第13講-直線與圓、圓與圓的位置關系(解析版)

第13講直線與圓、圓與圓的位置關系1.能根據給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.1.直線與圓的位置關系(1)三種位置關系(2)根據d與r的關系判斷(d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑.)相離?沒有公共點?d>r;相切?只有一個公共點?d=r;相交?有兩個公共點?d<r.(3)聯立方程求判別式的方法聯立直線方程與圓的方程Ax+By+C=0x當Δ>0時，直線與圓有2當Δ=0時，直線與圓只有1當Δ<0(4)圓上一點到圓外一直線的距離若直線l與圓⊙O相離，圓上一點P到直線l的距離為PE，d為圓心O到直線l的距離，r為圓半徑，則PEmin=P2.圓與圓的位置關系設圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0)，圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2位置關系方法公切線條數幾何法:圓心距d與r1,r2的關系代數法:聯立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1+r2無解4外切d=r1+r2一組實數解3相交|r1-r2|<d<r1+r2兩組不同的實數解2內切d=|r1-r2|(r1≠r2)一組實數解1內含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)無解01.圓的切線方程常用結論(1)過圓x2+y2=r2(r>0)上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.2.當兩圓外切時,兩圓有一條內公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線;當兩圓內切時,兩圓有一條外公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線.無論兩圓外切還是內切,將兩圓方程(方程等號右邊是0的形式),左右兩邊直接作差,消去x2,y2得到兩圓的公切線方程.3.兩圓相交時公共弦的性質圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)與C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2(1)將兩圓方程直接作差,消去x2,y2得到兩圓公共弦所在直線方程;(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).【題型1直線與圓的位置關系】【典題】（1）求過點P(?1,4)，圓x?22+y?3【解析】方法1當過點P的直線斜率不存在時，方程為x=?1故可設切線l為y=依題意得圓(2,3)到直線l的距離等于半徑1，故|3k+1|1+k2故所求直線l的方程為y=4或3x+4y?13=0．方法2設所求直線的方程為Ax+1+By?4

∵直線l與圓相切，∴圓心(2,3)到直線l的距離等于半徑1，故|3A?B|

整理，得A(4A?3B)=0，即A=0(這時B≠0)或A=3故所求直線l的方程為y=4或3x+4y?13=0．【點撥】①方法1中，設過某一點(x0,y0②方法2利用了直線系方程，過點(x0,y0【典題】（2）若圓C：x2+y2?2x+2y=2與直線x?y+a=0有公共點，則a【解析】方法一化圓C的一般方程為標準方程，得x?12則圓心坐標為C(1,?1)，半徑r=2，若直線與圓C有公共點，則圓心(1,?1)到直線的距離d小于等于半徑r，則d=|1+1+a|2≤2方法二由x?y+a=0x2+其判別式?=4a直線與圓有公共點，則?≥0，解得?22【點撥】判定直線與圓的位置共線有兩種方法，①判定圓心到直線的距離與半徑的大小半徑；②聯立方程，看判別式.【典題】（3）已知圓C：(x?3)2+(y?3)2=3，過直線3x?y?6=0上的一點P作圓C的兩條切線PA，【解析】根據題意，如圖：連接AC、BC、PC，圓C的圓心(3,3)，半徑cos∠(圓的切線長定理)當PC最小時，cos∠而PC的最小值為點C到直線3x?y?6=0的距離d=則cos∠APB的最小值為1?6【點撥】①本題利用了平幾和三角恒等變換的知識把cos∠②求某變量的最值，可轉化為另一變量的最值，這也是一種函數思想，在解析幾何中就要對題目中的動點變化有足夠的清晰理解.