第一章：集合與常用邏輯用語、復(fù)數(shù)、不等式(模擬測試-教師版)

第一章：集合與常用邏輯用語、復(fù)數(shù)、不等式（模擬測試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合，，則（

）A．M B．N C． D．【答案】C【分析】先求集合M，然后由并集運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，又，所?故選：C2．已知命題或，則為（

）A．且 B．且C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題或是全稱量詞命題，所以且.故選：B3．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.4．已知，集合，集合，若，則（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】根據(jù)交運(yùn)算結(jié)果，列出方程，求得對(duì)應(yīng)參數(shù)值；再驗(yàn)證即可選擇.【詳解】因?yàn)?，故可得且，或且；解得或；?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去；綜上所述，.故選：D.5．“四書五經(jīng)”是中國傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》．某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過《大學(xué)》的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學(xué)》或《論語》的有180位，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位．則該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值是（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【答案】A【分析】根據(jù)描述，應(yīng)用容斥原理畫韋恩圖，求出該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】如下圖，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》的人數(shù)是160＋60－180＝40，閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)是40－20＝20，由樣本估計(jì)總體，得所求比值為.故選：A6．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】解：依題意，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選:A.7．對(duì)于非空實(shí)數(shù)集，記.設(shè)非空實(shí)數(shù)集合，若時(shí)，則.現(xiàn)給出以下命題：①對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M?P，必有；②對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M?P，必有；③對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M?P，必有；④對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M?P，必存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有，其中正確的命題是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)集合定義得為不小于集合中最大值的所有數(shù)構(gòu)成的集合.利用集合定義得到新集合，利用集合關(guān)系判斷①，利用特殊集合判斷②③，利用特例法結(jié)合集合定義判斷④.【詳解】由已知，為不小于集合中最大值的所有數(shù)構(gòu)成的集合.①因?yàn)?，設(shè)集合M和P中最大值分別為m和p，則，故有，正確；②設(shè)，則，故，錯(cuò)誤；③設(shè)，則，故，錯(cuò)誤；④令，則對(duì)任意的，，故恒有，正確.故選：B8．實(shí)數(shù)，，滿足：，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用立方和公式和完全平方公式將用與表示，再分離出，使用基本不等式求解即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，，令，則易知與均不為且符號(hào)相同，∴，解得或.（此時(shí)，可通過驗(yàn)證時(shí)，滿足題意，，結(jié)合選項(xiàng)確定選項(xiàng)D正確.）又∵，，，，∴由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，又∵，∴，（當(dāng)時(shí)，），∴解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴綜上所述，的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題若忽視中的與同號(hào)，直接使用基本不等式求解，就容易錯(cuò)解，而優(yōu)先考慮與同號(hào)，并結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行特值驗(yàn)證，則可以很輕松的選出正確選項(xiàng).二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．已知命題，，若p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，恒成立，列出不等式，即可得到的范圍.【詳解】由題意可得，，恒成立，可得，即，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故選：AB10．對(duì)任意A，，記，則稱為集合A，B的對(duì)稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（

