中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何專項(xiàng)知識精講+基礎(chǔ)提優(yōu)訓(xùn)練專題20 等腰三角形存在性問題鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）（解析版）

等腰三角形存在性問題鞏固練習(xí)1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝21cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度移動到點(diǎn)C；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AD以1cm/s的速度移動到點(diǎn)D；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為ts是否存在點(diǎn)P，使△DPQ是等腰三角形？如果存在，求出所有符合條件的t的值；如果不存在，請說明理由．【分析】先表示出PQ，PD，DQ，再分三種情況討論計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥⊥BC，由題意得，AQ＝t，PE＝BP﹣BE＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，∴DQ＝21﹣t，PC＝21﹣2t，QE＝12，（0＜t≤21在Rt△PQE中，PQ2＝122+t2，在Rt△PCD中，PD2＝（21﹣2t）2+122，∵△DPQ是等腰三角形，①當(dāng)PQ＝PD時(shí)，即：122+t2＝（21﹣2t）2+122，∴t＝7或t＝21（舍）；②當(dāng)PQ＝DQ時(shí)，即：122+t2＝21﹣t，此方程無解，③當(dāng)PD＝DQ時(shí)，（21﹣2t）2+122＝21﹣t，∴此方程無解．即：t＝7時(shí)，△DPQ是等腰三角形．【點(diǎn)評】此題是矩形的性質(zhì)，主要考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出PD，DQ，PQ．2．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（m，0），B（n，0），點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)，且m，n是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的兩個(gè)根，與y軸交于C（0，3）．在拋物線上的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】解方程求得A和B的坐標(biāo)，求得對稱軸，當(dāng)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，求得過A于AC垂直的直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)，然后判斷是否是等腰三角形；同理當(dāng)C是直角頂點(diǎn)時(shí)利用相同的方法判斷；當(dāng)AC是等腰三角形的底邊時(shí)，求得AC的中垂線與對稱軸的交點(diǎn)，然后判斷是否是直角三角形即可．【解答】解：解方程x2+2x﹣3＝0得x1＝﹣3，x2＝1，則A的坐標(biāo)是（1，0），B的坐標(biāo)是（﹣3，0）．拋物線的對稱軸是x＝﹣1．設(shè)AC的解析式是y＝kx+b，則k+b=0b=3解得：k=?則直線AC的解析式是y＝﹣3x+3．當(dāng)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，過A且垂直于AC的直線解析式設(shè)是y=13x+把A代入得：13+解得：c=?則解析式是y=13x令x＝﹣1，則y=?則交點(diǎn)是（﹣1，?23）．到A的距離是(?1則三角形不是等腰三角形；同理，當(dāng)C時(shí)直角時(shí)，過C于AC垂直的直線的解析式是y=13x+3，與對稱軸x＝﹣1的交點(diǎn)是（﹣1，83）．到C的距離是當(dāng)P是直角，即AC是斜邊時(shí)，AC的中點(diǎn)是（12，32），過這點(diǎn)且與AC垂直的直線的解析式是y=1當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y=?則與對稱軸的交點(diǎn)是（﹣1，1）．則到A的距離是(?∵（5）2+（5）2＝（10）2，∴P的坐標(biāo)是（﹣1，1）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)以及等腰直角三角形的判定，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．3．如圖，直線l1與直線l2：y=34x相交于點(diǎn)A（2a+1，3），且與y軸交于點(diǎn)（1）求a的值；（2）求直線l1的函數(shù)關(guān)系式；（3）直線l平行于y軸，分別交直線l1，l2、x軸于點(diǎn)M、N、P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t＞0，t≠4），在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△FMN為等腰直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把點(diǎn)A（2a+1，3）代入y=34x，即可求得（2）利用待定系數(shù)法即可求得直線l1的函數(shù)關(guān)系式；（3）分別利用t表示出M、N的坐標(biāo)，可表示出MN，分∠FMN、∠FNM和∠MFN為直角三種情況，分別求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出FM、FN，分別得到關(guān)于m的方程可求得m．【解答】解：（1）∵直線l2：y=34x經(jīng)過點(diǎn)A（2∴3=34（2解得a=3（2）設(shè)直線l1的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b，∵點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B（0，6）．∴4k+b=3b=6解得k=?