2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專(zhuān)題11 離心率問(wèn)題速解（解析版）

專(zhuān)題11離心率問(wèn)題速解

【命題規(guī)律】

求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問(wèn)題，多以選擇、填空題的形式考查，難度中等.

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題

核心考點(diǎn)二：焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率

核心考點(diǎn)三：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題

核心考點(diǎn)四：橢圓與雙曲線的4〃通徑體

核心考點(diǎn)五：橢圓與雙曲線的4〃直角體

核心考點(diǎn)六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題

核心考點(diǎn)七：雙曲線的4a底邊等腰三角形

核心考點(diǎn)八：焦點(diǎn)到漸近線距離為匕

核心考點(diǎn)九：焦點(diǎn)到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形

核心考點(diǎn)十：以兩焦點(diǎn)為直徑的圓與漸近線相交問(wèn)題

核心考點(diǎn)十一：漸近線平行線與面積問(wèn)題

【真題回歸】

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）橢圓。:毛+￡=1（。>8>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)、P,。均在C上，且關(guān)于y軸

ab~

對(duì)稱(chēng).若直線AP,AQ的斜率之積為，，則C的離心率為（）

4

A.—B.—C.；D.-

2223

【答案】A

【解析】［方法一］:設(shè)而不求

設(shè)P&M，則。（F，Y）

則由:得：怎〃?心Q=T---^―=一T一三=；'

v

4Xj+a-Xj+a-xt+a4

由得小十1

叩J：）從1

所以一/一］,即勺/，

---?~~-=7a4

-x-+a4

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點(diǎn)為B,連接PB,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：即8=-心Q

故kAP?kAQ=即八一心。=_W'

p

由橢圓第三定義得：kPA-kAQ=~,

如從1

故下北

所以橢圓C的離心率e=5="孑=當(dāng)，故選A.

2.（2021?天津.統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線/卷=1（心0力>0）的右焦點(diǎn)與拋物線），2=2〃武〃>0）的焦點(diǎn)重

合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn),若|。|=應(yīng)|人用.則雙曲線的

離心率為（）

A.y/2B.73C.2D.3

【答案】A

【解析】設(shè)雙曲線,木=1（“>O,b>0）與拋物線/=2PMp>0）的公共焦點(diǎn)為（G。），

則拋物線V=2px（p>0）的準(zhǔn)線為x=-c,

M2.22

令iC,則十方v=1,解得y=土?，所以|陰=9子h，

又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為丁=±3%，所以|8|=當(dāng)，

所以迎=名空.，即c=@,所以/“2_82=*,

aa2

所以雙曲線的離心率e-￡-JS.

a

故選：A.

3.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)5是橢圓C:￡+￡=13>b>0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)「都滿足

\PB\<2b,則C的離心率的取值范圍是（）

A?m）B.年』）0,陷］

【答案】C

【解析】設(shè)尸（加兒）,由B（o,b）,因?yàn)椤?苓=1，a2=b2+c2,所以

|P8『=片+（%一/?）”=/（1一張+（%-"=-如［。+*+^+a2+b2,

因?yàn)?4治",當(dāng)一疑_力，即從"時(shí)，|咻；=心，即閥2=?,符合題意，由從*2可得a222c2,

工IIHMIX**IlliW

即0<e<^：

2

當(dāng)《〉",即"</時(shí)，|冏==5+/+從，即探+/+從44/，化簡(jiǎn)得，卜2_6）2<0,顯然該不

等式不成立.

故選：C.

4.（多選題）（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為0居，以。的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過(guò)

3

［作。的切線與。交于M,N兩點(diǎn)，且cosN^N居=1,則C的離心率為（）

A.@B.-C.姮D.叵

2222

【答案】AC

【解析】［方法一］:幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用

情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)耳作圓。的切線切點(diǎn)為B,

3

所以O(shè)B_LF|N,因?yàn)閏osNK”=］>0,所以N在雙曲線的左支，

|OB|=a,\OF］=ct出B|=b,設(shè)，F(xiàn)\NF?=a,由即cosa=］,則sina=?

