數學分析13第二型曲面積分講義教材

西南科技大學品牌課程數學分析§2第二型曲面積分一、曲面的側二、概念的引入四、第二型曲面積分計算三、概念及性質第二型曲面積分必須對曲面給出方向，為了對則由曲面的側說起．一般地，曲面有兩個側，如圖有上側與下側．上側下側前側與后側，左側與右側之說．這是由于曲面上任一點處的法線有兩個方向造就的．一、曲面的側曲面給出方向，當然亦有-上側下側設S

是一張空間曲面，過M點引S回到原來位置時，的方向不變，則稱S為雙側曲面．稱為單側曲面．的法向量如

M點在S內不越過邊界連續(xù)運動，否則曲面的分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.典型雙側曲面默比烏斯帶典型單側曲面:播放單側曲面的例——默比烏斯帶．將長紙條翻轉一端對接則得默比烏斯帶，默比烏斯帶是單側曲面．在這里，我們只討論雙側曲面．

對于雙側曲面S，取定一側為正側，

記作則另一側為負側，記作這種規(guī)定了方向的曲面稱為有向曲面．總是從負側指向正側．有向曲面的向曲面法向量的指向決定曲面的側.曲面的投影問題:如果是一平面圖形，其面積仍記為當是一曲面圖形時，在微小的情況下，可以“以平，則在P點的方向余弦為

則取代曲”，二、概念的引入實例:流向曲面一側的流量.

單位時間內穿越平面的流體為圖中柱體1.分割T則該點流速為.法向量為.2.求和3.取極限定義設函數，為定義在雙側曲面上的函數．在所指定的一側作分割它把分成個小曲面分割的細度，以，分別表示在，，，三個坐標面上的投影，三、概念及性質在每個小曲面任取一點，若極限++存在且與分割和點稱此極限為函數，在曲面?zhèn)鹊牡诙颓娣e分，記為的取法無關，則，所指定的一上述積分也可寫作+.+被積函數積分曲面存在條件:物理意義:性質:四、第二型曲面積分的計算定理22.2設為定義在光滑曲面：，上的連續(xù)函數，以的上側為正側（這時的法線正向與軸正向成銳角），則有=注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.這就是把對坐標的曲面積分化成二重積分的計算公式概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數，然后代入被積函數，將其化成二元函數投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個變量同名的坐標面上（如xoy面）定號：由曲面的方向，即曲面的側確定二重積分的正負號一代、二投、三定號解例2計算平面

x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側oxyz解分成四個部分左側下側后側上側同理同理例3計算積分

因此,因此,

因此,

綜上,

五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系當曲面S由給出時，由于曲面S在點的法向量為取上側為正時，所以在由此可得轉換式

當曲面S由給出時，同樣可以建立相應的轉換式．例4計算其中的上側．解：S在的投影

由于

所以思考題思考題解答此時的左側為負側，而的左側為正側.莫比烏斯帶典型單側曲面:典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