（新教材）2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考卷　數(shù)學(xué)（二）解析版

此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（二）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下面關(guān)于空間幾何體的定義或結(jié)構(gòu)特征敘述錯(cuò)誤的是（）A．空間中把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱B．有兩個(gè)側(cè)面都是矩形的三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面C．以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐D．底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影一定是底面正多邊形的中心【答案】D【解析】對(duì)于A，由四棱柱的定義：空間中把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)直線與平面的判定定理，得到這兩個(gè)側(cè)面的交線垂直于底面，是真命題，故B正確；對(duì)于C，由圓錐的定義：以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，故C正確；對(duì)于D，底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心，故D錯(cuò)誤，故選D．2．一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為，母線與軸的夾角為，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)半徑為，由母線長(zhǎng)為，母線與軸的夾角為，得，則底面圓的周長(zhǎng)為，所以該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，故選D．3．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形，得到一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】直觀圖中正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，故在平面圖形中平行四邊形的高為，只有A項(xiàng)滿足條件，故選A．4．已知空間互不重合的三條直線，，．則“，，在同一平面內(nèi)”是“，，兩兩平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，，在同一平面內(nèi)，則，，在同一平面內(nèi)可能平行也可能相交，故充分性不成立；若，，兩兩平行，則，，不一定在同一平面內(nèi)，故必要性不成立，所以“，，在同一平面內(nèi)”是“，，兩兩平行”的既不充分也不必要條件，故選D．5．如圖，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，若，則與所成的角的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)，G都為中點(diǎn)，所以，，所以，分別為異面直線EF與AB，EF與CD所成的角，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)椋?，故選A．6．棱長(zhǎng)為的正方體密閉容器內(nèi)有一個(gè)半徑為的小球，小球可在正方體容器內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，則其不能到達(dá)的空間的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得小球在八個(gè)角不能到達(dá)的空間相當(dāng)于邊長(zhǎng)為2的正方體中間挖掉一個(gè)半徑為1的球的剩余部分，其體積為，小球在12條邊活動(dòng)不到的空間相當(dāng)于高為2，底面積為4的正四棱柱中間挖掉底面積為，高為2的圓柱剩下的部分，且有3個(gè)，則其體積為，則小球不能到達(dá)的空間的體積為，故選A．7．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別取的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面．，平面，平面，則平面，又，所以平面平面，又平面面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，當(dāng)為線段的端點(diǎn)（或）時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，所以，故選C．8．已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的體積取最大值時(shí)，其高的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以正六棱柱的最大對(duì)角面作截面如圖，設(shè)球心為，正六棱柱的上下底面中心分別為，，則是，的中點(diǎn)，設(shè)高為，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，∴，∴，，，∴，∴，．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）A．平面PCD B．平面PDAC．平面PBA D．平面PBC【答案】AB【解析】矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，在△PBD中，因?yàn)辄c(diǎn)M是PB的中點(diǎn)，所以O(shè)M是△PBD的中位線，OM//PD，平面，平面，平面，故A正確；平面，平面，平面，故B正確；因?yàn)?，平面，平面，所以O(shè)M與平面，平面相交，故C、D錯(cuò)誤，故選AB．10．下列說(shuō)法正確的是（）A．一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，必與另外一個(gè)平面平行B．兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們相交或重合C．平行于同一個(gè)平面的兩平面平行D．夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則該直線與另外一個(gè)平面平行或該直線在另外一個(gè)平面內(nèi)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們相交或重合，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由面面平行的性質(zhì)可知，平行于同一個(gè)平面的兩平面平行，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示：已知平面平面，、，、，，那么直線、可確定平面，，，，，則四邊形為平行四邊形，所以，，D選項(xiàng)正確，故選BCD．11．如圖所示，已知二面角的大小為，分別是的中點(diǎn)，F(xiàn)，E分別在AB，AD上，，且AC⊥平面BCD，則以下說(shuō)法正確的是（）A．四點(diǎn)共面B．平面C．若直線交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D．若的面積為6，則的面積為3【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：在△ABD中，因?yàn)椋訣F//BD，在△CBD中，G，H分別是BC，CD的中點(diǎn)，所以GH//BD，有EF//GH，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：假設(shè)FG//平面ADC成立，因?yàn)槠矫鍭BC平面DAC=AC，所以FG//AC，又G是BC的中點(diǎn)，所以F是AB的中點(diǎn)，與矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)镕G平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面DAC，因?yàn)槠矫鍭BC平面DAC=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：因?yàn)槎娼茿-BD-C的大小為，AC⊥平面BCD，所以點(diǎn)C到直線BD的距離d2是點(diǎn)A到直線BD的距離d1的，故，故D選項(xiàng)正確，故選ACD．12．如圖，在菱形中，，，將沿對(duì)角線翻折到位置，連接，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．