3S

|NA匕a,|N以=于

|NE|-|N^|=2t/

5（3

-a-\—a-2b=2o。,

2\2）

選A

情況二

3

若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)閏o$NZNE=g>0,所以N在雙曲線的右支.

所以|OB|二a,|0用=「，忖B|=b,設(shè)4；叫=。，

334

由cos/￡Ng=m，即cosa=g,則sina=《，

35

|NA|=-^|NF2|=^

MH明|=2

3c,5c

—a+2b——a=2a,

22

所以力=%,即2=1,

a2

所以雙曲線的離心率6=￡=、1+￡=巫

a\az2

選C

［方法二］:答案回代法

A選項(xiàng)

2

特值雙曲線

:-），2=］,.耳卜逐0）田后°）,

過(guò)E且與圓相切的一條直線為y=2（x+>5）,

??,兩交點(diǎn)都在左支,，N（-■|石,-：6}

.-.|NE|=5,|^|=1,|^|=275,

3

則cosNfJNH=",

C選項(xiàng)€=巫

2

22

特值雙曲線^耳卜疝0)國(guó)厄o),

過(guò)耳且與圓相切的一條直線為y=［(x+9)，

;兩交點(diǎn)在左右兩支，N在右支，:.N/后JIJ可，

/.|NE|=5,|N^|=9,|^|=2V13,

3

則COSN6N6=^,

［方法三］:

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在X軸，設(shè)過(guò)￡作圓。的切線切點(diǎn)為G,

若M,N分別在左右支，

因?yàn)镺GJ.NK，且8SNKNR=W>0,所以N在雙曲線的右支，

又|用=〃，|O￡|=c,|G用=b,

設(shè)“NB=(x,4F【F\N=。、

在△小中，有粵二件二匹，

sinpsin(a+〃)sina

MH”|_2c_______1______=」

sin(a+夕)-sinsinasin(<z+/?)-sin/?sina,

所以------o-------F―『=--，

sinacosp+cosasmp-sinpsina

h3.ab...4

而8sa=-,sinpn=—,cospn=—>故sina=—,

5cc5

代入整理得到?=3a,即

a2

所以雙曲線的離心率6=￡=1+?=巫

a\a12

若M,N均在左支上,

同理有約=的小=秘一，其中夕為鈍角，故cos夕=-2,

sinps.inV(a+p)sinac

故W^HN用.2c即____________?____________=,

sin/?-sin(a+/?)sinasin尸一sinacos夕一cosasin夕sina

代入8sa=g,siny9=—,sina=7,整理得到：——^―-=\,

5c54/?+2a4

故選：AC.

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知橢圓C：1+1=l(a>^>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為6,F”離

a2b2

心率為方.過(guò)片且垂直于人尸2的直線與c交于E兩點(diǎn),1。&=6,則VADE的周長(zhǎng)是.

【答案】13

c1

【解析】???橢圓的離心率為c=￡=：,??.a=2c,???力2=〃2一/=3/,???橢圓的方程為

a2

三十工=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為工，如圖所示，???

4c~3c~

46=〃，OF2=C,〃=2c,??./4巴。=2.??.A4K鳥(niǎo)為正三角形，?.?過(guò)耳且垂直于A鳥(niǎo)的直線與。交于￡＞,

E兩點(diǎn)，。石為線段AK的垂直平分線，，直線。石的斜率為立，斜率倒數(shù)為石，直線。石的方程：

3

x=y/5y-c?代入橢圓方程+4）2-12c2=0,整理化簡(jiǎn)得到：13y2-6\ficy-9c2=0,

判另1式14=伍?。?+4X13X9/=62X16XC2,

2

A|DE|=^l+（＞/3）|y1-y2|=2x^=2x6x4x-j1=6,

?13殂“13

..c=-,14a=2c=—,

84

?JOE為線段A尸2的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，AD=DF2,AE=%,JVAOE的周長(zhǎng)等于△6。七的周長(zhǎng),

利用橢圓的定義得到△入。￡周長(zhǎng)為

\DF^\EF2|+|DE|=|DF21+|EF21+|DF]|+|EFX|=|。用+|DF2\+\EFl\+\EF2\=2a+2a=4a=l3.