【典題】（4）已知兩點A(?1,0)、B(0,2)，若點P是圓x?12+y2=1【解析】(S△ABP以AB為底，求其最值，即求點P到直線由兩點A(?1,0)、B(0,2)，∴|AB|=(?1直線AB的方程為：x?1+y由圓x?12+y2=1則圓心C到直線AB的距離d=|2?0+2|∵點P是圓x?12∴點P到直線AB的最大距離dmax=d+r；點P到直線AB的最小距離∴△ABP面積的最大值和最小值之和等于12【點撥】圓上一點P到圓外一直線l距離d與圓心O到直線l的距離d1和圓的半徑r即dmin=d鞏固練習1.已知過點P(2,2)的直線l與圓x?12+yA．1 B．12 C．2 D．【答案】D【解析】設直線方程為：y=k(x－2)+2，由已知圓的圓心為(1,0)，半徑為5，因為直線與圓相切，則圓心到直線的距離為|k(1?2)+2|1+k2故選：D．2.點M(x0,y0A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【答案】B【解析】∵點M(x0,y0∴圓心(0,0)到直線x0x+y∴直線x03.已知圓C：x2+y2?2y=0，P為直線l：x?y?2=0上任一點，過點P作圓C的切線PT【答案】142【解析】圓C：x2+y?1設圓心C到直線l：x－y－2=0的距離為d，故當圓心C到直線l上點的距離最小時，即圓心到直線的距離d，此時|PT|最小，因為d=|?1?2|2=故|PT|最小值是1424.【多選題】已知點P在圓x?52+y?5A．點P到直線AB的距離小于10 B．點P到直線AB的距離大于2 C．當∠PBA最小時，|PB|=32 D．當∠PBA最大時，【答案】ACD【解析】∵A(4,0),B(0,2)，∴過A、B的直線方程為x4+y圓x?52圓心到直線x+2y－4=0的距離d=|1×5+2×5?4|∴點P到直線AB的距離的范圍為[1155?4∵1155<5，∴點P到直線AB的距離小于10，但不一定大于2，故A正確，B錯誤；如圖，當過B的直線與圓相切時，滿足∠PBA最小或最大(P點位于P1時∠PBA最小，位于P2時此時|BC|=(5?0∴|PB|=|BC|2故選：ACD．5.直線x+y+a=0與半圓y=?1?x2有兩個交點,則a的值是【答案】[1,2【解析】根據題意畫出圖形，如圖所示：當直線在第三象限與半圓相切時，圓心到直線的距離d=r，即|a|2=1，解得：a=2當直線過點A時，直線x+y+a=0與圓有兩個交點A和B，把A(－1,0)代入x+y+a=0中得：－1+a=0，解得：a=1，則直線與圓有兩個交點時，a的范圍是[1,2故答案為：[1,26.若圓x2+y2?2x?2y=0上至少有三個不同點到直線l：y=kx的距離為22，則【答案】2?3,2+【解析】由圓x2+y則圓心為(1,1)，半徑為2，圓上至少有三個不同的點到直線l：y=kx的距離為22則圓心到直線的距離應不大于等于22∴|1?k|1+k2≤由tan15°=tan(45°－30°)=tan45°?tan30°tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°7.已知P(x,y)是圓x?12+y?22=r2(r>0)上任意一點，若【答案】0<r≤1【解析】由題意可知此圓夾在兩直線3x－4y=0和3x－4y+16=0之間時，|3x－4y|+|3x－4y+16|是定值，所以|3×1?4×2|32+【題型2圓與圓的位置關系】【典題】已知兩圓x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)判斷兩圓公切線的條數;(2)求公共弦所在的直線方程以及公共弦的長度.解:(1)兩圓的標準方程分別為C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,則圓C1的圓心為(1,-5),半徑r1=52;圓C2的圓心為(-1,-1),半徑r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以兩圓相交,所以兩圓有兩條公切線.(2)將兩圓方程相減,得公共弦所在直線方程為x-2y+4=0.圓心C1到直線x-2y+4=0的距離d=|1-2×設公共弦長為2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦長2l=25.知識點加深：（1）本題中,若兩圓相交于A,B兩點,不求交點,求線段C1C2的垂直平分線所在的直線方程.解:由圓C1的圓心坐標為(1,-5),圓C2的圓心坐標為(-1,-1),可知kC1C2=-5-(-1)1因此線段C1C2的垂直平分線所在的直線方程為y+3=12（2）本例中的兩圓若相交于兩點A,B,求經過兩點A,B且圓心在直線x+y=0上的圓的方程.解:設所求的圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圓的圓心坐標為(1-λ1+λ,-λ+5解得λ=-2,因此所求的圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.