐頂?shù)乃臈l棱線和底平面加粗，其中間一條棱線從左往右看，為不可見，所以用虛線表示。說明：棱椎體切口投影的各條截交線要加粗，切割體各條棱線也要加粗，詳見如3.10b所示。3.1.3平面立體的切口投影2.棱錐體的切口投影例題3-5：如圖3.11a所示，三棱錐被兩個(gè)截平面切割，一個(gè)截平面均為正錘面，一個(gè)截平面為水平面。已知切割后三棱錐的V投影，求三棱錐的切口投影。分析：三棱錐切口投影的解題思路同前四棱錐的切口投影。3.1.3平面立體的切口投影2.棱錐體的切口投影例題3-5：如圖3.11a所示，三棱錐被兩個(gè)截平面切割，一個(gè)截平面均為正錘面，一個(gè)截平面為水平面。已知切割后三棱錐的V投影，求三棱錐的切口投影。分析：三棱錐切口投影的解題思路同前四棱錐的切口投影。解：（1）在V面：按照順序標(biāo)注上6個(gè)截交點(diǎn)1′、2′、3′、4′、5′、6′，其中2′與5′在V面是重影點(diǎn)。因兩個(gè)截平面均與V面垂直，在V面積聚成兩條直線，因此，V面的切口投影為兩條相交直線，且均為可見直線。（2）在W面：根據(jù)“高平齊”分別求出1″、3″、4″、5″、6″，其中5″、6″兩點(diǎn)在W面是重影點(diǎn)。根據(jù)“長對(duì)正”在H面上求出2點(diǎn)（利用2點(diǎn)在水平面上的投影），再根據(jù)“寬相等”在W面求出2″點(diǎn)。按照1″-2″-3″-4″-5″-6″-1″順序連線，從左往右看W面上的六條截交線均為可見（其中截交線1″2″投影被截交線5″6″投影重合）。（3）在H面：根據(jù)“長對(duì)正”求出截交點(diǎn)6、4。過6點(diǎn)分別做兩條平行于底平面兩條邊的平行線，可先求出1點(diǎn)，再根據(jù)“長對(duì)正”求出5點(diǎn)。根據(jù)“寬相等”求出3點(diǎn)。按照1-2-3-4-5-6-1順序連線，從上往下看在H面六條截交線均為可見。請(qǐng)注意：還有一條交線是2點(diǎn)和5點(diǎn)連線，在H面為不可見，用虛線表示。說明：棱椎體切口投影的各條截交線要加粗，切割體各條棱線也要加粗，詳見如3.11b所示。

由曲面所圍成的立體或者由曲面和平面所圍成的立體稱為曲面立體。常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體、圓環(huán)等，本章主要介紹圓柱、圓錐、球體的投影。（一）曲面曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的。這條運(yùn)動(dòng)的直線或曲線稱為曲面的母線。母線移動(dòng)到曲面上的任一位置時(shí)，稱為曲面的素線，如圖3.12所示。曲面可以分為直線曲面和曲線曲面。3.2曲面立體的投影1.直線曲面由直線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面稱為直線曲面，如圓柱曲面、圓錐面。圓柱曲面是由一條直線圍繞一條軸線并始終保持平行和等距旋轉(zhuǎn)而成的，如圖3.12a所示。圓錐面是一條直線與軸線相交于一點(diǎn)并始終保持一定夾角旋轉(zhuǎn)而成的，如圖3.12b所示。2.曲線曲面由曲線運(yùn)動(dòng)而形成的曲面稱為曲線曲面。如球面是由一個(gè)圓或圓弧線以直徑為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的，如圖3.12c所示。