∴直線l1的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=?3（3）∵P（t，0）（t＞0，t≠4），則M（t，?34t+6），N（t，3∴MN＝|?32Ⅰ）當(dāng)∠FMN＝90°且△FMN為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)（0，?34∴FM＝MN，即：t＝|?32解得：t=125或Ⅱ）同理當(dāng)∠FNM＝90°且△FMN為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)（0，34t∴FN＝MN，即：t＝|?32解得：t=125或Ⅲ）當(dāng)∠MFN＝90°且△FMN為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)（0，3），∴FM2＝t2+（34t﹣3）2FN2＝t2+（34t﹣3）2MN2＝（?32t+6）∴MN2＝FM2+FN2，∴t2+（34t﹣3）2+t2+（34t﹣3）2＝（?32t+6）2，整理可得78t2+18t﹣18＝0，解得t=綜上可知存在使得△FMN為等腰直角三角形的點(diǎn)F，此時(shí)t的值為125或12【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和等腰三角形的判定、勾股定理等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用．掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用t表示出FN、FM和MN得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想和方程思想的應(yīng)用．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（?94，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)（位于點(diǎn)A的右側(cè)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)（1）求證△AOC∽△COB；（2）已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）線段BC上是否存在D，使△BOD為等腰三角形？若存在，則求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可以得到∠ACB是直角，再根據(jù)相似三角形的判定方法證明即可．（2）利用三角形相似求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，重新假設(shè)拋物線的解析式，代入點(diǎn)C坐標(biāo)求出a即可．（3）分別以O(shè)B為底邊和腰求出等腰三角形中點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】（1）證明：∵以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)C，∴∠ACB＝90°，∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，∴△△AOC∽△COB．（2）∵△AOC∽△COB，∴OC2＝AO?OB，∵A（?94，0），點(diǎn)∴AO=94，又∵CO2＝AO?OB，∴32=94∴OB＝4，∴B（4，0），∵拋物線經(jīng)過B（4，0），A（?94，0），可以假設(shè)拋物線為y＝a（x﹣4）（x+9∴y=?13x2（3）①OD＝DB，如圖：D在OB的中垂線上，過D作DH⊥OB，垂足是H，則H是OB中點(diǎn)．ⅤDH=12OC，OH=∴D（2，32②BD＝BO，如圖：過D作DG⊥OB，垂足是G，∴BGOB∵OB＝4，CB＝5，∴BD＝OB＝4，∴CDCB∴BG4∴BG=165，DG∴OG＝BO﹣BG=4∴D（45，12【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題、圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1），動點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正半軸運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿y軸正半軸運(yùn)動，作直線AB．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，是否存在t，使△ABC是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【分析】運(yùn)動的時(shí)間是t，則OA＝t，OB＝2t，利用勾股定理把AB2，BC2和AC2用t表示出來，然后利用勾股定理列方程求得t的值，然后判斷t是否滿足條件，以及是否是等腰三角形即可．【解答】解：運(yùn)動的時(shí)間是t，則OA＝t，OB＝2t．在直角△OAB中，AB2＝OA2+OB2＝t2+（2t）2＝5t2，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則D的坐標(biāo)是（3，0）．在直角△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝1+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10，BC2＝32+（2t﹣1）2＝4t2﹣4t+10，當(dāng)AB是斜邊時(shí)，AB2＝AC2+BC2，則5t2＝t2﹣6t+10+4t2﹣4t+10，解得：t＝2．此時(shí)AB2＝20，AC2＝2，BC2＝18，此時(shí)不是等腰三角形，故不符合條件；當(dāng)AC是斜邊時(shí)，AC2＝AB2+BC2，則t2﹣6t+10＝5t2+（4t2﹣4t+10），解得：t＝0或﹣4（不符合題意，舍去）；當(dāng)BC是斜邊時(shí)，AB2+AC2＝BC2，則5t2+（t2﹣6t+10）＝4t2﹣4t+10，解得：t＝0（舍去），或1．當(dāng)t＝1時(shí)，AB2＝5，AC2＝1﹣6+10＝5，此時(shí)AB＝AC．總之，當(dāng)t＝1時(shí)，△ABC是等腰直角三角形．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行討論，利用m表示出AB2，BC2和AC2是關(guān)鍵．6．如圖，直線y＝7x+7交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．（1）S△AOB；（2）第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形且∠ACB＝90°？