故答案為：13.

6.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線*-，=13＞0,力＞0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為2的直線交雙

曲線于點(diǎn)人（西方），交雙曲線的漸近線于點(diǎn)3（9,），2）且玉＜0＜再.若Iq=3|FA|,則雙曲線的離心率是

【答案］巫

4

【解析】過(guò)戶且斜率為二的直線A8:y=3*+c）,漸近線。：y=2

4a4aa

b

y=—(x+c)

聯(lián)立《'得哈鋁由網(wǎng)=3|陽(yáng),得A房匐

b

y=L

而點(diǎn)A在雙曲線上，于是"且-心二口，解得：4=—?所以離心率e=婭.

81/81//a2244

故答案為：亞.

4

7.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）記雙曲線=力>0）的離心率為e,寫(xiě)出滿足條件“直線y=2%與

a2b~

C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________.

【答案】2（滿足1<CK有皆可）

【解析】C:J-J-=l（?>0,Z?0）,所以C的漸近線方程為…5

結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需0<勺42,即￡44,

aa

可滿足條件“直線y=2x與c無(wú)公共點(diǎn)”

所以e=2=+—7<J1+4=\/5?

又因?yàn)閑>l,所以l<eK喬，

故答案為：2（滿足l<e4石皆可）

【方法技巧與總結(jié)】

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系.

2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.6,人為橢圓W+￡=1?>力:>0）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上

a2b2

的任意一點(diǎn)，仍用?a-c,a+c];6,名為雙曲線三一2r=i（a>o,b>O）的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上的任

CTb，

一點(diǎn)，

3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系.E，居為橢圓￡+f=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，

a2b2

若N耳夕6=6，則橢圓離心率e的取值范羽為sing?e<l?

4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系.

5、利用判別式建立不等關(guān)系.

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：頂角為直角的焦點(diǎn)三角形求解離心率的取值范圍問(wèn)題

【典型例題】

例1.（2022?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓馬+1=1（。>力>0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)8,尸為

其右焦點(diǎn)，若AFJ.B尸,設(shè)NA班'=。，且aw任則該橢圓的離心率「的取值范圍是（）

A.圈B.停用C.停等D.圜

【答案】B

【解析】由題意橢圓…）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E,F為其右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)

為N,連接AN,BN,因?yàn)樗运倪呅?陽(yáng)N為長(zhǎng)方形.

根據(jù)橢圓的定義：|A/|+|4V|=為，由題/A"=a,則乙4NQ=a,

所以2a=2rcosa+2csina，

2c11

e=—=----------------=--------------------

利用2asina+cosa&sin(a+.「

幾717T

—<a+—<—即橢圓離心率e的取值范圍是

342

故選B.

例2.（2022春?遼寧葫蘆島?高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)耳鳥(niǎo)分別是橢圓=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

產(chǎn)是柄圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使得滿足AP耳丹是直角三角形的動(dòng)點(diǎn)尸恰好有6個(gè)，則該橢圓的離心率為（）

A.|B.在C.也D.也

2223

【答案】C

【解析】由題意知，橢圓的最大張角為90°,所以b=c,所以a=&c，所以6=￡=二=也，故應(yīng)

aJ22

選C.

例3.（2。22秋,安徽.高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若P是以小丹為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn),

且PF-P居=0,tanZP^E.=4?則此橢圓的離心率為（）

z12

A7H9口151313

17171517

【答案】D

【解析】因?yàn)槭?%=0,所以■尸鳥(niǎo)，

22

在心/丹為中，設(shè)歸勾=5m（m>0）,則|尸制=12根，\^F2\=7（5/M）+（12/7?）=13/n,

所以2c=13m，2a=\PF^+\PF^=\hn,

所以，高端

故選：D.

