2-3-3-2-3-4-點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離(導學案)-(原卷版)

班級：姓名：日期：2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離導學案地位：本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學選擇性必修第一冊》人教A版（2019）第二章直線和圓的方程2.3直線的交點坐標與距離公式學習目標：1.會用向量工具推導點到直線的距離公式，理解兩條平行線間的距離公式的推導，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。.2.掌握點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離，能應用點到直線距離公式解決有關距離問題，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3.通過點到直線的距離公式的探索和推導過程，培養(yǎng)學生運用等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法解決問題的能力，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).學習重難點：重點：點到直線的距離公式的推導思路分析；點到直線的距離公式的應用．理解和掌握兩條平行線間的距離公式難點：應用距離公式解決綜合問題自主預習：本節(jié)所處教材的第頁.復習——兩點之間的距離公式：3.預習——點到直線的距離公式：平行直線間的距離公式：新課導學學習探究（一）新知導入【問題1】在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設一條連接飯館和公路的道路.請同學們幫助設計一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?【問題2】立定跳遠測量的是什么距離？A.兩平行線的距離B.點到直線的距離C.點到點的距離（二）點到直線的距離、兩條平行直線間的距離◆知識點1點到直線的距離 【探究1】1．如圖，什么是平面上點P到直線l的距離？2．如上圖，設點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，如何求垂足Q的坐標？如何求|PQ|的長？3．我們知道，向量是解決距離、夾角問題的有力工具．如圖，設n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，如何從向量投影的角度得出eq\o(PQ,\s\up6(→))的模的表達式？4．設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直線l：Ax＋By＋C＝0上的任意兩點，如何利用直線l的方程得到與l的方向向量垂直的單位向量n？5．根據(jù)問題3,4的內(nèi)容，你能得出|PQ|的長嗎？◆點到直線的距離(1)概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離，就是該點到直線的距離．(2)公式：點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).【點睛】(1)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應先化成一般式再用公式.(2)當點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.（3）點到直線的距離即是點與直線上點連線的距離的最小值。【做一做1】(教材P77練習1改編)原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)◆知識點2兩條平行直線間的距離【探究2】1．兩條平行直線間的距離是指什么線段的長？2．直線l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三點，直線l2：x＋y－2＝0與直線l1平行，那么點A、B、C到直線l2的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎？3．已知l1：Ax＋By＋C1＝0(A，B不同時為0)，l2：Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)，如何推導出l1與l2間的距離公式呢？◆兩條平行直線間的距離：(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．(2)求法：兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離．(3)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【做一做2】(教材P78例7改編)兩條平行線l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距離為()A．3 B．2C．1 D.eq\f(1,2)【做一做3】(教材P79練習2改編)已知直線l1：x＋y－1＝0，l2：2x+2y＋a＝0，且兩直線間的距離為eq\r(2)，則a＝________.（三）典型例題1.點到直線距離公式的應用例1.求點P0(－1,2)到下列直線的距離：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.例2.求過點M(－2,1)且與A(－1,2)，B(3,0)兩點距離相等的直線方程．【類題通法】1.在使用點到直線的距離公式時，首先把直線方程化為一般式，再利用公式求解．2.在已知點到直線的距離求參數(shù)時，只需根據(jù)公式列方程求解參數(shù)即可．【鞏固練習1】1.若點M(－2,1)到直線x＋2y＋C＝0的距離為1，則C的值為______．2．求過點A(－1,2)且到原點的距離等于eq\f(\r(2),2)的直線方程．2.兩條平行直線間的距離【例3】已知直線l與直線3x＋4y－1＝0平行，且兩直線間的距離為4，則直線l的方程為________．【類題通法】求兩平行直線間距離的兩種思路1.利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點到另一條直線的距離.2.直接利用兩平行線間的距離公式，當直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對應相等.【鞏固練習2】直線l1過點A(0,1)，l2過點B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求l1，l2的方程．3.對稱問題例4.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：（1）點A關于直線l的對稱點A′的坐標；（2）直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程；（3）直線l關于點A對稱的直線l′的方程．【類題通法】對稱主要有以下四種：點點對稱、點線對稱、線點對稱、線線對稱，其中后兩種可以化歸為前兩種類型，所以“點關于直線對稱”是最重要的類型。點A(x0，y0)關于直線l：Ax＋By＋C＝0的對稱點M(x，y)可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－y0,x－x0)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1AB≠0，,A·\f(x＋x0,2)＋B·\f(y＋y0,2)＋C＝0))求得．【鞏固練習3】根據(jù)條件求直線方程．（1）已知直線，求其關于對稱的直線的直線方程；（2）求直線關于直線對稱的直線的方程．4.最值問題例5.兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．【類題通法】數(shù)形結合、運動變化的思想和方法是數(shù)學中常用的思想方法．當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍．類似地，當一條直線過定點A時，點B到這條直線l的距離d也是當l⊥AB時最大，l過B點時，最小為零．【鞏固練習4】點P在直線x＋y－4＝0上，O是坐標原點，則|OP|的最小值為（）A． B．2C． D．2（四）操作演練素養(yǎng)提升1.如果關于直線的對稱點為，則直線的方程是()A．B．C．D．2.兩條平行線l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0間的距離等于（）A． B． C． D．3.直線y＝4x﹣5關于點P（2，1）對稱的直線方程是（）A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+94.直線與直線交于點，則點到直線的最大距離為（）A． B． C． D．課堂小結通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？學習評價【自我評價】你完成本節(jié)導學案的情況為（）A.很好B.較好C.一般D.較差【導學案評價】本節(jié)導學案難度如何（）A.很好B.較好