若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由直線解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)，進(jìn)而求出OA與OB的長，即可求出三角形AOB面積；（2）第一象限內(nèi)存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形且∠ACB＝90°，理由為：設(shè)C（x，y）（x＞0，y＞0），根據(jù)題意得BC2＝AC2，BC2+AC2＝AB2，列出關(guān)于x與y的方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出C坐標(biāo)．【解答】解：（1）對于直線y＝7x+7，令x＝0，得到y(tǒng)＝7；令y＝0，得到x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，7），即OA＝1，OB＝7，則S△AOB=12OA?OB（2）第一象限內(nèi)存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形且∠ACB＝90°，理由為：設(shè)C（x，y）（x＞0，y＞0），根據(jù)題意得：BC2＝AC2，BC2+AC2＝AB2，即(?解得：x=3y=3此時(shí)C（3，3）．【點(diǎn)評】此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l1過點(diǎn)A（1，0）且與y軸平行，直線l2過點(diǎn)B（0，2）且與x軸平行，直線l1與l2相交于P．點(diǎn)E為直線l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象過點(diǎn)E且與直線l1相交于點(diǎn)（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；（2）連接OE、OF、EF，若△OEF的面積為△PEF面積的2倍，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)k＞2時(shí)，在y軸上是否存在一點(diǎn)G，使△FEG是等腰直角三角形？如果存在，求出G點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決．（2）分兩種情形列方程解決問題：①如圖2中，當(dāng)E在P右邊時(shí)，作EM⊥x軸于M．設(shè)E（m，2）則F（1，2m），②如圖3中，當(dāng)E在P左邊時(shí)，作EM⊥x軸于M．設(shè)E（m，2）則F（1，2m），（3）分四種情形①如圖4中，當(dāng)E在P右邊時(shí)，∠FEG＝90°，EF＝EG，設(shè)E（m，2），則F（1，2m），②如圖5中，當(dāng)E在P右邊時(shí)，∠GFE＝90°，F(xiàn)G＝FE，作FM⊥y軸于M．設(shè)E（m，2），則F（1，2m），③如圖6中，當(dāng)E在P左邊時(shí)，∠FEG＝90°，EG＝EF．設(shè)E（m，2），則F（1，2m），④如圖7中，當(dāng)E在P左邊時(shí)，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GM⊥PA于M．設(shè)E（m，2），則F（1，2m），利用全等三角形的性質(zhì)，列出方程即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，由題意P（1，2），把P（1，2）代入y=kx得到，∴k的值為2．（2）①如圖2中，當(dāng)E在P右邊時(shí)，作EM⊥x軸于M．設(shè)E（m，2）則F（1，2m），∵S△OEF＝S△AOF+S梯形AMEF﹣S△OEM，S△AOF＝S△EOM，∴S△OEF＝S梯形AMEF，∵S△EOF＝2S△PEF，∴2+2m2?（m﹣1）＝2×12×（m﹣∴m＝3，此時(shí)E（3，2）②如圖3中，當(dāng)E在P左邊時(shí)，作EM⊥x軸于M．設(shè)E（m，2）則F（1，2m），同理可得，2+2m2×（1﹣m）＝2×12（1﹣m）×（2∴m=1此時(shí)E（13綜上所述，當(dāng)E（3，2）或（13，2）時(shí)，△OEF的面積為△PEF（3）如圖4中，①當(dāng)E在P右邊時(shí)，∠FEG＝90°，EF＝EG，設(shè)E（m，2），則F（1，2m），∵∠EPF＝∠EBG，EF＝EG，∠FEP＝∠BEG，∴△FEP≌△EGB，∴PF＝BE，BG＝PE，∴m＝2m﹣2，∴m＝2，∴BG＝PE＝1，∴G（0，1）．②如圖5中，當(dāng)E在P右邊時(shí)，∠GFE＝90°，F(xiàn)G＝FE，作FM⊥y軸于M．設(shè)E（m，2），則F（1，2m），由△FPE≌△FMG，得到FM＝PF，MG＝PE，∴2m﹣2＝1，∴m=3∴PE＝MG=12，BG∴G（0，52③如圖6中，當(dāng)E在P左邊時(shí)，∠FEG＝90°，EG＝EF．設(shè)E（m，2），則F（1，2m），由△EFP≌△GEB，得到，EB﹣PF，BG＝PE，∴m＝2﹣2m，∴m=1∴BG＝PE=23，OG∴G（0，43∵k＞2，此時(shí)E（13④如圖7中，當(dāng)E在P左邊時(shí)，∠EFG＝90°，EF＝FG，作GM⊥PA于M．設(shè)E（m，2），則F（1，2m），由△EFP≌△FGM得到PE＝FM，PF＝GM，∴2﹣2m＝1，∴m=1∴BG＝PF+FM=3∴OG=1∴G（0，12∵k＞2，此時(shí)E（12綜上所述，滿足條件的點(diǎn)G左邊為（0，1）或（0，52【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求三角形的面積，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．8．如圖，將拋物線y＝x2向右平移a個(gè)單位長度，頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，且△AOB為等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）在圖中的拋物線上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求S△ABC；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后的拋物線的解析式y(tǒng)＝x2﹣2ax+a2，令其x＝0找出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)△AOB為等腰直角三角形即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；（2）作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)C，連接BC，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，根據(jù)等腰直角三角形的判定定理找出△ABC為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出S△ABC的值．