核心考點(diǎn)二：焦點(diǎn)三角形頂角范圍與離心率

【典型例題】

例4.（2022春?福建漳州?高二校聯(lián)考期中）已知橢圓C：5_+%=1

（a>6>0）,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別

為"，鳥(niǎo)，P是橢圓。上的任意一點(diǎn)，且滿足/?「用>（）,則橢圓。的離心率《的取值范圍是（）

【答案】B

【解析】由已知得耳(一。，0),居(。，0),設(shè)尸(%,%)，

則尸￡=(一。一如一為),P/^=(c-x0,-y0),

因?yàn)镻E-PE>0，所以(一。一如一%)?'-%-%)>。，即一/+片+義>0,即其+￥>。2,

因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，所以片+￥表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，

因?yàn)閲?guó)+y：Ln=/，所以〃>不，所以/一「2>/,即，<；,

所以e=￡w(o,*l

aV2)

故選：B.

例5.⑵22春.北京.高二人大附中?？计谀?已知橢圓C*+W=13>力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳名,

若C上存在一點(diǎn)尸，使得N"產(chǎn)6=120°,且△耳/>8內(nèi)切圓的半徑大于且〃，則。的離心率的取值范圍是

()

在11

C.~2'~\2

【答案】C

【解析】設(shè)用叼=2c,△1尸工內(nèi)切圓的半徑為二

因?yàn)閨P/*|P6|=2〃，所以|耳用『=(|P"田”1)2—21P用PE|(1+COS120°)=4a2_|際|,

貝1」|尸61|尸鳥(niǎo)|=4/.

由等面積法可得:(2a+2c)r=；x4〃xsin120°=6(a2-c2),

整理得「=石(〃—c),Xr>—

12

故￡<1.又N斗尸￡,=120°,所以60°KNKPO?90

a12

則外無(wú)，從而走ve<U.

a2212

故選：C

例6.(2022春?新疆烏魯木齊?高二烏市八中?？茧A段練習(xí))已知尸-K是橢圓\+，=l(a>〃>0)的兩個(gè)

焦點(diǎn)，若存在點(diǎn)尸為橢圓上一點(diǎn)，使得/耳「八=60。，則橢圓離心率e的取值范圍是（）.

【答案】C

【解析】如圖,

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，。對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)

點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)4處時(shí)，張角達(dá)到最大值.由此可得：

「存在點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，使得/￡尸6=60。，

??△EG6中，N6兄鳥(niǎo)260。，可得中,NO用工230。,

所以忙用，即叱&,其中c=行萬(wàn)

222

..a-c<3cf可得"工4?,即《之！

a-4

???橢圓離心率e，，Ra>c>0

a

:.—<e<\

2

故選:c

例7.（2。22春?吉林遼源.高三遼源市第五中學(xué)校?？计谥校┮阎獧E圓》&Sb>。）上一點(diǎn)A關(guān)于原

點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為從尸為其右焦點(diǎn)，若AC必設(shè)叫=口且。嗎/則該橢圓離心率e的最大值為

【答案】x/3-l

【解析】已知橢圓，+/叱人0）二一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)從/為其右焦點(diǎn),

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為N,連接4E4NIF,用V,所以四邊形AEW為長(zhǎng)方形,

根據(jù)橢圓的定義|AF|+|AN|=2z,且4BF=a，則N/Wr=a,

所以2a=2rcosa+2rsina，

_2c_]_]

又由離心率的公式得“2asina+cosa72sin（a+-），

4

由0建潦],則工Wa+黃弓，

641242

拉v1＜R1

所以W&sin（a+B'即橢圓的離心率的最大值為G-l.