）A．若A，且，則B．若A，且，則C．若A，且，則D．存在A，，使得【答案】ABD【分析】根據(jù)新定義及交、并、補(bǔ)集運(yùn)算，逐一判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，且B中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，即與是相同的，所以，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，時(shí)，，，D正確；故選：ABD．11．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)畢達(dá)哥拉斯哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中，算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同，而今我們稱為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)，的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式（，）叫做基本不等式，下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則的最小值為C．若，，，則的最小值為D．若，，，則的最小值為2【答案】AD【分析】A.根據(jù)，由“1”的代換，利用基本不等式求解判斷；B.令，得到，由“1”的代換，利用基本不等式求解判斷；C.由，得到，利用基本不等式求解判斷.D.令，得到，由“1”的代換，利用基本不等式求解判斷.【詳解】A.因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；B.因?yàn)?，，，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；C.因?yàn)椋?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；D.令，則，，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故正確；故選：AD12．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AC【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)；由已知可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合的取值范圍，可得出的取值范圍，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，因?yàn)?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，則A對(duì)B錯(cuò)；因?yàn)椋?，，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，，C對(duì)D錯(cuò).故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知，集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】化簡集合，將化為，根據(jù)子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.【詳解】由，，得，因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：14．已知，且q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】【分析】設(shè)將滿足p,q的x的集合即為A,B．已知條件轉(zhuǎn)化為，根據(jù)集合間的關(guān)系列式可解得結(jié)果.【詳解】∵“q是p的必要不充分條件”的等價(jià)命題是：是的充分不必要條件．設(shè)．是的充分不必要條件，所以．（兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到），．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，考查了充分不必要條件和必要不充分條件,考查了集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15．若關(guān)于x的不等式的解集為，則的最小值為_________．【答案】8【分析】由題意可得化簡得，所以，利用基本不等式即可求解【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋瑒t，因?yàn)?，所以，∴．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)．故答案為：816．已知，則的最大值為_________．【答案】【分析】通分化簡整理，再利用基本不等式求得最大值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最大值為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．命題：任意，成立；命題：存在，+成立.(1)若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或或【分析】（1）由q真,由判別式求得m的取值范圍，進(jìn)而得到q假的條件；（2）求得p真的條件，由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的m的取值范圍，再取并集即得.【詳解】（1）由q真：，得或，所以q假：；（2）p真：推出，由和有且只有一個(gè)為真命題，真假，或假真，或，或或.18．求下列函數(shù)的最值（1）求函數(shù)的最小值.（2）求函數(shù)的最小值.（3）設(shè)，，若，求的最小值.（4）若正數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（1）.（2）.（3）.（4）【分析】（1）先將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，再由基本不等式求得函數(shù)的最小值.（2）先將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，再由基本不等式求得函數(shù)的最小值.（3）先將所求表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，再由基本不等式求得最小值.（4）利用“”的代換的方法，化簡所求表達(dá)式，再由基本不等式求得最小值.【詳解】（1），故函數(shù)的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得；（2），故函數(shù)的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得；（3）由題得，代入原式，得，故原式的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得；（4）由題得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故最小值為5.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.19．在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：已知集合，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)條件選擇見解析，【分析】（1）化簡集合與之后求二者的并集（2）先判斷集合與的關(guān)系，再求的取值范圍【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，，所以；（2）若選擇①A∪B＝B，則，因?yàn)椋?，又，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇②，““是“”的充分不必要條件，則，因?yàn)?，所以，又，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇③，，因?yàn)?，，所以或，解得或，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．20．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（4）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（5）設(shè)，求函數(shù)的值域．（6）①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；②求函數(shù)的最大值；【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②.【分析】（1）將函數(shù)變形為，利用基本不等式求解；（2）將函數(shù)變形為，利用基本不等式求解；（3）將函數(shù)變形為，利用基本不等式求解；（4）將函數(shù)變形為，再用換元法，利用基本不等式求解；（5）將函數(shù)變形為，利用基本不等式求解；（6）①利用換元法，以及基本不等式求解；②利用換元法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以函數(shù)的最大值為.（3）因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.（4），令，則，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)，取得等號(hào)，所以，所以函數(shù)的最大值為.（5）,因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?（6）①令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)，取得等號(hào)，所以，所以函數(shù)的最大值為1.②令，則，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值為4，所以，所以函數(shù)的最大值為.21．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．（1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．【答案】（1）長為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38880元；（2）長為16米，寬為米時(shí)，總造價(jià)最低，為38882元．【分析】（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米．設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米．依題意求出總造價(jià)，再根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意得到，再根據(jù)g（x）＝x（），在[，16]上是增函數(shù)，可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為米．則總造價(jià)f（x）＝400×（2x）+248×2x+80×162＝1296x12960＝1296（x）+12960≥1296×21296