思路總結：(1)當兩圓相交時,可利用將兩圓方程相減消去二次項的方法求得兩圓的公共弦所在直線的方程.(2)判斷兩圓的公切線的條數,可以轉化為判斷兩圓的位置關系.(3)求過兩圓交點的圓的方程,可以利用圓系方程求解.鞏固練習2.若圓C1:(x+1)2+y2=2與圓C2:x2+y2-4x+6y+m=0內切,則實數m等于()A.-8B.-19C.-5D.6解析:由題意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=2,r2=13-|C1C2|=(-1-2)2+32=32,根據兩圓內切得|C1C解得m=-19.3.已知圓O1:x2-2ax+y2+a2-1=0與圓O2:x2+y2=4有且僅有兩條公切線,則正數a的取值范圍為()A.(0,1) B.(0,3)C.(1,3) D.(3,+∞)解析:圓O1與圓O2有且僅有兩條公切線,所以兩個圓相交,圓O1的圓心為(a,0),半徑為1,所以1<a26.若圓C:x2+(y-4)2=18與圓D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦長為62,則圓D的半徑為()A.5B.25C.26D.27解析:由圓C:x2+(y-4)2=18與圓D:(x-1)2+(y-1)2=R2,可得兩圓公共弦的方程為2x-6y=4-R2,又由圓C的方程為x2+(y-4)2=18,其圓心的坐標為(0,4),半徑r=32,兩圓的公共弦的弦長為62,則點C(0,4)在直線2x-6y=4-R2上,則有2×0-6×4=4-R2,解得R2=28,則圓D的半徑為27.9.(2022·天津一模)已知圓M與圓C:x2+y2+10x+10y=0相切于原點,且過點A(0,-6),則圓M的標準方程為.

解析:圓C:x2+y2+10x+10y=0,即(x+5)2+(y+5)2=50,故圓心C(-5,-5).根據兩圓相切于原點,所求的圓的圓心為M,可得M,O,C共線,故圓心M在直線y=x上,設所求的圓的圓心為M(a,a),又所求的圓過點A(0,-6),故圓心M還在直線y=-3上,故M(-3,-3),半徑為|AM|=32,故所求的圓的方程為(x+3)2+(y+3)2=18.答案:(x+3)2+(y+3)2=18一、單選題1．（2004·湖北·高考真題）兩個圓與的公切線有且僅有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【分析】先求兩圓的圓心和半徑，判定兩圓的位置關系，即可判定公切線的條數【詳解】將兩圓化為標準式可得即兩圓的圓心分別是,,半徑分別是2，2兩圓圓心距離：，說明兩圓相交，因而公切線只有兩條．故選：B．2．（2005·遼寧·高考真題）若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為（

）A．8或 B．6或 C．4或 D．2或【答案】A【分析】根據平移公式得平移后的直線方程為，再根據該直線與圓相切，即可求出c的值，從而得答案.【詳解】解：由題意可得直線按向量平移后的直線方程為：，即為，又因為直線與圓相切，所以，即有，解得或.故選:A.3．（2002·北京·高考真題）圓與直線的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【分析】由圓心到直線的距離和圓的半徑比較大小即可判斷.【詳解】圓的標準方程為：，所以圓心為，半徑，又，所以，所以圓心到直線的距離，而，所以.則直線與圓的位置關系為相離.故選：C4．（2004·安徽·高考真題）若直線與圓有兩個不同的交點，則a的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題，直線與圓相交，則直線到圓心距離小于圓半徑.【詳解】由題，圓心坐標為，半徑為1，直線與圓相交.則圓心到直線距離，得，即，解得.故選：B5．（2006·湖南·高考真題）圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是（

）A．36 B．18 C． D．【答案】D【分析】求出圓的圓心坐標及半徑，判斷直線與圓的位置關系即可求解.【詳解】解：因為圓，即，所以圓心坐標為，半徑，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差為，故選：D.6．（2008·山東·高考真題）已知圓的方程為，設該圓過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分析已知點與圓的位置關系，再判斷出最長弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面積公式即可求出四邊形ABCD的面積.【詳解】解：圓心坐標是，半徑是5，圓心到點的距離為1．所以點在圓內，最長弦為圓的直徑由垂徑定理得：最短弦BD和最長弦（即圓的直徑）AC垂直，故最短弦的長為，最長弦即直徑，即，所以四邊形的面積為．故選：B.7．（2015·山東·統考高考真題）“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（