4

故答案為：百-1

例8.（2022春?黑龍江佳木斯?高二建三江分局第一中學(xué)?？计谥校┘褐獧E圓￡+W=1（〃＞方＞0）上一點(diǎn)A

a~b~

7T7T

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)民尸為其右焦點(diǎn)，若AF_LM,設(shè)N4BF=a,且ae,則該橢圓的離心率

o5

e的取值范圍是

【答案】

t解析】橢圓上點(diǎn)八關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)爪尸為其右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為￡,

連接A尸，BF,BF一則四邊形AF//為矩形.

根據(jù)橢圓的定義：A尸+A月=2a,ZABF=a,則/時(shí)=a.

?.|AF|=2c-sina,\A6|=2ccosa,2a=2c-cosa+2c-sina

2c11r

橢圓的離心率2asina+cosa砥；/一%)，ae丁，;

vzsmia+—I|_64

.5汽冗式milV2(V3+1).(乃I/1

??—《以H—W—,則---------<sina4—<1,

12424I

?旦—!—.75-1

,,2V2sin(a+—)

??.橢圓離心率e的取值范圍存6一1

故答案為：虧

若設(shè)拉罰斗，且Je,則該橢圓離心率的取值范圍為.

【答案】[李用

由斗尸十鳥(niǎo)尸二勿，可得2ccose+2csine=2tz,

=￡_]=1

得，一;

由公,可得(。+.卜y,-y-,則向4sin(e+.)41,

所以旦〈eg旦.

23

故答案為：［孝，當(dāng)］

核心考點(diǎn)三：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線問(wèn)題

【典型例題】

例10.（2022春?江蘇蘇州?高二江蘇省蘇州第十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)

6，%P，2分別是它們?cè)诘谝幌笙藓偷谌笙薜慕稽c(diǎn)，且/。6尸=60，記橢圓和雙曲線的離心率分別為q/,

則3一"等于——.

【答案】4

【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為外，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為的，G（Y，。），6（C,0）,P為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，

。為兩曲線在第三象限的交點(diǎn).

由橢圓和雙曲線定義知:|P用+|P段=2q,|P用一|P周=2%

「.|「第=4+6，|P周=4一出，

由橢圓和雙曲線對(duì)稱(chēng)性可知：四邊形尸片。鳥(niǎo)為平行四邊形，

./QEP=60,.?./￡P(guān)K=120,「J耳閭2=］尸制2+歸周2_2|pGp周cosN與空，

即4c2=（4+。2y+（4~a2）+（4+%）（4一生）=3。；+W，

3I3a；alA

=^-+-T=4.

e；cc-

故答案為：4.

例11.（2022春?山東青島?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓G和雙曲線G有共同的焦點(diǎn)E，%P是它們的一個(gè)

交點(diǎn)，且/4/＞居=等，記橢圓G和雙曲線G的離心率分別為4，0，則w=48e：+44的最小值為（）

A.24B.37C.49D.52

【答案】C

【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為外,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)久，焦距2c,則

|P用+P周=%,儼周一儼用|=2叼,解得

I叫=《+《，1?周=《-。2,如圖

在△FIPF2中,根據(jù)余弦定理可得:

（耳月）2=（2月）?+（尸片）2—2尸月"68$7，

31

整理得4c2=3.：+嫉，即=+二=4,

e\e2

所以w=48e；+44=L信+4卜（48片+4團(tuán)=37+￥+與＞“9,

4Ie\e2Je\e2

當(dāng)且僅當(dāng)6=乎=曰時(shí)，取等號(hào).

故選:C.

