2024-2025學(xué)年上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)分別是(

)

A.45，56 B.46，45 C.47，45 D.45，472.空間中有兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，則下列說法中正確的是(

)A.若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n

B.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥β

C.若α//β，m//α，n//β，則m//n

D.若α//β，m//α，m//n，則n//β3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3+a5+aA.4 B.5 C.6 D.74.已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，滿足CD=2OC?xOA?yOB，且x>0，y>0A.34+22 B.32二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.直線y=3x?36.為了考察某區(qū)1萬名高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)與能力測(cè)試的成績(jī)，從中抽取50本試卷，每本試卷30份，那么樣本容量是______．7.已知向量a=(x,0,3)，b=(1,y,2)，a⊥b，則x=8.a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其中a=7+43，c=7?43，則9.甲、乙兩人各進(jìn)行1次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率分別為0.8和0.4，則其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率是______．10.如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為______．11.已知直線l1：ax+3y?1=0與直線l2：2x+(a?1)y+1=0平行，則a=______．12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,0,0)為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)B(0,1,1)為平面α內(nèi)一點(diǎn).若平面α的一個(gè)法向量為(1,1,?2)，則點(diǎn)A到平面α的距離是______．13.若將兩個(gè)半徑為1的鐵球熔化后鑄成一個(gè)球，則該球的表面積為______．14.某車間的質(zhì)檢員利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的60個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將60個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為01，02，…，60，從中選取5個(gè)個(gè)體組成樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行：

66?67?40?37?14?64?05?71?11?05?65?09?95?86?68?76?83?20?37?90

57?16?03?11?63?14?90?84?45?21?75?73?88?05?90?52?23?59?43?10

若從表中第1行第7列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)樣本編號(hào)是______．15.定義兩個(gè)相交平面夾角為兩個(gè)平面所組成的四個(gè)二面角的最小值.已知平面α與β所成的角為80°，P為α，β外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與α，β所成的角都是30°，則這樣的直線有______．16.已知正四面體ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是空間一點(diǎn)，若PA2+PB2三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知圓C的圓心為(2,1)，若圓C經(jīng)過直線l1：x?y+1=0，l2：2x+y+2=0的交點(diǎn)．

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l：kx?y?2=0與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=2618.(本小題13分)

為加強(qiáng)學(xué)生睡眠監(jiān)測(cè)督導(dǎo)，學(xué)校對(duì)高中三個(gè)年級(jí)學(xué)生的日均睡眠時(shí)間進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)分層隨機(jī)抽樣法，學(xué)校在高一、高二和高三年級(jí)中共抽取了100名學(xué)生的日均睡眠時(shí)間作為樣本，其中高一35人，高二33人.已知該校高三年級(jí)一共512人．

(1)學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)一共有多少個(gè)學(xué)生？

(2)若抽取100名學(xué)生的樣本極差為2，數(shù)據(jù)如表所示(其中x<10，n是正整數(shù))日均睡眠時(shí)間(小時(shí))x8.599.510學(xué)生數(shù)量n3213114求該樣本的第40百分位數(shù)．19.(本小題13分)

如圖，已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上，∠AOP=120°，圓O的直徑AB=4，圓柱的高OO1=3．

(1)求圓柱的表面積與體積；

(2)求直線A20.(本小題17分)

如圖，已知A(6,63)，B(0,0)，C(12,0)，直線l：(k+3)x?y?2k=0．

(1)證明直線l經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若直線l等分△ABC的面積，求直線l的一般式方程；

(3)若P(2,23)，李老師站在點(diǎn)P用激光筆照出一束光線，依次由BC(反射點(diǎn)為K)、21.(本小題17分)

如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN將△CMN翻折到△PMN的位置，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示的五棱錐P?ABMND．

(1)在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)四棱錐P?MNDB體積最大時(shí)，求直線PB和平面MNDB所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，在線段PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q?MN?P的平面角的余弦值為1010？若存在，試確定點(diǎn)Q參考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.60°

6.1500

7.?6

8.±1

9.0.56

10.2π

11.3

12.613.4314.09

15.4

16.617.解：(1)聯(lián)立x?y+1=02x+y+2=0，

解得x=?1y=0，

故直線l1和l2的交點(diǎn)為D(?1,0)，

r=|CD|=(2+1)2+(1?0)2=10，

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)2+(y?1)2=10；

(2)直線l：kx?y?2=0與圓C交于M18.解：(1)根據(jù)題意，在抽取的100名學(xué)生中，高三年級(jí)的人數(shù)為100?35?33=32，

設(shè)高中三個(gè)年級(jí)一共有M個(gè)學(xué)生，M∈N?，

所以32512=100M，

解得M=1600，

所以高中三個(gè)年級(jí)一共有1600個(gè)學(xué)生；

(2)因?yàn)槌槿?00名學(xué)生的樣本極差為2，x<10，

所以10?x=2，可得x=8，

因?yàn)閚+32+13+11+4=100，

可得n=40，

因?yàn)?00×40%?=40，

19.解：(1)根據(jù)題意，因?yàn)锳B是圓O的直徑，則OB=2，

圓柱的表面積S=2π×OB2+π×AB×AA1=2π×22+π×4×3=20π，

圓柱的體積V=3×π×22=12π；

(2)根據(jù)題意，因?yàn)锳B/?/A1B1，所以AB與A1P所成角即為A1B1與A1P所成角，

連結(jié)PB1.因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以AP⊥PB.因?yàn)椤螦OP=120°，

所以∠BAP=30°20.解：(1)直線l：(k+3)x?y?2k=0可化為k(x?2)+(3x?y)=0，

令x?2=03x?y=0，解得x=2y=23，故直線l經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,23)；

(2)因?yàn)锳(6,63)，B(0,0)，C(12,0)，所以|AB|=|AC|=|BC|=12，

由題意得直線AB方程為y=3x，

故直線l經(jīng)過的定點(diǎn)M(2,23)在直線AB上，所以|AM|=(6?2)2+(63?23)2=8，

設(shè)直線l與AC交于點(diǎn)D，所以S△AMD=12S△ABC，

即12|AM||AD|sinA=12×12×|AB||AC|sinA，所以|AD|=34|AC|=9，

設(shè)D(x0,y0)，所以AD=34AC，即(x0?6,y0?63)=34(6,?63)，

所以x0=21221.(1)在翻折過程中總有平面PBD⊥平面PAG，

證明：∵點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∴BD/?/MN，

又因?yàn)榱庑蜛BCD中∠DAB=60°，∴△PMN是等邊三角形，

∵G是MN的中點(diǎn)，∴MN⊥PG，

∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴MN⊥AC，

∵AC∩PG=G，AC?平面PAG，PG?平面PAG，

∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG．

(2)解：由題意知，四邊形MNDB為等腰梯形，且DB=4，MN=2，O1G=3，

所以等腰梯形MNDB的面積S=(2+4)×32=33，

要使得四棱錐P?MNDB體積最大，只要點(diǎn)P到平面MNDB的距離最大即可，

∴當(dāng)PG⊥平面MNDB時(shí)，點(diǎn)P到平面MNDB的距離的最大值為3，

此時(shí)四棱錐P?MNDB體積的最大值為V=13×33×3=3，

連接BG，則直線PB和平面MNDB所成角的為∠PBG，

在Rt△PBG中，PG=3，BG=7，由勾股定理得：PB=PG2+BG2=10．

∴