）A．充分沒必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由直線與圓相切的等價條件，易判斷【詳解】由于“圓心到直線的距離等于圓的半徑”“直線與圓相切”，因此充分性成立；“直線與圓相切”“圓心到直線的距離等于圓的半徑”，故必要性成立；可得“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的充要條件故選：C8．（2002·全國·高考真題）直線與圓相切，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓心到直線的距離等于半徑可得．【詳解】由題意圓標準方程為，圓心坐標為，半徑為1，所以，解得．故選：D．二、多選題9．（2021·全國·統考高考真題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.三、填空題10．（2023·全國·統考高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長，以及點到直線的距離，結合面積公式即可解出．【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．11．（2005·北京·高考真題）若圓與直線相切，且其圓心在y軸的左側，則m的值為．【答案】【分析】將圓方程化為標準形式得到圓心和半徑，根據相切得到，根據圓心在y軸的左側得到，解得答案.【詳解】，即，圓心為，半徑為，圓心在軸的左側，故，即，圓與直線相切，故，解得.故答案為：12．（2002·北京·高考真題）已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．【答案】【分析】確定圓心為，半徑，將四邊形的面積轉化為，計算點到直線的距離得到答案.【詳解】，即，圓心為，半徑，，即最小時，面積最小.，故四邊形面積的最小值為.故答案為：13．（2022·天津·統考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則．【答案】【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因為，解得.故答案為：.14．（2022·全國·統考高考真題）設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點關于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：15．（2022·全國·統考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.16．（2021·天津·統考高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則．【答案】【分析】設直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設直線的方程為，則點，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因為，故.故答案為：.一、單選題1．過圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題設易知OAPB是正方形且，結合兩圓的位置關系畫示意圖，即可求參數r.【詳解】由題意知：，∵，∴四邊形OAPB是正方形，且，∴.故選：D.2．若圓上存在點，直線上存在點，使得，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由判斷出直線和圓有公共點，利用圓心到直線的距離小于或等于半徑列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由于，即是圓的直徑，所以直線和圓有公共點，圓心到直線的距離，，所以.故選：B3．若圓心在x軸上，半徑為2的圓C位于y軸左側，且與直線相切，則圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設圓心的坐標為，且，根據圓心到直線的距離等于半徑，求得的值，即可求得圓的方程.【詳解】由題意，圓心在軸上，設圓心的坐標為，且，因為圓與直線相切，可得，解得，又由圓位于y軸左側，可得，所以，所以圓的方程為.故選：B.4．