3.2曲面立體的投影（二）素線與輪郭線母線在曲面上的任意位置稱為素線。如圓柱體的素線都是互相平行的直線；圓錐體的素線都是匯集于錐頂S點(diǎn)的傾斜線；球體的素線是通過球體上下頂點(diǎn)的半圓弧線。確定曲面范圍的外形線稱為輪廓線，輪廓線也是可見與不可見的分界線。（三）緯圓母線上任一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軌跡為一個(gè)圓，且圓垂直于軸線，此圓即為緯圓，如圖3.12c所示。3.2曲面立體的投影

由曲面所圍成的立體或者由曲面和平面所圍成的立體稱為曲面立體。常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體、圓環(huán)等，本章主要介紹圓柱、圓錐、球體的投影。3.2.1圓柱的投影3.2.3球體的投影1.投影分析1.投影分析2.作圖步驟2.作圖步驟3.圓柱表面上點(diǎn)的投影3.球體表面上點(diǎn)的投影3.2.2圓錐的投影3.2.4曲面立體的切口投影1.投影分析1.圓柱的切口投影2.作圖步驟2.圓錐的切口投影3.圓錐表面上點(diǎn)的投影3.2曲面立體的投影3.2.1圓柱的投影1.投影分析如圖3.13a所示，圓柱軸線垂直于H面。（1）在H面投影：反映上頂面和下底面的實(shí)形，是一個(gè)圓。圓柱側(cè)面投影在H面上積聚成圓周線。可見性判斷：頂面在H面投影可見，底面在H面投影均不可見。（2）在V面投影：正面投影為一個(gè)矩形。上下兩條水平線為上頂面和下底面的投影積聚線，左右兩條豎直線為圓柱最左（a′b′）和最右（c′d′）兩條輪廓素線，也是圓柱前半部分和后半部分的分界線。可見性判斷：圓柱前半部分在V面投影均可見，圓柱后半部分在V面投影均不可見。（3）在W面投影：側(cè)面投影為一個(gè)矩形。上下兩條水平線為上頂面和下底面的投影積聚線，左右兩條豎直線為圓柱最前（g″h″）和最后（e″f″）兩條輪廓素線，也是圓柱左半部分和右半部分的分界線。可見性判斷：圓柱左半部分在W面投影均可見，圓柱右半部分在W面投影均不可見?？偨Y(jié)：圓柱的三面投影為“一圓兩矩形”。3.2.1圓柱的投影2.作圖步驟如圖3.13b所示：（1）用單點(diǎn)長畫線做圓柱三面投影圖的軸線和中心線；（2）按照?qǐng)A柱體的半徑在H面畫出水平投影（圓）；（3）根據(jù)“長對(duì)正”和圓柱高度作圓柱V面投影（矩形）；（4）根據(jù)“長對(duì)正，寬相等”作圓柱W面投影（矩形）；請(qǐng)注意：A、B、C、D、E、F、G、H等八個(gè)點(diǎn)的三面投影標(biāo)注，并注意其重影點(diǎn)標(biāo)注。3.2.1圓柱的投影3.圓柱表面上點(diǎn)的投影與在平面立體上點(diǎn)投影原理一樣，可利用圓柱各個(gè)表面在投影上的積聚性和投影“三等關(guān)系”原則，可以對(duì)圓柱表面上點(diǎn)的投影作圖。例題3-6：如圖3.14a所示，已知圓柱面上四個(gè)點(diǎn)M、N、A、B的V面投影m′、（n′）、a′和b′，求出它們的水平投影和側(cè)面投影。解：圓柱表面上四個(gè)點(diǎn)，其中A、B兩點(diǎn)位置特殊，分別位于最前輪廓素線和最右輪廓素線上，也在圓柱的前半部或者右半部分；N點(diǎn)在V面不可見，說明N點(diǎn)在圓柱的后半部分，M點(diǎn)在V面可見，說明M點(diǎn)在圓柱的前半部分；同時(shí)，N點(diǎn)也在圓柱的左半部分，M點(diǎn)也在圓柱的右半部分。