與平面BCD所成的最大角為B．存在某個(gè)位置，使得C．當(dāng)二面角的大小為時(shí)，D．存在某個(gè)位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】選項(xiàng)A，取的中點(diǎn)，連接、，則．由題可知，和均為等邊三角形，由對(duì)稱性可知，在翻折的過(guò)程中，與平面所成的角為，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為的中心點(diǎn)時(shí)，有平面，，，又，、平面，平面，平面，，即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)二面角的大小為時(shí)：平面平面，，，平面平面，平面，，又，為等腰直角三角形，，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，若到平面的距離為，則平面平面，平面平面，則有垂直平面，即，與是等邊三角形矛盾，故選BC．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．如圖所示，在三棱柱中，過(guò)，，的平面與平面的交線為，則與直線的位置關(guān)系為________．【答案】平行【解析】在三棱柱中，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以，故答案為平行?4．下列說(shuō)法正確的是______（填序號(hào)）．①有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱；②有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；③有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；④用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間那部分的幾何體是棱臺(tái)；⑤存在一個(gè)四棱錐，其四個(gè)側(cè)面都是直角三角形．【答案】⑤【解析】對(duì)于①，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故①不正確；對(duì)于②，如圖1中的幾何體，滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但其不是棱柱，故②不正確；對(duì)于③，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，故③不正確；對(duì)于④，由棱臺(tái)的定義，知截面和棱錐的底面平行，故④不正確；對(duì)于⑤，如圖2所示，在正方體中，四棱的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，故⑤正確， 故答案為⑤．15．如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱靠近的三等分點(diǎn)，且三棱錐的體積為2，則四棱柱的體積為__________．【答案】12【解析】由題意，設(shè)底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，則直四棱柱的體積為，又由三棱錐的體積為，解得，即直四棱柱的體積為．16．如圖，已知斜三棱柱中，點(diǎn)D，分別為上的點(diǎn)．若平面，則________；若平面平面，則_______．【答案】1，1【解析】如圖，連接交于點(diǎn)，由三棱柱性質(zhì)知，為的中點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，又在中，為的中點(diǎn)，故為的中點(diǎn)，所以，若平面平面，又平面平面，平面平面，，同理，，，又，，則．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，母線長(zhǎng)為．（1）求圓錐的底面積；（2）在該圓錐內(nèi)按如圖所示放置一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求圓柱的體積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）沿母線AB剪開，側(cè)展圖如圖所示：設(shè)，在半圓⊙A中，，弧長(zhǎng)，這是圓錐的底面周長(zhǎng)，所以，所以，故圓錐的底面積為．（2）設(shè)圓柱的高，，在中，，，所以，即，，，所以，當(dāng)，時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，此時(shí)．18．（12分）如圖，正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．求證：（1），，，四點(diǎn)共面；（2），，三線共點(diǎn)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】證明：（1）連接，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，由兩條平行線確定一個(gè)平面，得到，，，四點(diǎn)共面．（2）分別延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，，面，面．是的中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，連接，，，，，三線共點(diǎn)于．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為梯形，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，∵為的中位線，∴，且，又，，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）∵是的中點(diǎn)，∴三棱錐，又，，∴是等邊三角形，∴，到的距離為，又，∴，∵平面，∴，∴三棱錐的體積．20．（12分）在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，，，如圖．（1）若A1C交平面EFBD于點(diǎn)R，證明：P，Q，R三點(diǎn)共線；（2）線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得平面平面，若存在確定M的位置；若不存在說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，M為AP中點(diǎn)．【解析】（1）證明：∵在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，A1C交平面EFBD于點(diǎn)R，∴P，Q，R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共點(diǎn)，∴P，Q，R三點(diǎn)共線．（2）存在點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，使平面B1D1M∥平面EFBD．證明如下：取AD中點(diǎn)G，AB中點(diǎn)H，連接GH，交AC于點(diǎn)M，連接D1G，B1H，如圖：由題意得，GH∥EF，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)锽1H∥DE，同理可證，平面，又因?yàn)?，由面面平行的判定定理可得，∴平面GHB1D1∥平面BDEF，∴線段AC上存在點(diǎn)M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，且M為AP中點(diǎn)．21．（12分）如圖，在四棱錐中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，，M為PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使平面？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，N為AE的中點(diǎn)．【解析】（1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接EM，AE，則有且，而且，∴，．∴四邊形ABME是平行四邊形，即BM∥AE．∵AE?平面PAD，BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD．（2）解：當(dāng)N為AE的中點(diǎn)時(shí)，MN⊥平面PBD．理由如下：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中點(diǎn)，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，∴PD⊥平