例12.（2022春?廣西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)4,外，P是它們的一個(gè)交點(diǎn),

且/可「鳥(niǎo)=方，記橢圓和雙曲線的離心率分別為“，0,則。V的最小值為（）

A.巫B.-C.75D.3

24

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為《，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為〃2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：

|明卜歸閭=加,|尸制—|尸閭=2出,

所以歸制=4+4,|%|=4一七，

設(shè)歸?="，因?yàn)?耳”=李則

在△2￡鳥(niǎo)中，由余弦定理得：4c2=（q+生）2+（4-K）~-2（4+%）（《—%）cos§,

13

化簡(jiǎn)得：d+3/2=4。2,g|J—+—=4,

e\e2

從而有4=」■+烏N2232，

e

e「e22

整理得《七之￥=等，（當(dāng)且僅當(dāng)行率色邛時(shí)等號(hào)成立）

故選：A.

例13.（2022春?遼寧沈陽(yáng)?高二沈陽(yáng)市第三十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)6,6，

?是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且N月尸g=g,記橢圓和雙曲線的離心率分別為弓，4,則當(dāng)」一取最大值時(shí)，4,

3eie2

4的值分別是（）

A.正，見(jiàn)B.白在C.&瓜D.巫，君

222234

【答案】A

2222

【解析】不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：/￡=1（”匕>0）,c=V7二尸，￡_g=i，

c=Ja；+b；.

設(shè)|P尸|=〃z,\PF2\=n.m>n.則相+〃=2a,m-n=2ax,/.m=a+a],n=a-at.

因?yàn)?月產(chǎn)工=5,

所以8S/二巴士出支二,，

32mn2

即（a+qj+（a_q/_4r2=^a+a^a_a^）.

222134

/.a24-3a2-4c2=0,/.—+—=4,

<紇

.-.4>2^XA,則專(zhuān)K專(zhuān)，當(dāng)且僅當(dāng)勺=哼，4=*時(shí)取等號(hào).

故選：A.

2，

例14.（2022?河南洛陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓G：￡+卓=1（06>0）和雙曲線G：

￡-\=1（機(jī)>0,〃>0）有共同的焦點(diǎn)6，尸2，。是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)/月/第=60。時(shí)，G與C2的

離心率互為倒數(shù)，則雙曲線G的離心率是（）

A.及B.73C.2D.石

【答案】B

【解析】設(shè)G，的離心率分別為，，4,焦距為2c,

因?yàn)閨PK|+|P61=2%|P周一|P閭=2凡

所以|P厘="+/〃，|「用=白一加，

由余弦定理，得用閭尸制?+|P段2-2|PMHPK|COSNE”,

即4c2=（a+w）2+（a-/n）2-2（tz+〃?）（〃-w）cos60°,

13

化簡(jiǎn)，得4c2=/+3M，兩邊同除以C2,得4=7+瑟.

3

又《0=1，所以4=紇+3.

又6＞1，所以

故選：B

核心考點(diǎn)四：橢圓與雙曲線的4〃通徑體

【典型例題】

例15.（2022?廣西南寧?南寧市第八中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓1（°＞方＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為

過(guò)6且與“軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線A尸2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為c，若AE=266,則橢圓的

離心率為（）

A在「Vio3

D.也

55記

【答案】A

【解析】過(guò)點(diǎn)。作8，工軸于O,則..A斗人由4鳥(niǎo)=26。,

則|耳外|=2|乙。|,|人制=2|。。|,所以點(diǎn)

所以有（2C）2（五）

由點(diǎn)C在橢圓上,,即5c2=°

1

所以王弋

故選：A.

例16.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓。：鳥(niǎo)十==1（，＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,過(guò)尸2直線

與橢圓。交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)。，若MDNFN，且MFi"DFi則橢圓。的離心率為

（）

A.1B.3C.yD.正

3322

【答案】B

【解析】因?yàn)镸?NK=0,所以MOlg,又。是N6中點(diǎn)，所以附制=卜壞7|,

因?yàn)镸R//DF”所以F?是MN中點(diǎn)，則|M&=|N段,因此MN_Lx軸，

設(shè)=則|M周=2m"M制+|M周=3加=2a,"?=等，

在中，由勾股定理得（粵）2+（M）2=QC）2,變形可得e=￡=且.

33a3

故選：B.