3.2.1圓柱的投影3.圓柱表面上點(diǎn)的投影與在平面立體上點(diǎn)投影原理一樣，可利用圓柱各個(gè)表面在投影上的積聚性和投影“三等關(guān)系”原則，可以對(duì)圓柱表面上點(diǎn)的投影作圖。例題3-6：如圖3.14a所示，已知圓柱面上四個(gè)點(diǎn)M、N、A、B的V面投影m′、（n′）、a′和b′，求出它們的水平投影和側(cè)面投影。解：圓柱表面上四個(gè)點(diǎn)，其中A、B兩點(diǎn)位置特殊，分別位于最前輪廓素線和最右輪廓素線上，也在圓柱的前半部或者右半部分；N點(diǎn)在V面不可見，說明N點(diǎn)在圓柱的后半部分，M點(diǎn)在V面可見，說明M點(diǎn)在圓柱的前半部分；同時(shí)，N點(diǎn)也在圓柱的左半部分，M點(diǎn)也在圓柱的右半部分。（一）求M、N點(diǎn)的投影（1）M、N兩點(diǎn)都在圓柱的側(cè)面上，在H面投影積聚成圓圈。根據(jù)“長對(duì)正”與圓圈相交的交點(diǎn)，即n點(diǎn)（在圓柱后半部分）和m點(diǎn)（在圓柱前半部分）。（2）根據(jù)“寬相等，高平齊”，求出W面的n″點(diǎn)和（m″）點(diǎn)。因?yàn)镹點(diǎn)在圓柱左半部分，M點(diǎn)在圓柱的右半部分，因此在W面，N點(diǎn)可見，M點(diǎn)不可見。（二）求A、B點(diǎn)的投影（1）根據(jù)“長對(duì)正”，求出a（在最前輪廓素線上）點(diǎn)b點(diǎn)（在最右輪廓素線上）；（2）根據(jù)“高平齊”，求出a″點(diǎn)和（b″）點(diǎn)。因B點(diǎn)在圓柱的右半部分，其在W面投影不可見。3.2.2圓錐的投影1.投影分析如圖3.15a所示，圓錐軸線垂直于H面。1）在H面投影：圓錐表面在H面投影與圓錐底面的投影重合，是一個(gè)圓。可見性判斷：圓錐表面在H面投影均可見，圓錐底面在H面投影均不可見。（2）在V面投影：正面投影為一個(gè)等腰三角形。圓錐底面在V面投影積聚成一條直線，圓錐表面在V面投影為等腰三角形。左右兩條過錐頂?shù)男本€為圓錐最左和最右兩條輪廓素線，也是圓錐前半部分和后半部分的分界線。可見性判斷：圓錐前半部分在V面投影均可見，圓錐后半部分在V面投影均不可見。（3）在W面投影：側(cè)面投影為一個(gè)等腰三角形。圓錐底面在W面投影積聚成一條直線，圓錐表面在W面投影為等腰三角形。前后兩條過錐頂?shù)男本€為圓錐最前和最后兩條輪廓素線，也是圓錐左半部分和右半部分的分界線?？梢娦耘袛啵簣A錐左半部分在W面投影均可見，圓錐右半部分在W面投影均不可見?？偨Y(jié)：圓柱的三面投影為“一圓兩三角形”。3.2.2圓錐的投影2.作圖步驟如圖3.15b所示：（1）用單點(diǎn)長畫線做圓錐三面投影圖的軸線和中心線；（2）按照?qǐng)A錐底面的半徑在H面畫出水平投影（圓）；（3）根據(jù)“長對(duì)正”和圓錐高度作圓錐V面投影（等腰三角形）；（4）根據(jù)“長對(duì)正，寬相等”作圓錐W面投影（等腰三角形）；請(qǐng)注意：A、B、C、D等四個(gè)點(diǎn)的三面投影標(biāo)注，并注意其重影點(diǎn)標(biāo)注。3.2.2圓錐的投影3.圓錐表面上點(diǎn)的投影要求出圓錐表面上的點(diǎn)的投影，可采用“素線法”和“緯圓法”。例題3-7：如圖3.16a所示，已知圓錐表面點(diǎn)M的正面投影m′，求m和m″。