過作圓:的兩條切線，切點分別為兩點，則兩點間的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出切點弦方程，再利用弦長公式，即可得到答案；【詳解】以為直徑的圓的方程為：，與方程相減得：公共弦的方程為：圓心C到弦所在直線的距離，，故選：B5．已知圓上有三個點到直線的距離等于1，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】求出圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離，列方程即可求得的值.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為圓上有三個點到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，可得：，故選：A.6．已知是直線上的動點，是圓的切線，是切點，是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求得的最小值，進而可求得四邊形面積的最小值.【詳解】解：如下圖所示：由已知得圓心，圓的半徑為，由圓的幾何性質可得，由勾股定理得，當取最小值時，最小，的最小值為點到直線的距離，，由切線長定理得，又，，，所以，四邊形面積.故選：C.二、多選題7．若圓上恰有相異兩點到直線的距離等于，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出圓心到直線的距離，使圓心到直線的距離與半徑的差的絕對值小于，即可求解.【詳解】因為圓心到直線的距離，因為上恰有相異兩點到直線的距離等于，，即，解得，故選：BCD8．以下四個命題表述正確的是（

）A．一定表示圓B．圓上有且僅有4個點到直線的距離都等于1C．圓上有且僅有2個點到直線的距離都等于1，則D．圓與圓相交，交線方程為【答案】BCD【分析】由圓的一般方程可判斷選項A,由直線與圓的位置關系可判斷選項B,C,由兩個圓的方程相減可得公共弦所在的直線方程，即可判斷選項D.【詳解】當時，不表示圓，故A錯誤；圓的圓心為，半徑為2，圓心在直線上，∴圓上有且僅有4個點到直線的距離都等于1．故B正確；圓上有且僅有2個點到直線的距離都等于1，所以圓心到直線的距離，即，所以，故C正確；圓的圓心為：，半徑；圓的圓心為：，半徑，所以，∴圓與圓相交，交線方程為方程與方程相減得,故D正確，故選：BCD．三、填空題9．已知直線：與圓相切，則的值是.【答案】【解析】利用圓心到直線的距離為半徑可求的值.【詳解】因為直線：與圓相切，故圓心到直線的距離，解得，故答案為：10．已知點和圓，自點P引圓的割線，所得弦長為，則割線所在的直線方程為.【答案】或【分析】由弦長和半徑求得圓心到直線的距離，設割線方程，根據點到直線距離公式即可求出割線方程．【詳解】弦長為，半徑為，所以圓心到直線的距離，易知割線的斜率一定存在，設割線，即，，即，解得或，所以割線方程為或．故答案為：或．11．若拋物線在點（1,2）處的切線也與圓相切，則實數的值為.【答案】【分析】首先根據拋物線所過的一個點，求得拋物線的方程，從函數的角度去求其切線，對函數求導，代入求得直線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求得參數的值，得到結果.【詳解】拋物線過點可得拋物線可化為，從而由知切線斜率為，切線方程為即又圓的方程可化為且圓與拋物線也相切解得【點睛】該題考查的是有關曲線的切線問題，涉及到的知識點有拋物線的方程的求解，利用導數的幾何意義求曲線的切線方程，圓與直線的位置關系，點到直線的距離公式，正確應用公式是解題的關鍵.12．如圖，在邊長為的正三角形內部的兩圓，圓與圓外切，且圓與兩邊相切，圓與兩邊相切，則兩圓的周長之和的最小值為．【答案】【分析】設圓與圓的半徑分別為，，圓與圓與邊的切點分別為點，過作，垂足為，進而在中，，，，結合勾股定理得，再根據得，再解不等式可得的最小值為，當且僅當時等號成立，再求周長即可.【詳解】解：如圖1，設圓與圓的半徑分別為，，圓與圓與邊的切點分別為點，過作，垂足為，因為，所以，，設為邊中點，則，因為圓與圓是邊長為的正三角形內部的兩圓，所以，當圓為邊長為的正三角形的內切圓時，取最大，取最小，如圖2，則，即，所以，，所以，在中，，，，所以，，即，因為，所以，，解得所以，的最小值為，當且僅當時等號成立，所以，兩圓的周長之和的最小值為故答案為：四、解答題13．在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①過（－1，2）；②與直線平行；③與直線垂直．問題：已知直線過點M（3，5），且______．(1)求的方程；(2)若與圓相交于點A、B，求弦AB的長．【答案】(1)(2)【分析】(1)可依次根據直線方程的點斜式、“兩直線平行，斜率相等”、“兩直線垂直，斜率相乘為－1”求直線l的方程；(2)利用垂徑定理即可求圓的弦長.【詳