例17.（2022春?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線（7:1-冬=13＞0,力＞0）的左、右焦點(diǎn)為尸-F”過(guò)

cTb

E且垂直于1軸的直線交C于M,N兩點(diǎn)，若M鳥(niǎo)"L”，則C的離心率為（）

A.0+1B.2C.y/3D.V2

【答案】A

【解析】由題可得MN:x=-c,代入雙曲線C:《/=ig＞（U＞0）,

a~b

解得尸±q,

又MFJNF2,

???內(nèi)刎=|￡舄I，即Q=2C,

a

c2—a2=2ac＞

..e2-2e-l=0，

e=1±\/2?:e>\

.?.e=75+l.

故選：A

例18.（2022春?江蘇宿遷?高三校考階段練習(xí)）如圖，已知A,B,C是雙曲線￡-g=l（a>0,力>0）上的三個(gè)

a~b~

點(diǎn)，A3經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,AC經(jīng)過(guò)右焦距尸，若B/IAC且C/=2胡，則該雙曲線的離心率等于.

【解析】若E是左焦點(diǎn)，連接AE,8旦EC,設(shè)|8用=〃?，\AF\=n,

又CF=2FA、BPI^Cb2n,則|EC|=2a-|%>24+2〃，

???在放/XEAC中，|AE|2+|ACT=|ECT，即m2+9〃2=4（〃+〃）2,而相一〃=2々,

.2aSa

??〃=—,m=一,

33

???在油V￡4尸中，源+〃2=4。2，B[J—=4c2,可得e="L

93

故答案為：叵.

3

核心考點(diǎn)五：橢圓與雙曲線的4〃直角體

【典型例題】

例19.（2022春?福建福州?高二福建省福州格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知人，尸2是雙曲線

上:、太=1（"0/＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)6作斜率為6的直線/,/分別交了軸和雙曲線右支于點(diǎn)知，P,

UULUICIUIU.HU

且66—PM=則E的離心率為.

【答案】2+6

IHIUIIuuuuuuuUUUUUU

【解析】因?yàn)楝?所以M￡=PM,即M為PE的中點(diǎn).

又。為人人的中點(diǎn)，所以0M為中位線.所以O(shè)M//P月和尸鳥(niǎo)_Lx軸.

因?yàn)橹本€/過(guò)K且斜率為6,|耳周二2c,所以歸瑪|=G忻瑪|=2辰,|P用=2|耳用=4c.

由雙曲線的定義可得：|歷|-歸閭=為、即4c-2辰=2a，解得：-=即離心率為e=2+6.

故答案為：2+石

22

例20.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，雙曲線C*-亳■=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為E、尸2，

過(guò)巴的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、8兩點(diǎn)，A是環(huán)8的中點(diǎn)，且片6，入8,則雙曲線。的

C.75D.近+1

【答案】B

【解析】??A是￡8的中點(diǎn),

?.AO為的中位線，

.1F2B,所以。41.片8,所以O(shè)8=￡O=c.

設(shè)B（N，y）,4（蒼，必），

丁點(diǎn)8在漸近線y=2x上，

a

記+城=°2

x=a

,，得，x

bJi=力

X=T|

-c+a

又〈A為￡8的中點(diǎn)，,

b

A在漸近線y=-gx上，

,得。=2。，則雙曲線的離心率e=￡=2.

2a2a

故選：B

例21.（2022.天津.統(tǒng)考一模）設(shè)￡,鳥(niǎo)分別是雙曲線/卷=13>0.〃>0）的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)