解法（一）：素線法：圓錐體上任一素線都是通過圓錐頂點(diǎn)的直線，已知圓錐體上一點(diǎn)時(shí)，可過該點(diǎn)作素線，先作出該素線的投影，再利用素線上點(diǎn)的投影求得，如圖3.16b所示。（1）在V面：過m′點(diǎn)做素線s′1′,根據(jù)“長對(duì)正”求出H面的1點(diǎn)。（2）在H面：連線s1，過m′點(diǎn)根據(jù)“長對(duì)正”求出m點(diǎn)。（3）在W面：根據(jù)“寬相等，高平齊”求出m″點(diǎn)。3.2.2圓錐的投影3.圓錐表面上點(diǎn)的投影要求出圓錐表面上的點(diǎn)的投影，可采用“素線法”和“緯圓法”。例題3-7：如圖3.16a所示，已知圓錐表面點(diǎn)M的正面投影m′，求m和m″。解法（二）：緯圓法：已知圓錐體上一點(diǎn)時(shí)，可過該點(diǎn)作與軸線垂直的緯圓，先作出該緯圓的投影，再利用緯圓上點(diǎn)的投影求得，如圖3.16c所示。（1）在V面：過m′點(diǎn)作緯圓的V面投影，即為一條水平線m′1′；（2）在H面：根據(jù)“長對(duì)正”，過1′點(diǎn)求出1點(diǎn)。過s點(diǎn)以s1為半徑畫圓，即為緯圓在H面的投影。根據(jù)“長對(duì)正”，過m′點(diǎn)求出m點(diǎn)。M點(diǎn)在圓錐的前半部分，在H面投影可見。（3）在W面：根據(jù)“寬相等，高平齊”求出m〞點(diǎn)。M點(diǎn)在圓錐的左半部分，在W面投影可見。3.2.3球體的投影1.投影分析如圖所示。（1）在H面投影：球體在H面投影是一個(gè)圓。圓A是球體上半部分和下半部分的分界線?？梢娦耘袛啵呵蝮w上半部分在H面投影均可見，球體下半部分在H面投影均不可見。（2）在V面投影：球體在V面投影是一個(gè)圓。圓B是球體前半部分和后半部分的分界線?？梢娦耘袛啵呵蝮w前半部分在V面投影均可見，球體后半部分在H面投影均不可見。（3）在W面投影：球體在W面投影是一個(gè)圓。圓C是球體左半部分和右半部分的分界線。可見性判斷：球體左半部分在W面投影均可見，球體右半部分在W面投影均不可見。總結(jié)：球體的三面投影為“三個(gè)圓”。3.2.3球體的投影2.作圖步驟如圖3.17b所示：（1）用單點(diǎn)長畫線做球體三面投影圖的軸線和中心線；（2）按照球體的半徑在H、V、W面畫出水平投影（圓）、正面投影（圓）、側(cè)面投影（圓）；請(qǐng)注意：圓A、圓B、圓C都屬于球體的分界線，注意其三面投影的位置。3.2.3球體的投影3.球體表面上點(diǎn)的投影要求出球體表面上的點(diǎn)的投影，可采用“緯圓法”。例題3-8：如圖3.18a所示，已知球體表面M點(diǎn)和D點(diǎn)的水平面投影m′、d′，求M點(diǎn)和D點(diǎn)的其他兩面投影。解：采用緯圓法。過點(diǎn)M在球面上作一平行于水平投影面的輔助圓。M點(diǎn)的投影必在該輔助圓的同面投影上。1、求M點(diǎn)的投影（1）在V面：過點(diǎn)M在球面上作一平行于水平投影面的輔助圓。此圓在V面積聚成一條直線，量取該緯圓的半徑。（2）在H面：在v面上量取緯圓半徑，在H面做同心圓，根據(jù)“長對(duì)正”過m′點(diǎn)求出m點(diǎn)。（3）在W面：根據(jù)“寬相等，高平齊”求出m〞點(diǎn)。可見性判斷：因?yàn)镸點(diǎn)在球體的前半部分、上半部分和左半部分，因此M點(diǎn)的三面投影均可見。