【解答】解：（1）平移后的拋物線的解析式為y＝（x﹣a）2＝x2﹣2ax+a2，令y＝x2﹣2ax+a2中x＝0，則y＝a2，∴B（0，a2）．∵△AOB為等腰直角三角形，∴a＝a2，解得：a＝1或a＝0（舍去）．故a的值為1．（2）作點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)C，連接BC，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，如圖所示．∵△AOB為等腰直角三角形，∴△ABD為等腰直角三角形，∴∠BAD＝45°．∵AD為拋物線的對稱軸，∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAD＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形．∵點(diǎn)B（0，1），拋物線對稱軸為x＝1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）．S△ABC=12AB?AC故在圖中的拋物線上存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）且S△ABC＝1．【點(diǎn)評】本題考查了平移的性質(zhì)、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出關(guān)于a的一元二次方程；（2）找出點(diǎn)C的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題時(shí)，巧妙的利用了拋物線的對稱性來尋找點(diǎn)C的位置．9．如圖，OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程x2﹣12x+32＝0的兩根，且OA＞OB，點(diǎn)P在AB上，且PB＝3PA．請解答下列問題：（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）求直線AB的解析式；（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以A、P、O、Q為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）首先解x2﹣12x+32＝0，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；首先過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，由PB＝3PA，利用平行線分線段成比例定理，即可求得AH的長，則可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入一次函數(shù)解析式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）利用（1）的解題結(jié)果即可；（3）分別從PQ∥AO，AQ∥PO，AP∥OQ去分析，利用函數(shù)解析式與兩點(diǎn)間的距離公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵x2﹣12x+32＝0，∴（x﹣4）（x﹣8）＝0，解得：x1＝4，x2＝8．∵OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程x2﹣12x+32＝0的兩根，且OA＞OB，∴OA＝8，OB＝4．∴A（﹣8，0），B（0，4）．設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則?8k+b=0解得：k=1∴直線AB的解析式為：y=12過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H．設(shè)P（x，y），∴AH＝|﹣8﹣x|＝x+8．∵PH∥y軸，∴APPB∴AHHO即x+8?x解得x＝﹣6．∵點(diǎn)P在y=12∴y=12×∴P（﹣6，1）．（2）由（1）知，直線AB的解析式為：y=12（3）存在．如圖①，若PQ∥AO，過點(diǎn)Q作QG⊥AO于G，過點(diǎn)P作PH⊥AO于H，∵梯形OAPQ是等腰梯形，∴AH＝OG＝8﹣6＝2，QG＝PH＝1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，1）；如圖②，若AQ∥PO，∵OP的解析式為：y=?1設(shè)直線AQ的解析式為：y=?16x∵A（﹣8，0），∴?16×（﹣解得：m=?∴直線AQ的解析式為：y=?16設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（x，?16x∵梯形APOQ是等腰梯形，∴PA＝OQ，∴x2+（?16x?43）2＝[﹣8﹣（﹣6）]整理得：37x2+16x﹣116＝0，即（37x﹣58）（x+2）＝0，解得：x=5837或x＝∴y=?∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（5837，?如圖③，若AP∥OQ，∵直線AP的解析式為：y=12∴直線OQ的解析式為：y=12設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，12x∵AQ＝OP，∴（x+8）2+（12x）2＝12+（﹣6）2整理得：5x2+64x+108＝0，即：（5x+54）（x+2）＝0，解得：x=?545或x∴y=12×（?∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（?545，綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，1）或（5837，?5937）或（?【點(diǎn)評】此題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、平行線分線段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．如圖，過點(diǎn)C（0，﹣2）的拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣3），過點(diǎn)C作CB∥x軸交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)P在線段BC上，CP＝m．