左焦點(diǎn)￡作直線石產(chǎn)與圓/+>2=/切于點(diǎn)七，與雙曲線右支交于點(diǎn)尸，且滿足。石二方。尸+06），[0目=75,

則雙曲線的方程為（）

A.iB.^-￡=1C.^-21=1

=D.m

6126936312

【答案】D

【解析】???E為圓f+y2=/上的點(diǎn)，,口目=。=有，

0E=g（0P+0”）,???E是尸耳的中點(diǎn)，

又。是K6的中點(diǎn)，尸段=2|。目=〃=2后，

且PFJ/OE,

又歸用一歸周=2〃=26,「.仍用=4a=46,

尸耳是圓的切線，.?.。石上夕"，，尸鳥(niǎo)，尸片，

2

又因用二2c,/.4c=|尸耳『+歸&2=也,.02=]5,...從=C2一病=]2,

???雙由線方程為號(hào)右L

故選：D

個(gè)人料%1

例22.（2022?四川廣元?統(tǒng)考三模）設(shè)入，尸2分別是橢圓后:鳥(niǎo)」-"=13>力>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線

交橢圓于A,B兩點(diǎn),且AF2=2F2Bt則橢圓E的離心率為（）

A.\B.-C.亞D.正

3434

【答案】C

【解析】因?yàn)橐?2可,不妨令|伍|=2向用=2m（/n>0）,

過(guò)馬的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),由橢圓的定義可得，|A周+|A周二勿，忸￡|+忸用=2a,

則忸耳|=2a-m,\AF\=2a-2m,

又斯?46=0,所以4耳_1_46，則八4耳鳥(niǎo)和△4耳8都是直角三角形，

則|AM+|A8「=|84「，即（2a-2my+9加2=（幼一機(jī)）2,解得加=1,

所以|犯1=],|A周=',又歸圖=勿，|M「+|A周2=|耳閭2,

所以乎八梟2=而，因此G=2,所以橢圓E的離心率為￡=也.

99a~9a3

故詵：C.

例23.（2022春?江西撫州?高二江西省臨川第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知耳，工為雙曲線E：

「■-5=1（“>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)3居分別作直線4，4交雙曲線E于A,B,C,。四點(diǎn)，使得

四邊形48co為平行四邊形，且以AO為直徑的圓過(guò)耳，|。用=卜川，則雙曲線E的離心率為（）

A.y/2B.y/3C.-D.?

22

【答案】D

【解析】設(shè)|5|二|AK|=x，則|。用二1-2〃，

由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性可知：|CR|=|A￡|=x,

連接3,則有m=|國(guó)+2=x+2a,

\DC]=\DF2\+\CF2\=2x-2a

由于￡在以4。為直徑的圓周上，二。石，A耳,

??FBCO為平行四邊形，AB//CD,：.DFXA.DC,

在直角三角形8月中，|%|2=|。6「+|8|2,（x+2a）2=x2+（2x-2a）2,

解得：x=3a,\DF\=3a\DF^a；

在直角三角形4八。中，|0￡「+|06『二|耳耳2,（3〃）2+/=（2c『，

得5a2=2〃，e=-=^~,

a2

故選：D.

核心考點(diǎn)六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問(wèn)題

【典型例題】

例24.（2022春?陜西西安?高二期末）設(shè)耳，F(xiàn)?是橢圓E：￡+"=1（〃＞方＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)5（c,O）

且傾斜角為60。的直線/與直線x=4.相交于點(diǎn)尸，若鳥(niǎo)為等腰三角形,則橢圓E的離心率e的值是（

)

C

A板R1DG

2332

【答案】A

【解析】直線/的方程為y=G（x-c）,

y=G（x-c）行（2

由X，解得y=W-，則P不，

由于鳥(niǎo)為等腰三角形,

所以1，

cos60°=

2

故選：A

例25.（2。22.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為小過(guò)6作一傾斜角為15的直線交雙

曲線右支于P點(diǎn)，且滿足△POZ（。為原點(diǎn)）為等腰三角形，則該雙曲線離心率e為（）

V2+1

A.e=y/3B.e=2D.e

2

【答案】C

【解析】記右焦點(diǎn)為瑪,

由題意知，/尸66=15,且△POZ為等腰三角形，則只能是|?！陓=|。"，

所以/尸06=2/尸耳居=3