2、求D點(diǎn)的投影因?yàn)镈點(diǎn)位置特殊，是在球體前半部分和后半部分的分界線上，因此，其兩面投影作圖過程簡(jiǎn)單。（1）在H面：根據(jù)“長對(duì)正”過d′點(diǎn)求出(d)點(diǎn)。（2）在W面：根據(jù)“高平齊”過d′點(diǎn)求出(d〞)點(diǎn)?？梢娦耘袛啵阂?yàn)镈點(diǎn)在球體的下半部分和右半部分，因此M點(diǎn)在H面和W面投影均不可見。3.2.4曲面立體的切口投影

曲面立體的切口投影，實(shí)際上就是曲面立體被平面切割后的投影。換言之，求出曲面立體與切割平面的截交線，此截交線的投影即為曲面立體的切口投影。作圖思路：求出曲面立體表面上若干個(gè)與截平面相交的交點(diǎn)，然后用光滑的曲線（或直線）連接。截交線上的一些能夠確定其形狀和范圍的點(diǎn)，如最前點(diǎn)、最后點(diǎn)、最左點(diǎn)、最右點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，以及可見與不可見的分界點(diǎn)等，均為特殊點(diǎn)。作圖時(shí)，通常先作出截交線上的特殊點(diǎn)，再按照需要作出一些中間點(diǎn)，最后依次連接各點(diǎn)，并注意其可見性。求曲面立體截交線的問題，實(shí)質(zhì)上是在曲面上定點(diǎn)的問題，基本方法有素線法、緯圓法、輔助平面法。當(dāng)截平面為投影面的垂直面時(shí)，可以利用其投影的積聚性來求點(diǎn)；當(dāng)截平面為一般位置平面時(shí)，需要選擇過素線或過緯圓作輔助平面來求點(diǎn)。3.2.4曲面立體的切口投影1.圓柱的切口投影平面與圓柱相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線相對(duì)位置量的不同，所得的截交線有三種情況，如表3-1所示。從表3-1可知：（1）當(dāng)截平面垂直于圓柱的軸線時(shí)，截交線為一個(gè)圓；（2）當(dāng)截平面傾斜于圓柱的軸線時(shí)，截交線為橢圓；（3）當(dāng)截平面平行于圓柱軸線時(shí)，截交線為矩形。3.2.4曲面立體的切口投影例題3-9：如圖3.19a所示，已知圓柱被正錘面所切割，求作圓柱及其截交線的W面投影。解：由于截平面是正錘面，且傾斜于圓柱軸線。因此，截交線在W面上的投影是橢圓，在H面投影是圓，在V面上投影是積聚成一條直線。（1）在V面上標(biāo)注出八個(gè)點(diǎn)投影，其中2′、3′點(diǎn)和6′、7′點(diǎn)是前后對(duì)稱點(diǎn)，2′、6′點(diǎn)和3′、7′點(diǎn)是左右對(duì)稱點(diǎn)，4′點(diǎn)和5′點(diǎn)是前后對(duì)稱點(diǎn)，1′點(diǎn)和8′點(diǎn)是左右對(duì)稱點(diǎn)。（2）過V面上的八個(gè)投影點(diǎn)，根據(jù)“長對(duì)正”在H面求出1、2、3、4、5、6、7、8點(diǎn)。（3）根據(jù)“寬相等，高平齊”求出W面的八個(gè)點(diǎn)的投影，然后用光滑的曲線連接成橢圓。（4）補(bǔ)上圓柱下半部分的投影輪廓線，用粗實(shí)線表示。說明：為了方便準(zhǔn)確地畫出橢圓，在正錘面的截交線上增加2、3、6、7四個(gè)的加密點(diǎn)，此四點(diǎn)互為對(duì)稱點(diǎn)。