（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)，并用含m的代數(shù)式表示PB的長；（2）點(diǎn)A，Q分別為x軸和拋物線上的動點(diǎn)，若恰好存在以CP為邊，點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，求出所有符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)；（3）是否存在m值，使△MBP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的m值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由C與B關(guān)于拋物線的對稱軸x＝2對稱，C（0，﹣2），可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），那么BC＝4，再根據(jù)PB＝BC﹣CP可用含m的代數(shù)式表示PB的長；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)CP為一邊時(shí)，CP∥AQ，則點(diǎn)Q為拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)CP為對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形相對的兩個(gè)頂點(diǎn)到另一條對角線的距離相等求解；（3）先由M、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出MB2＝5，MP2＝（m﹣2）2+1，BP＝4﹣m．再分三種情況進(jìn)行討論：①由MP＝MB列出方程（m﹣2）2+1＝5，解方程求出m的值；②由MP＝BP列出方程（m﹣2）2+1＝（4﹣m）2，解方程求出m的值；③由BP＝MB列出方程（4﹣m）2＝5，解方程求出m的值．【解答】解：（1）∵C與B關(guān)于拋物線的對稱軸x＝2對稱，C（0，﹣2），∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2），∵CP＝m，∴PB＝BC﹣CP＝4﹣m；（2）∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣3），∴y＝a（x﹣2）2﹣3，將C（0，﹣2）代入，得a（0﹣2）2﹣3＝﹣2，解得a=1∴y=14（x﹣2）2﹣3，即y=14x2∴當(dāng)y＝0時(shí)，14（x﹣2）2﹣3＝0，解得x＝2±23∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣23，0）或（2+23，0）．點(diǎn)P在線段BC上，CB∥x軸，當(dāng)CP為一邊時(shí)，CP∥AQ，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2﹣23，0）或（2+23，0）；所以符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)坐標(biāo)為（2﹣23，0）或（2+23，0）；（3）∵M(jìn)（2，﹣3），B（4，﹣2），P（m，﹣2），∴MB2＝（4﹣2）2+（﹣2+3）2＝5，MP2＝（m﹣2）2+（﹣2+3）2＝（m﹣2）2+1，BP＝4﹣m．當(dāng)△MBP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①如果MP＝MB，那么（m﹣2）2+1＝5，解得m1＝0，m2＝4（不合題意舍去），所以m＝0；②如果MP＝BP，那么（m﹣2）2+1＝（4﹣m）2，解得m=11所以m=11③如果BP＝MB，那么（4﹣m）2＝5，解得m1＝4?5，m2＝4+所以m＝4?5綜上所述，所有符合條件的m值為0或114或4?【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的性質(zhì)，平行四邊形、等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．11．已知直線L1：y=12x+5與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，直線L2：y＝﹣2x+10與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）判別△PAC的形狀，并說明理由；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△PAQ是等腰三角形？若存在，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）將y=12x+5和y＝﹣2（2）根據(jù)系數(shù)的積的比為﹣1，判斷出兩直線垂直，得到△PAC為直角三角形．（3）過P作PE⊥x軸于E，E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），根據(jù)勾股定理求出PA的長，直接求出Q1，Q2，Q4，作GQ3⊥AP，求出GQ3解析式，得到Q3的坐標(biāo)．【解答】解：如圖：（1）將y=12x+5和y＝﹣2x+10組成方程組得解得x=2y=6可得P（2，6）．（2）∵L1：y=12x+5的比例系數(shù)為k，L2：y＝﹣2x+10的比例系數(shù)為可得12×（﹣2）＝∴∠APC＝90°，△PAC為直角三角形．（3）過P作PE⊥x軸于E，E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．∵P（2，6），A（﹣10，0），∴PA=62+∴可見，OQ1＝65?Q1（65?10，0），Q2（﹣65作GQ3⊥AP，設(shè)GQ3解析式為y＝﹣2x+b，H坐標(biāo)為（﹣4，3），將H（﹣4，3）代入y＝﹣2x+b得，3＝﹣2×（﹣4）+b，解得b＝﹣5，∴y＝﹣2x﹣5，當(dāng)y＝0時(shí)，x=?52，Q3（?5【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)綜合題，熟悉函數(shù)和方程的關(guān)系，充分利用圖形，根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)再計(jì)算．12．如圖，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝3，直線MN過點(diǎn)A，∠BAN＝∠DBC，點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動點(diǎn)